2018年高考數(shù)學(xué) 專題12 概率與統(tǒng)計教學(xué)案 文

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1、 專題12 概率與統(tǒng)計 【2018年高考考綱解讀】 高考對本內(nèi)容的考查主要有： (1)抽樣方法的選擇、與樣本容量相關(guān)的計算，尤其是分層抽樣中的相關(guān)計算，A級要求． (2)圖表中的直方圖、莖葉圖都可以作為考查點，尤其是直方圖更是考查的熱點，A級要求． (3)特征數(shù)中的方差、標(biāo)準(zhǔn)差計算都是考查的熱點，B級要求． (4)隨機(jī)事件的概率計算，通常以古典概型、幾何概型的形式出現(xiàn)，B級要求. 【重點、考點剖析】 1．概率問題 (1)求某些較復(fù)雜的概率問題時，通常有兩種方法：一是將其分解為若干個彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A的對立事件的概率，然后利用P(

2、A)＝1－P()可得解； (2)用列舉法把古典概型試驗的基本事件一一列出來，然后再求出事件A中的基本事件，利用公式P(A)＝求出事件A的概率，這是一個形象、直觀的好辦法，但列舉時必須按照某一順序做到不重復(fù)，不遺漏； (3)求幾何概型的概率，最關(guān)鍵的一步是求事件A所包含的基本事件所占據(jù)區(qū)域的測度，這里需要解析幾何的知識，而最困難的地方是找出基本事件的約束條件． 2．統(tǒng)計問題 (1)統(tǒng)計主要是對數(shù)據(jù)的處理，為了保證統(tǒng)計的客觀和公正，抽樣是統(tǒng)計的必要和重要環(huán)節(jié)，抽樣的方法有三：簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣； (2)用樣本頻率分布來估計總體分布一節(jié)的重點是：頻率分布表和頻率分布直方圖的繪

3、制及用樣本頻率分布估計總體分布，考點是：頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應(yīng)用； (3)用莖葉圖優(yōu)點是原有信息不會抹掉，能夠展開數(shù)據(jù)發(fā)布情況，但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時，莖葉圖就顯得不太方便了； (4)兩個變量的相關(guān)關(guān)系中，主要能作出散點圖，了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性或歸方程系數(shù)或公式建立線性回歸方程. 【題型示例】 題型一 隨機(jī)事件及其概率 例1、(2017·全國卷Ⅲ)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最

4、高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率． (1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率． (2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)．當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450

5、瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率． 【變式探究】 (2015·廣東，7)已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品．現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的概率為(　　) A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1 解析　5件產(chǎn)品中有2件次品，記為a，b，有3件合格品，記為c，d，e，從這5件產(chǎn)品中任取2件，結(jié)果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)共10種．恰有一件次品的結(jié)果有6種，則其概率為p＝＝0.6. 答案　B 【變式探究】(2015·江蘇，5)袋中有形狀、大小都

6、相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為________． 解析　這兩只球顏色相同的概率為，故兩只球顏色不同的概率為1－＝. 答案　 【變式探究】(2015·湖南，16)某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎．抽獎方法是：從裝有2個紅球A1，A2和1個白球B的甲箱與裝有2個紅球a1，a2和2個白球b1、b2的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個球，若摸出的2個球都是紅球則中獎，否則不中獎． (1)用球的標(biāo)號列出所有可能的摸出結(jié)果； (2)有人認(rèn)為：兩個箱子中的紅球比白球多，所以中獎的概率大于不中獎的概率，你認(rèn)為正確嗎？請說

7、明理由． 【變式探究】(2015·北京，17)某超市隨機(jī)選取1 000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計表，其中“√”表示購買，“×”表示未購買. 　　商品 顧客人數(shù)　　　 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × (1)估計顧客同時購買乙和丙的概率； (2)估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率； (3)如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商

8、品的可能性最大？ 解　(1)從統(tǒng)計表可以看出，在這1 000位顧客中有200位顧客同時購買了乙和丙， 所以顧客同時購買乙和丙的概率可以估計為＝0.2. 【變式探究】(2015·四川，17)一輛小客車有5個座位，其座位號為1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位號分別為1，2，3，4，5，他們按照座位號從小到大的順序先后上車，乘客P1因身體原因沒有坐自己的1號座位，這時司機(jī)要求余下的乘客按以下規(guī)則就坐：如果自己的座位空著，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在這5個座位的剩余空位中選擇座位． (1)若乘客P1坐到了3號座位，其他乘客按規(guī)則就座，則此時共

9、有4種坐法．下表給出了其中兩種坐法，請?zhí)钊胗嘞聝煞N坐法(將乘客就坐的座位號填入表中空格處) 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位號 3 2 1 4 5 3 2 4 5 1 (2)若乘客P1坐在了2號座位，其他的乘客按規(guī)則就坐，求乘客P5坐到5號座位的概率． 解　(1)余下兩種坐法如下表所示： 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位號 3 2 4 1 5 3 2 5 4 1 (2)若乘客P1坐到了2號座位，其他乘客按規(guī)則就坐，則所有可能的坐法可用下表表示為： 乘客 P1

10、 P2 P3 P4 P5 座位號 2 1 3 4 5 2 3 1 4 5 2 3 4 1 5 2 3 4 5 1 2 3 5 4 1 2 4 3 1 5 2 4 3 5 1 2 5 3 4 1 于是，所有可能的坐法共8種， 設(shè)“乘客P5坐到5號座位”為事件A，則事件A中的基本事件的個數(shù)為4， 所以P(A)＝＝. 題型二　古典概型 例2．(2017·全國卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(　　)

11、A.　　　　B. C. D. 【答案】　D 【2017山東】從分別標(biāo)有，，，的張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張．則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【變式探究】【2016高考新課標(biāo)1文數(shù)】為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中,余下的2種花種在另一個花壇中,則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】將4種顏色的花種任選2種種在一個花壇中，余下2

12、種種在另一個花壇中，有6種種法，其中紅色和紫色的花不在同一個花壇的種數(shù)有4種，故所求概率為，選C. 【變式探究】(2015·新課標(biāo)全國Ⅰ，4)如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)，從1，2，3，4，5中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　從1，2，3，4，5中任取3個數(shù)有10個基本事件，構(gòu)成勾股數(shù)的只有3，4，5一組，故概率為. 答案　C 【變式探究】(2015·天津，15)設(shè)甲、乙、丙三個乒乓球協(xié)會的運動員人數(shù)分別為27，9，18，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這三個協(xié)會中抽

13、取6名運動員組隊參加比賽． (1)求應(yīng)從這三個協(xié)會中分別抽取的運動員的人數(shù)； (2)將抽取的6名運動員進(jìn)行編號，編號分別為A1，A2，A3，A4，A5，A6，現(xiàn)從這6名運動員中隨機(jī)抽取2人參加雙打比賽． ①用所給編號列出所有可能的結(jié)果； ②設(shè)A為事件“編號為A5和A6的兩名運動員中至少有1人被抽到”，求事件A發(fā)生的概率． 解　(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個協(xié)會中抽取的運動員人數(shù)分別為3，1，2. (2)①從6名運動員中隨機(jī)抽取2人參加雙打比賽的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A

14、2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15種． ②編號為A5和A6的兩名運動員中至少有1人被抽到的所有可能結(jié)果為{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9種． 因此，事件A發(fā)生的概率P(A)＝＝. 【變式探究】(2015·山東，16)某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況，數(shù)據(jù)如下表：(單位：人) 參加書法社團(tuán) 未參加書法社團(tuán) 參加演講社團(tuán) 8 5 未參加演講社團(tuán) 2 30

15、 (1) 從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個社團(tuán)的概率； (2)在既參加書法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)A1，A2，A3，A4，A5，3名女同學(xué)B1，B2，B3.現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，求A1被選中且B1未被選中的概率． 題型三　幾何概型 例3．【2017課標(biāo)1，】如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點，則此點取自黑色部分的概率是 A． B． C． D． 【答案】B 【變式探究】(2017·江蘇卷)記函

16、數(shù)f(x)＝的定義域為D.在區(qū)間[－4,5]上隨機(jī)取一個數(shù)x，則x∈D的概率是________． 解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，則D＝[－2,3]，則所求概率為＝. 答案： 【變式探究】(2015·山東，7)在區(qū)間[0，2]上隨機(jī)地取一個數(shù)x，則事件“－1≤log≤1”發(fā)生的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　由－1≤log≤1，得≤x＋≤2，∴0≤x≤.∴由幾何概型的概率計算公式得所求概率P＝＝. 答案　A 【變式探究】(2015·湖北，8)在區(qū)間[0，1]上隨機(jī)取兩個數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≤”的概率，p2為事件“xy≤”

17、的概率，則(　　) A．p1

18、上隨機(jī)地選擇一個數(shù)p，則方程x2＋2px＋3p－2＝0有兩個負(fù)根的概率為________． 解析　方程x2＋2px＋3p－2＝0有兩個負(fù)根，則有即 解得p≥2或＜p≤1， 又p∈[0，5]， 則所求概率為p＝＝＝. 答案　 題型四　隨機(jī)抽樣 例4．(1)(2017·江蘇卷)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,400,300,100件．為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗，則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取________件； (2)在一次馬拉松比賽中，35名運動員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示. 若將運動員按成績

19、由好到差編為1～35號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間[139,151]上的運動員人數(shù)是________． 【答案】18 4 【變式探究】(2015·四川，3)某學(xué)校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學(xué)生視力是否存在顯著差異，擬從這三個年級中按人數(shù)比例抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則最合理的抽樣方法是(　　) A．抽簽法 B．系統(tǒng)抽樣法 C．分層抽樣法 D．隨機(jī)數(shù)法 解析　結(jié)合幾種抽樣的定義知選C. 答案　C 【變式探究】(2015·北京，4)某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見下表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽

20、取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本的老年教師人數(shù)為(　　) A．90 B．100 C．180 D．300 類別 人數(shù) 老年教師 900 中年教師 1 800 青年教師 1 600 合計 4 300 解析　由題意抽樣比為＝，∴該樣本的老年教師人數(shù)為900×＝180(人)． 答案　C 【變式探究】(2015·福建，13)某校高一年級有900名學(xué)生，其中女生400名．按男女比例用分層抽樣的方法，從該年級學(xué)生中抽取一個容量為45的樣本，則應(yīng)抽取的男生人數(shù)為________． 答案　25 題型五　統(tǒng)計 例5．(1)(2017·全國卷Ⅲ)某城

21、市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖． 根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是(　　) A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn) (2)(2017·山東卷)為了研究某班學(xué)生的腳長x(單位：厘米)和身高y(單位：厘米)的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系．設(shè)其回歸直線方程為＝x＋.已知i＝225，i＝

22、1 600，＝4.該班某學(xué)生的腳長為24，據(jù)此估計其身高為(　　) A．160　　　　　B．163 C．166 D．170 【變式探究】(2015·陜西，2)某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為(　　) A．93 B．123 C．137 D．167 解析　由題干扇形統(tǒng)計圖可得該校女教師人數(shù)為：110×70%＋150×(1－60%)＝137.故選C. 答案　C 【變式探究】(2015·湖南，2)在一次馬拉松比賽中，35名運動員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示 若將運動員

23、按成績由好到差編為1～35號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間[139，151]上的運動員人數(shù)是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　B 【變式探究】(2015·湖北，14)某電子商務(wù)公司對10 000名網(wǎng)絡(luò)購物者2014年度的消費情況進(jìn)行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額(單位：萬元)都在區(qū)間[0.3，0.9]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示． (1)直方圖中的a＝________； (2)在這些購物者中，消費金額在區(qū)間[0.5，0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù)為________． 解析　由頻率分布直方圖及頻率和等于1可得0.2×0.1＋0.8×0.1

24、＋1.5×0.1＋2×0.1＋2.5×0.1＋a×0.1＝1，解之得a＝3.于是消費金額在區(qū)間[0.5，0.9]內(nèi)頻率為0.2×0.1＋0.8×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，所以消費金額在區(qū)間[0.5，0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù)為：0.6×10 000＝6 000，故應(yīng)填3，6 000. 答案　(1)3　(2)6 000 【變式探究】(2015·新課標(biāo)全國Ⅱ，18)某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40個用戶，根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分，得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表． A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖

25、 B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表 滿意度評分分組 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 頻數(shù) 2 8 14 10 6 (1)在答題卡上作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結(jié)論即可)； B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖 (2)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度分為三個等級： 滿意度評分 低于70分 70分到89分 不低于90分 滿意度等級 不滿意 滿意 非常滿意 估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大？說

26、明理由． 滿意”． 由直方圖得P(CA)的估計值為(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6， P(CB)的估計值為 (0.005＋0.02)×10＝0.25. 所以A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大． 【變式探究】(2015·安徽，17)某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]． (1)求頻率分布直方圖中a的值； (2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率； (3)從評分在[40

27、，60)的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人的評分都在[40，50)的概率． 【變式探究】(2015·廣東，17)某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分組的頻率分布直方圖如圖． (1)求直方圖中x的值； (2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)； (3)在月平均用電量為[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在[220，240)的用戶中應(yīng)抽

28、取多少戶？ 題型六　變量間的相關(guān)關(guān)系 例6．(2015·新課標(biāo)全國Ⅱ，3)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位：萬噸)柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是(　　) A．逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著 B．2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效 C．2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢 D．2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān) 答案　D 【變式探究】(2015·湖北，4)已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān)，下列結(jié)論中正確的是(　　) A．x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān) B．x與y正相關(guān)，x

29、與z正相關(guān) C．x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān) D．x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān) 解析　因為y＝－0.1x＋1，－0.1<0，所以x與y負(fù)相關(guān)．又y與z正相關(guān)，故可設(shè)z＝ay＋b(a>0)，所以z＝－0.1ax＋a＋b，－0.1a<0，所以x與z負(fù)相關(guān)．故選C. 答案　C 【變式探究】(2015·北京，14)高三年級267位學(xué)生參加期末考試，某班37位學(xué)生的語文成績，數(shù)學(xué)成績與總成績在全年級中的排名情況如下圖所示，甲、乙、丙為該班三位學(xué)生． 從這次考試成績看， ①在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學(xué)生是________； ②在語文和數(shù)學(xué)兩個科目中，丙同學(xué)的成績名次

30、更靠前的科目是________． 解析?、儆缮Ⅻc圖可知：越靠近坐標(biāo)原點O名次越好，乙同學(xué)語文成績好，而總成績年級名次靠后；而甲同學(xué)語文成績名次比總成績名次差，所以應(yīng)是乙同學(xué)語文成績名次比總成績名次靠前． ②丙同學(xué)總成績年級名次比數(shù)學(xué)成績年級名次差，所以丙同學(xué)成績名次更靠前的是數(shù)學(xué)． 答案　乙　　數(shù)學(xué) 【變式探究】(2015·重慶，17)隨著我國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民的儲蓄存款逐年增長．設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款(年底余額)如下表： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 時間代號t 1 2 3 4 5 儲蓄存款y(千億元) 5 6 7 8 10 (1)求y關(guān)于t的回歸方程＝t＋； (2)用所求回歸方程預(yù)測該地區(qū)2015年(t＝6)的人民幣儲蓄存款． 附：回歸方程＝t＋中， ＝，＝y(tǒng)－t. 18