2018年高考數學 熱點題型和提分秘籍 專題09 函數模型及其應用 文

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1、 專題09 函數模型及其應用 1．了解指數函數、對數函數、冪函數的增長特征，結合具體實例體會直線上升、指數增長、對數增長等不同函數類型增長的含義。 2．了解函數模型(如指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等在社會生活中普遍使用的函數模型)的廣泛應用。 熱點題型一 一次函數或二次函數模型 例1、提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況。在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數。當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時。研究表

2、明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數。 (1)當0≤x≤200時，求函數v(x)的表達式。 (2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時)f(x)＝x·v(x)可以達到最大，并求出最大值。(精確到1輛/小時)。 【提分秘籍】一次函數、二次函數模型問題的常見類型及解題策略 (1)直接考查一次函數、二次函數模型。 解決此類問題應注意三點： ①二次函數的最值一般利用配方法與函數的單調性解決，但一定要密切注意函數的定義域，否則極易出錯； ②確定一次函數模型時，一般是借助兩個點來確定，常用待定系數法； ③解決函數應

3、用問題時，最后要還原到實際問題。 (2)以分段函數的形式考查。 解決此類問題應關注以下三點： ①實際問題中有些變量間的關系不能用同一個關系式給出，而是由幾個不同的關系式構成，如出租車票價與路程之間的關系，應構建分段函數模型求解； ②構造分段函數時，要力求準確、簡潔，做到分段合理、不重不漏； ③分段函數的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)。 提醒：(1)構建函數模型時不要忘記考慮函數的定義域。 (2)對構造的較復雜的函數模型，要適時地用換元法轉化為熟悉的函數問題求解。 【舉一反三】 某電信公司推出兩種手機收費方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元。一個月的

4、本地網內打出電話時間t(分鐘)與打出電話費s(元)的函數關系如圖，當通話150分鐘時，這兩種方式電話費相差(　　) A．10元　　　 B．20元 C．30元 D.元 【答案】A 熱點題型二 函數y＝x＋模型的應用 例2、某村計劃建造一個室內面積為800 m2的矩形蔬菜溫室，在溫室內，沿左、右兩側與后側內墻各保留1 m寬的通道，沿前側內墻保留3 m寬的空地，當矩形溫室的邊長各為多少時，蔬菜的種植面積最大？最大面積是多少？ 【解析】設溫室的左側邊長為x m， 則后側邊長為 m。∴蔬菜種植面積 y＝(x－4)＝808－2(4＜x＜400)。 ∵x＋≥2＝8

5、0， ∴y≤808－2×80＝648。 當且僅當x＝，即x＝40時取等號， 此時＝20，y最大值＝648(m2)。 即當矩形溫室的邊長各為40 m,20 m時，蔬菜的種植面積最大，最大面積是648 m2。 【提分秘籍】 應用函數y＝x＋模型的關鍵點 (1)明確對勾函數是正比例函數f(x)＝ax與反比例函數f(x)＝疊加而成的。 (2)解決實際問題時一般可以直接建立f(x)＝ax＋的模型，有時可以將所列函數關系式轉化為f(x)＝ax＋的形式。 (3)利用模型f(x)＝ax＋求解最值時，要注意自變量的取值范圍，及取得最值時等號成立的條件。 【舉一反三】 為了在夏季降溫和冬季

6、供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層。某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元。該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和。 (1)求k的值及f(x)的表達式。 (2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值。 熱點題型三 指數函數與對數函數模型 例3．某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時間t(小時)

7、之間近似滿足如圖所示的曲線。 (1)寫出第一次服藥后，y與t之間的函數關系式y(tǒng)＝f(t)； (2)據進一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時，治療有效。求服藥一次后治療有效的時間是多長？ 【解析】(1)設y＝ 當t＝1時，由y＝4得k＝4。 由1－a＝4得a＝3。則y＝ (2)由y≥0.25得或解得≤t≤5。因此，服藥一次后治療有效的時間是5－＝小時。 【提分秘籍】應用指數函數模型應注意的問題 (1)指數函數模型的應用類型。常與增長率相結合進行考查，在實際問題中有人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題可以利用指數函數模型來解決。 (2)應用指數函數模型時的關鍵

8、。關鍵是對模型的判斷，先設定模型，再將已知有關數據代入驗證，確定參數，從而確定函數模型。 (3)y＝a(1＋x)n通常利用指數運算與對數函數的性質求解。 【舉一反三】 里氏震級M的計算公式為：M＝lgA－lgA0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應的標準地震的振幅。假設在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1 000，此時標準地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為__________級；9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的__________倍。 【答案】6　10 000 【2017江蘇，14】設是定義在且周期為1的函數，在區(qū)間上, 其中集合，則方程的

9、解的個數是 ▲ . 【答案】8 【解析】由于，則需考慮的情況， 【2016高考北京文數】已知，，若點在線段上，則的最大值為（ ） A.?1 B.3 C.7 D.8 【答案】C 【解析】由題意得，AB：， ∴，當時等號成立，即的最大值為7，故選C. 【2016高考北京文數】函數的最大值為_________. 【答案】2 【解析】，即最大值為2. 【2016高考四川文科】某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)獎金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發(fā)資金比

10、上一年增長12％，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是( ) (參考數據：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) (A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年 【答案】B 【2015高考上海，文21】（本小題14分）本題共2小題，第1小題6分，第2小題8分. 如圖，三地有直道相通，千米，千米，千米.現(xiàn)甲、乙兩警員同時從地出發(fā)勻速前往地，經過小時，他們之間的距離為（單位：千米）.甲的路線是，速度為5千米/小時，乙的路線是，速度為8千米/小時.乙到達地后原地等待.設時乙到達地.

11、 （1）求與的值； （2）已知警員的對講機的有效通話距離是3千米.當時，求的表達式，并判斷在上得最大值是否超過3？說明理由. 【答案】（1），千米；（2）超過了3千米. 【解析】（1），設此時甲運動到點，則千米， 所以千米. 【2015高考四川，文8】某食品的保鮮時間(單位：小時)與儲藏溫度(單位：℃)滿足函數關系(為自然對數的底數，為常數).若該食品在℃的保鮮時間是小時，在℃的保鮮時間是小時，則該食品在℃的保鮮時間是( ) (A)16小時 (B)20小時 (C)24小時 (D)21小時 【答案】C 【解析

12、】由題意，得，于是當x＝33時，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝×192＝24(小時) （2014·北京卷）加工爆米花時，爆開且不糊的粒數占加工總粒數的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分鐘)滿足函數關系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數)，圖1-2記錄了三次實驗的數據．根據上述函數模型和實驗數據，可以得到最佳加工時間為(　　) 圖1-2 A．3.50分鐘 B．3.75分鐘 C．4.00分鐘 D．4.25分鐘 【答案】B　 （2014·陜西卷）如圖1-2所示，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接(相切)．已

13、知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數圖像的一部分，則該函數的解析式為(　　) 圖1-2 A．y＝x3－x2－x B．y＝x3＋x2－3x C．y＝x3－x D．y＝x3＋x2－2x 【答案】A　 【解析】由題意可知，該三次函數的圖像過原點，則其常數項為0，不妨設其解析式為y＝f(x)＝ax3＋bx2＋cx，則f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∴f′(0)＝－1，f′(2)＝3，可得c＝－1，3a＋b＝1.又y＝ax3＋bx2＋cx過點(2，0)，∴4a＋2b＝1，∴a＝，b＝－，c＝－1，∴y＝f(x)＝x3－x2－x. 1．抽氣機每次抽出容器內空氣的60%，要使容器內剩下的空氣

14、少于原來的0.1%，則至少要抽(參考數據：lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1)(　　) A． 15次　　　　　　　　　 B．14次 C．9次 D．8次 【答案】D 2．某位股民購進某支股票，在接下來的交易時間內，他的這支股票先經歷了n次漲停(每次上漲10%)，又經歷了n次跌停(每次下跌10%)，則該股民這支股票的盈虧情況(不考慮其他費用)為(　　) A．略有盈利 B．略有虧損 C．沒有盈利也沒有虧損 D．無法判斷盈虧情況 【答案】B 【解析】設該股民購進股票的資金為a，則交易結束后，所剩資金為：a(1＋10%)n·(1－1

15、0%)n＝a·(1－0.01)n＝a·0.09n

16、導致交通事故的主要原因之一，交通法規(guī)規(guī)定：駕駛員在駕駛機動車時血液中酒精含量不得超過0.2 mg/mL.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量將迅速上升到0.8 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小時50%的速度減少，則他至少要經過________小時后才可以駕駛機動車(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 5．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)．若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為(　　) A．45.606萬元 B．45.6萬元 C．45.56

17、萬元 D．45.51萬元 【答案】B 【解析】設在甲地銷售x輛車，則在乙地銷售(15－x)輛車，獲得的利潤為y＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30，當x＝－＝10.2時，y最大，但x∈N*，所以當x＝10時，ymax＝－15＋30.6＋30＝45.6，故選B. 6．某購物網站在2015年11月開展“全部6折”促銷活動，在11日當天購物還可以再享受“每張訂單金額(6折后)滿300元時可減免100元”．某人在11日當天欲購入原價48元(單價)的商品共42件，為使花錢總數最少，他最多需要下的訂單張數為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案

18、】C 【解析】為使花錢總數最少，需使每張訂單滿足“每張訂單金額(6折后)滿300元時可減免100元”，即每張訂單打折前原金額不少于500元．由于每件原價48元，因此每張訂單至少11件，所以最多需要下的訂單張數為3張． 7．一水池有兩個進水口，一個出水口，每個進水口的進水速度如圖甲所示．出水口的出水速度如圖乙所示，某天0點到6點，該水池的蓄水量如圖丙所示． 給出以下3個論斷：①0點到3點只進水不出水；②3點到4點不進水只出水；③4點到6點不進水不出水，則一定正確的是(　　) A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】A 8．如圖所示，將桶1中的水緩慢注入空桶2中，開始

19、時桶1中有a升水，t min后剩余的水符合指數衰減曲線y1＝ae－nt，那么桶2中的水就是y2＝a－ae－nt.假設過5 min后，桶1和桶2的水量相等，則再過m min后桶1中的水只有升，則m的值為(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【解析】由題意得，ae－5n＝a－ae－5n，則e－n＝.再經過m min后，桶1中的水只有升，則有ae－n(5＋m)＝，即e－n(5＋m)＝2－3，亦即＝3，∴＝3，解得m＝10.故選D. 9．某企業(yè)投入100萬元購入一套設備，該設備每年的運轉費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，每一年的維護費為2萬元，由于設備老化

20、，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元．為使該設備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設備的年數為(　　) A．10 B．11 C．13 D．21 【答案】A 【解析】設該企業(yè)需要更新設備的年數為x，設備年平均費用為y，則x年后的設備維護費用為2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均費用為y＝＝x＋＋1.5，由均值不等式得y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5，當且僅當x＝，即x＝10時取等號，所以選A. 10．某學校制定獎勵條例，對在教育教學中取得優(yōu)異成績的教職工實行獎勵，其中有一個獎勵項目是針對學生高考成績的高低對任課教師進行獎勵的．獎勵公式為f(n)＝k(n)(n－10)，n>

21、10(其中n是任課教師所在班級學生的該任課教師所教學科的平均成績與該科省平均分之差，f(n)的單位為元)，而k(n)＝現(xiàn)有甲、乙兩位數學任課教師，甲所教的學生高考數學平均分超出省平均分18分，而乙所教的學生高考數學平均分超出省平均分21分，則乙所得獎勵比甲所得獎勵多(　　) A．600元 B．900元 C．1 600元 D．1 700元 【答案】D 11．一個容器裝有細沙a cm3，細沙從容器底下一個細微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細沙量為y＝ae－bt(cm3)，若經過8 min后發(fā)現(xiàn)容器內還有一半的沙子，則再經過________min，容器中的沙子只有開始時的八分之

22、一． 【答案】16 【解析】當t＝0時，y＝a；當t＝8時，y＝ae－8b＝a， ∴e－8b＝，容器中的沙子只有開始時的八分之一時， 即y＝ae－bt＝a. e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，則t＝24，所以再經過16 min. 12．如圖為某質點在4秒鐘內做直線運動時，速度函數v＝v(t)的圖象，則該質點運動的總路程s等于________． 【答案】11 cm 【解析】該質點運動的總路程等于下圖中陰影部分的面積， ∴s＝×(1＋3)×2＋2×3＋×1×2＝11 cm. 13．某市出租車收費標準如下：起步價為8元，起步里程為3 km(不超過3 km按起步價

23、收費)；超過3 km但不超過8 km時，超過部分按每千米2.15元收費；超過8 km時，超過部分按每千米2. 85元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1元．現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費22.6元，則此次出租車行駛了________ km. 【答案】9 14．為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒．已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數關系式y(tǒng)＝()t－a(a為常數)，如圖所示，根據圖中提供的信息，回答下列問題： (1)從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數關系式為____

24、__________________． (2)據測定，當空氣中每立方米的含藥量不高于0.25毫克時，學生方可進教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經過________小時后，學生才能回到教室． 【答案】(1)y＝　(2)0.6 15．為了保護環(huán)境，發(fā)展低碳經濟，某單位在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，新上了把二氧化碳處理轉化為一種可利用的化工產品的項目，經測算，該項目月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數關系可近似地表示為y＝且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為200元，若該項目不獲利，國家將給予補償． (1)當x∈[200,300]時，判斷該項目能否獲利？若獲

25、利，求出最大利潤；若不獲利，則國家每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損？ (2)該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？ 解：(1)當x∈[200,300]時，設該項目獲利為S，則 S＝200x－(x2－200x＋80 000)＝－x2＋400x－80 000＝－(x－400)2， 所以當x∈[200,300]時，S<0，因此該單位不會獲利． 當x＝300時，S取得最大值－5 000，所以國家每月至少補貼5 000元才能使該項目不虧損． (2)由題意，可知二氧化碳的每噸處理成本為： 16．隨著私家車的逐漸增多，居民小區(qū)“停車難”問題日益突出．本市某居民小

26、區(qū)為緩解“停車難”問題，擬建造地下停車庫，建筑設計師提供了該地下停車庫的入口和進入后的直角轉彎處的平面設計示意圖． (1)按規(guī)定，地下停車庫坡道口上方要張貼限高標志，以便告知停車人車輛能否安全駛入，為標明限高，請你根據圖1所示數據計算限定高度CD的值；(精確到0.1 m) (下列數據僅供參考：sin20°≈0.342 0，cos20°≈0.939 7，tan20°≈0.364 0) (2)在車庫內有一條直角拐彎車道，車道的平面圖如圖2所示，設∠PAB＝θ(rad)，車道寬為3米，現(xiàn)有一輛轉動靈活的小汽車，其水平截面圖為矩形，它的寬為1.8米，長為4.5米，問此車是否能順利通過此直角拐彎車道？ 解：(1)在△ABE中，∠ABE＝90°. ∴tan∠BAE＝，又AB＝10 m，∠BAE＝20°. ∴BE＝AB·tan∠BAE＝10tan20°≈3.6 m， ∵BC＝0.6 m，∴CE＝BE－BC＝3 m， 在△CED中，∵CD⊥AE. 17