(江蘇專用)2018年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 必做02 排列與組合試題(含解析)

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1、 專題2 排列與組合 【三年高考】 1. 【2016高考江蘇】 (1)求的值; (2)設(shè)m,nN*,n≥m,求證: (m+1)+(m+2)+(m+3)++n+(n+1)=(m+1). 【答案】(1)0(2)詳見(jiàn)解析 試題解析:解:(1) (2)當(dāng)時(shí),結(jié)論顯然成立,當(dāng)時(shí) 又因?yàn)? 所以 因此 【考點(diǎn)】組合數(shù)及其性質(zhì) 【名師點(diǎn)睛】組合數(shù)的性質(zhì)不僅有課本上介紹的、,更有,現(xiàn)在又有,這些性質(zhì)不需記憶,但需會(huì)推導(dǎo),更需會(huì)應(yīng)用. 2.【2017課標(biāo)II,理6】安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作,每人至少完成1項(xiàng),每項(xiàng)工作由1人完成,則不同的安排方式共有( ) A.12

2、種 B.18種 C.24種 D.36種 【答案】D 【解析】 試題分析:由題意可得,一人完成兩項(xiàng)工作,其余兩人每人完成一項(xiàng)工作,據(jù)此可得,只要把工作分成三份:有種方法,然后進(jìn)行全排列即可,由乘法原理,不同的安排方式共有種方法。 故選D。 【考點(diǎn)】 排列與組合;分步乘法計(jì)數(shù)原理 【名師點(diǎn)睛】(1)解排列組合問(wèn)題要遵循兩個(gè)原則:一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類;二是按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步。具體地說(shuō),解排列組合問(wèn)題常以元素(或位置)為主體,即先滿足特殊元素(或位置),再考慮其他元素(或位置)。

3、 3.【2017浙江,16】從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人,副隊(duì)長(zhǎng)1人,普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì),要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生,共有______中不同的選法.(用數(shù)字作答) 【答案】660 【解析】 【考點(diǎn)】排列組合的應(yīng)用 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用,有關(guān)排列組合的綜合問(wèn)題,往往是兩個(gè)原理及排列組合問(wèn)題交叉應(yīng)用才能解決問(wèn)題,解答這類問(wèn)題理解題意很關(guān)鍵,一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過(guò)程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”,在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)加法原理討論時(shí),既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏,這樣才能提高準(zhǔn)確率.在某些特定問(wèn)題上,也

4、可充分考慮“正難則反”的思維方式. 4. 【2017天津,理14】用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字,且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù),這樣的四位數(shù)一共有___________個(gè).(用數(shù)字作答) 【答案】 【解析】 【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理、排列、組合 【名師點(diǎn)睛】計(jì)數(shù)原理包含分類計(jì)數(shù)原理(加法)和分步計(jì)數(shù)原理(乘法),組成四位數(shù)至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù),包括四位數(shù)字有一個(gè)是偶數(shù)和四位數(shù)字全部是奇數(shù)兩類,利用加法原理計(jì)數(shù). 5.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)改編】如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會(huì)合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng),則小明到老年公寓可以

5、選擇的最短路徑條數(shù)為    . 【答案】18 【解析】 試題分析:由題意,小明從街道的E處出發(fā)到F處最短有條路,再?gòu)腇處到G處最短共有條路,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為條. 考點(diǎn): 計(jì)數(shù)原理、組合. 【名師點(diǎn)睛】分類加法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每類做法中每一種方法都能完成這件事情,類與類之間是獨(dú)立的. 分步乘法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分,而未完成這件事,步步之間是相關(guān)聯(lián)的. 6.【2016年高考四川理數(shù)】用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為    . 【答案】72 考點(diǎn):排列、組合 【名師點(diǎn)睛】利

6、用排列組合計(jì)數(shù)時(shí),關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類和分步,分類時(shí)要注意不重不漏,分步時(shí)要注意整個(gè)事件的完成步驟.在本題中,個(gè)位是特殊位置,第一步應(yīng)先安排這個(gè)位置,第二步再安排其他四個(gè)位置.. 7.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)改編】定義“規(guī)范01數(shù)列”如下:共有項(xiàng),其中項(xiàng)為0,項(xiàng)為1,且對(duì)任意,中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有    個(gè). 【答案】14 【解析】 試題分析:由題意,得必有,,則具體的排法列表如下: 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1

7、 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 考點(diǎn):計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用. 【方法點(diǎn)撥】求解計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí),如果遇到情況較為復(fù)雜,即分類較多,標(biāo)準(zhǔn)也較多,同時(shí)所求計(jì)數(shù)的結(jié)果不太大時(shí),往往利用表格法、樹(shù)枝法將其所有可能一一列舉出來(lái),常常會(huì)達(dá)到岀奇制勝的效果. 8.【2015高考四川,理6】用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中比40000大的偶數(shù)共有________________個(gè) 【答案】120 【解析】據(jù)題意,萬(wàn)位上只能排4、5.若萬(wàn)位上排4,則有個(gè);若萬(wàn)位上排5,則有個(gè).所以共有個(gè)

8、. 9.【2015高考上海,理8】在報(bào)名的名男教師和名女教師中,選取人參加義務(wù)獻(xiàn)血,要求男、女教師都有,則不同的選取方式的種數(shù)為 (結(jié)果用數(shù)值表示). 【答案】 【解析】由題意得,去掉選5名女教師情況即可: 10.【2015高考廣東,理12】某高三畢業(yè)班有人,同學(xué)之間兩兩彼此給對(duì)方僅寫(xiě)一條畢業(yè)留言,那么全班共寫(xiě)了 條畢業(yè)留言.(用數(shù)字作答) 【答案】. 【解析】依題兩兩彼此給對(duì)方寫(xiě)一條畢業(yè)留言相當(dāng)于從人中任選兩人的排列數(shù),所以全班共寫(xiě)了條畢業(yè)留言,故應(yīng)填入. 【2018年高考命題預(yù)測(cè)】 縱觀近幾年高考,我們可以發(fā)現(xiàn),排列與組合問(wèn)題一直是高考數(shù)

9、學(xué)的熱點(diǎn)內(nèi)容之一,從近幾年的高考試題統(tǒng)計(jì)分析來(lái)看,對(duì)排列與組合知識(shí)的考查可能出現(xiàn)在理科附加題,屬于中檔題.內(nèi)容以考查排列、組合的基礎(chǔ)知識(shí)為主,考查排列組合的綜合應(yīng)用.題目有一定的難度,有時(shí)難度還較大,重點(diǎn)考查分析問(wèn)題,解決問(wèn)題的能力及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.排列、組合是高考數(shù)學(xué)相對(duì)獨(dú)立的內(nèi)容,也是密切聯(lián)系實(shí)際的一部分.在2018年高考中,應(yīng)該注重基本概念,基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算的考查.排列組合的試題會(huì)以現(xiàn)實(shí)生活中的生產(chǎn)問(wèn)題、經(jīng)濟(jì)問(wèn)題為背景,不會(huì)僅是人或數(shù)的排列.以排列組合應(yīng)用題為載體,考查學(xué)生的抽象概括能力,分析能力,綜合解決問(wèn)題的能力.將排列組合與概率統(tǒng)計(jì)相結(jié)合是近幾年高考的一大熱點(diǎn),應(yīng)引起重視

10、.排列、組合不僅是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容,而且在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用,因此新高考會(huì)有題目涉及;考察形式:?jiǎn)为?dú)的考題會(huì)出現(xiàn)在理科附加22或23題,屬于中等難度的題目,排列組合有時(shí)與概率結(jié)合出現(xiàn)在解答題中難度較小,屬于高考題中的中低檔題目;預(yù)測(cè)2018年高考,排列、組合及排列與組合的綜合應(yīng)用仍可能是高考的重點(diǎn),同時(shí)應(yīng)注意排列、組合與概率、分布列等知識(shí)的結(jié)合,重點(diǎn)考查學(xué)生的運(yùn)算能力與邏輯推理能力.復(fù)習(xí)建議:⑴ 使用分類計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理要根據(jù)我們完成某件事情時(shí)采取的方式而定,分類來(lái)完成這件事情時(shí)用分類計(jì)數(shù)原理,分步驟來(lái)完成這件事情時(shí)用分步計(jì)數(shù)原理.怎樣確定是分類,還是分步驟?“分類”表現(xiàn)為其中任何一

11、類均可獨(dú)立完成所給事件,而“分步驟”必須把各步驟均完成才能完成所給事情.所以準(zhǔn)確理解兩個(gè)原理的關(guān)鍵在于明確:分類計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)完成一件事情的幾類辦法互不干擾,彼此之間交集為空集,并集為全集,不論哪一類辦法中的哪一種方法都能單獨(dú)完成事件;分步計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)各步驟缺一不可,需要依次完成所有步驟才能完成事件,步與步之間互不影響,即前一步用什么方法不影響后一步采取什么方法.⑵ 排列與組合定義相近,它們的區(qū)別在于是否與順序有關(guān).⑶ 復(fù)雜的排列問(wèn)題常常通過(guò)試驗(yàn)、畫(huà)簡(jiǎn)圖、小數(shù)字簡(jiǎn)化等手段使問(wèn)題直觀化,從而尋求解題途徑,由于結(jié)果的正確性難以直接檢驗(yàn),因而常需要用不同的方法求解來(lái)獲得檢驗(yàn).⑷ 按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、

12、按事件發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步,是處理組合問(wèn)題的基本思想方法,要注意題設(shè)中“至少”“至多”等限制詞的意義.⑸ 處理排列組合的綜合性問(wèn)題,一般思想方法是先選元素(組合),后排列,按元素的性質(zhì)“分類”和按事件發(fā)生的連續(xù)過(guò)程“分步”,始終是處理排列、組合問(wèn)題的基本方法和原理,通過(guò)解題訓(xùn)練要注意積累分類和分步的基本技能.⑹ 在解決排列組合綜合性問(wèn)題時(shí),必須深刻理解排列與組合的概念,能夠熟練確定——問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題,牢記排列數(shù)、組合數(shù)計(jì)算公式與組合數(shù)性質(zhì).容易產(chǎn)生的錯(cuò)誤是重復(fù)和遺漏計(jì)數(shù).常見(jiàn)的解題策略有以下幾種:①特殊元素優(yōu)先安排的策略;②合理分類與準(zhǔn)確分步的策略;③排列、組合混合問(wèn)題先選后排的策略

13、;④正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略;⑤相鄰問(wèn)題捆綁處理的策略;⑥不相鄰問(wèn)題插空處理的策略;⑦定序問(wèn)題除法處理的策略;⑧分排問(wèn)題直排處理的策略;⑨“小集團(tuán)”排列問(wèn)題中先整體后局部的策略;⑩構(gòu)造模型的策略. 【2018年高考考點(diǎn)定位】 本節(jié)內(nèi)容高考的重點(diǎn)就是利用計(jì)數(shù)原理,排列組合,排列數(shù)、組合數(shù)計(jì)算公式與組合數(shù)性質(zhì), 重點(diǎn)考查學(xué)生的抽象概括能力,分析問(wèn)題,解決問(wèn)題的能力及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.題型既有選擇題也有填空題,難度中等偏下,將排列組合與概率統(tǒng)計(jì)相結(jié)合是近幾年高考的一大熱點(diǎn). 【考點(diǎn)1】計(jì)數(shù)原理 【備考知識(shí)梳理】 1. 分類加法計(jì)數(shù)原理(加法原理)的概念 一般形式:完成一件事有

14、n類不同方案,在第1類方案中有種不同的方法,在第2類方案中有種不同的方法,……,在第n類方案中有種不同的方法,那么完成這件事共有N=++……+種不同的方法. 2.分步乘法計(jì)數(shù)原理(乘法原理)的概念 一般形式:完成一件事需要n個(gè)步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,……,做第n步有種不同的方法,那么完成這件事共有N=種不同的方法. 3. 兩個(gè)原理的區(qū)別: (1)“每類”間與“每步”間的關(guān)系不同:分類加法計(jì)數(shù)原理中的每一類方案中的任何一種方法、不同類之間的任何一種方法都是相互獨(dú)立,互不依賴的,且是一次性的;而分步乘法計(jì)數(shù)原理中的每一步是相互依賴,且是連續(xù)性的. (2)“每

15、類”與“每步”完成的效果不同:分類加法計(jì)數(shù)原理中所描述的每一種方法完成后,整個(gè)事件就完成了,而分步乘法計(jì)數(shù)原理中每一步中的每一種方法得到的只是中間結(jié)果,任何一步都不能獨(dú)立完成這件事. 4.切實(shí)理解“完成一件事”的含義,以確定需要分類還是需要分步進(jìn)行,同時(shí)要優(yōu)先考慮題中的限制條件. 【規(guī)律方法技巧】 1. 計(jì)數(shù)問(wèn)題中如何判定是分類加法計(jì)數(shù)原理還是分步乘法計(jì)數(shù)原理:如果已知的每類方法中的每一種方法都能單獨(dú)完成這件事,用分類加法計(jì)數(shù)原理;如果每類方法中的每一種方法只能完成事件的一部分,用分步乘法計(jì)數(shù)原理. 2.利用分類計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題時(shí): (1)將一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題分解為若干個(gè)“類別”,先分

16、類解決,然后將其整合,如何合理進(jìn)行分類是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.(2)要準(zhǔn)確把握分類加法計(jì)數(shù)原理的兩個(gè)特點(diǎn):①根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn),分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一,不能遺漏;②分類時(shí),注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類,不能重復(fù);③對(duì)于分類問(wèn)題所含類型較多時(shí)也可考慮使用間接法. 3.利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題時(shí)要注意:(1)要按事件發(fā)生的過(guò)程合理分步,即考慮分步的先后順序.(2)各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各步驟都完成才算完成這個(gè)事件.(3)對(duì)完成各步的方法數(shù)要準(zhǔn)確確定. 4. 用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵是明確需要分類還是分步. (1)分類要做到“不重不漏”,分類后

17、再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù),最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和,得到總數(shù). (2)分步要做到“步驟完整”,只有完成了所有步驟,才完成任務(wù),根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,把完成每一步的方法數(shù)相乘,得到總數(shù). (3)對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題,可同時(shí)運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理或借助列表、畫(huà)圖的方法來(lái)幫助分析,使問(wèn)題形象化、直觀化. (4)在應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理時(shí),一般先分類再分步,每一步當(dāng)中又可能用到分類加法計(jì)數(shù)原理. 5.在解決具體問(wèn)題時(shí),首先必須弄清楚是“分類”還是“分步”,接著還要搞清楚“分類”或者“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么. 5. (1)分類加法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每類做法中每一種方法都能完成這件事情,

18、類與類之間是獨(dú)立的. (2)分步乘法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分,而未完成這件事,步步之間是相關(guān)聯(lián)的. 6. 分類加法計(jì)數(shù)原理的兩個(gè)條件:(1)根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)能確定一個(gè)適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn),然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類;(2)完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類,并且分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法,只有滿足這些條件,才可以用分類加法計(jì)數(shù)原理. 分步乘法計(jì)數(shù)原理的兩個(gè)條件:(1)明確題目中的“完成這件事”是什么,確定完成這件事需要幾個(gè)步驟,且每步都是獨(dú)立的.(2)將完成這件事劃分成幾個(gè)步驟來(lái)完成,各步驟之間有一定的連續(xù)性,只有當(dāng)所有步驟都完成了,整個(gè)事件才

19、算完成,這是分步的基礎(chǔ),也是關(guān)鍵.從計(jì)數(shù)上來(lái)看,各步的方法數(shù)的積就是完成事件的方法總數(shù). 7. 應(yīng)用兩種原理解題:(1)分清要完成的事情是什么?(2)分清完成該事情是分類完成還是分步完成,“類”間互相獨(dú)立,“步”間互相聯(lián)系;(3)有無(wú)特殊條件的限制;(4)檢驗(yàn)是否有重漏. 8. 涂色問(wèn)題:涂色問(wèn)題是由兩個(gè)基本原理和排列組合知識(shí)的綜合運(yùn)用所產(chǎn)生的一類問(wèn)題,這類問(wèn)題是計(jì)數(shù)原理應(yīng)用的典型問(wèn)題,由于涂色本身就是策略的一個(gè)運(yùn)用過(guò)程,能較好地考查考生的思維連貫性與敏捷性,加之涂色問(wèn)題的趣味性,自然成為新課標(biāo)高考的命題熱點(diǎn). 涂色問(wèn)題的關(guān)鍵是顏色的數(shù)目和在不相鄰的區(qū)域內(nèi)是否可以使用同一種顏色,具體操作

20、法和按照顏色的數(shù)目進(jìn)行分類法是解決這類問(wèn)題的首選方法. 涂色問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是分類與分步,一般是整體分步,分步過(guò)程中若出現(xiàn)某一步需分情況說(shuō)明時(shí)還要進(jìn)行分類.涂色問(wèn)題通常沒(méi)有固定的方法可循,只能按照題目的實(shí)際情況,結(jié)合兩個(gè)基本原理和排列組合的知識(shí)靈活處理. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1.用一顆骰子連擲三次,投擲出的數(shù)字順次排成一個(gè)三位數(shù),此時(shí): (1)各位數(shù)字互不相同的三位數(shù)有多少個(gè)? (2)可以排出多少個(gè)不同的數(shù)? (3)恰好有兩個(gè)相同數(shù)字的三位數(shù)共有多少個(gè)? 【答案】(1)120;(2)216;(3)90. 【解析】 試題分析:(1)得到一個(gè)三位數(shù),分三步進(jìn)行:先填百位,有6種方法;再填

21、十位,有5種方法;最后填個(gè)位,有4種方法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得; (2)分三步進(jìn)行:先填百位,再填十位,最后填個(gè)位,每種都有6種方法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得; (3)從三個(gè)位中任選兩個(gè)位,填上相同的數(shù)字,有種方法,剩下的一位數(shù)字的填法有5中,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果. 2.某出版社的11名工人中,有5人只會(huì)排版,4人只會(huì)印刷,還有2人既會(huì)排版又會(huì)印刷,現(xiàn)從11人中選4人排版,4人印刷,有多少種不同的選法? 【答案】185種. 【解析】 試題分析:根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,這個(gè)問(wèn)題可按只會(huì)印刷的四人作為分類標(biāo)準(zhǔn):第一類:只會(huì)印刷的4人全被選出,有種;第二類:從只會(huì)印刷的4人中選出3人,有

22、種; 第三類:從只會(huì)印刷的4人中選出2人,即可. 試題解析:將只會(huì)印刷的4人作為分類標(biāo)準(zhǔn),將問(wèn)題分為三類: 第一類:只會(huì)印刷的4人全被選出,有種; 第二類:從只會(huì)印刷的4人中選出3人,有種4; 第三類:從只會(huì)印刷的4人中選出2人,有種. 所以共有(種). 【考點(diǎn)2】排列組合綜合 【備考知識(shí)梳理】 1. 排列的相關(guān)概念及排列數(shù)公式 (1)排列的定義:從個(gè)不同元素中取出 ()個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列. (2)排列數(shù)的定義:從個(gè)不同元素中取出 ()個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù),用表示. (3)排列

23、數(shù)公式:這里并且 (4)全排列:個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列,叫做個(gè)元素的一個(gè)全排列,(叫做n的階乘).排列數(shù)公式寫(xiě)成階乘的形式為,這里規(guī)定. 2.組合的相關(guān)概念及組合數(shù)公式 (1)組合的定義:從個(gè)不同元素中取出 ()個(gè)元素合成一組,叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合. (2)組合數(shù)的定義:從個(gè)不同元素中取出 ()個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù),用表示. (3)組合數(shù)的計(jì)算公式:,由于,所以. (4)組合數(shù)的性質(zhì):①;②;③. 3.區(qū)分某一問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題,關(guān)鍵看選出的元素與順序是否有關(guān).若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響,則是排

24、列問(wèn)題;若交換任意兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果沒(méi)有影響,則是組合問(wèn)題.也就是說(shuō)排列問(wèn)題與選取元素的順序有關(guān),組合問(wèn)題與選取元素的順序無(wú)關(guān). 4.解決排列組合問(wèn)題可遵循“先組合后排列”的原則,區(qū)分排列組合問(wèn)題主要是判斷“有序”和“無(wú)序”,更重要的是弄清怎樣的算法有序,怎樣的算法無(wú)序,關(guān)鍵是在計(jì)算中體現(xiàn)“有序”和“無(wú)序”. 5.要能夠?qū)懗鏊蟹蠗l件的排列或組合,盡可能使寫(xiě)出的排列或組合與計(jì)算的排列數(shù)相符,使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,這樣既可以加深對(duì)問(wèn)題的理解,檢驗(yàn)算法的正確與否,又可以對(duì)排列數(shù)或組合數(shù)較小的問(wèn)題的解決起到事半功倍的效果. 【規(guī)律方法技巧】 1. 求解排列、組合問(wèn)題的思路:排組分清,加乘明確

25、;有序排列,無(wú)序組合;分類相加,分步相乘. 具體地說(shuō),解排列、組合的應(yīng)用題,通常有以下途徑:(1)以元素為主體,即先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素.(2)以位置為主體,即先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置.(3)先不考慮附加條件,計(jì)算出排列或組合數(shù),再減去不符合要求的排列或組合數(shù). 2. 解答排列、組合問(wèn)題的角度:解答排列、組合應(yīng)用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手.(1)“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論,哪些是“元素”,哪些是“位置”;(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合,對(duì)某些元素的位置有、無(wú)限制等;(3)“分類”就是將較復(fù)雜的應(yīng)用題中的元素分成互相排斥的幾類

26、,然后逐類解決;(4)“分步”就是把問(wèn)題化成幾個(gè)互相聯(lián)系的步驟,而每一步都是簡(jiǎn)單的排列、組合問(wèn)題,然后逐步解決. 3. 有條件的排列問(wèn)題大致分四種類型.(1)某元素不在某個(gè)位置上問(wèn)題,①可從位置考慮用其它元素占上該位置,②可考慮該元素的去向(要注意是否是全排列問(wèn)題);③可間接計(jì)算即從排列總數(shù)中減去不符合條件的排列個(gè)數(shù).(2)某些元素相鄰,可將這些元素排好看作一個(gè)元素(即捆綁法)然后與其它元素排列.(3)某些元素互不相鄰,可將其它剩余元素排列,然后用這些元素進(jìn)行插空(即插空法).(4)某些元素順序一定,可在所有排列位置中取若干個(gè)位置,先排上剩余的其它元素,這個(gè)元素也就一種排法. 4. 對(duì)于有

27、條件的組合問(wèn)題,可能遇到含某個(gè)(些)元素與不含某個(gè)(些)元素問(wèn)題;也可能遇到“至多”或“至少”等組合問(wèn)題的計(jì)算,此類問(wèn)題要注意分類處理或間接計(jì)算,切記不要因?yàn)椤跋热≡俸笕 碑a(chǎn)生順序造成計(jì)算錯(cuò)誤. 5.排列、組合綜合應(yīng)用問(wèn)題的常見(jiàn)解法:①特殊元素(特殊位置)優(yōu)先安排法;②合理分類與準(zhǔn)確分步;③排列、組合混合問(wèn)題先選后排法;④相鄰問(wèn)題捆綁法;⑤不相鄰問(wèn)題插空法;⑥定序問(wèn)題倍縮法;⑦多排問(wèn)題一排法;⑧“小集團(tuán)”問(wèn)題先整體后局部法;⑨構(gòu)造模型法;⑩正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化法. 6. 在計(jì)算排列組合問(wèn)題時(shí),可能會(huì)遇到“分組”問(wèn)題,要特別注意是平均分組還是不平均分組.可從排列與組合的關(guān)系出發(fā),用類比的方法去

28、理解分組問(wèn)題,比如將4個(gè)元素分為兩組,若一組一個(gè)、一組三個(gè)共有種不同的分法;而平均分為兩組則有種不同的分法. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1.現(xiàn)有6名學(xué)生,按下列要求回答問(wèn)題(列出算式,并計(jì)算出結(jié)果): (Ⅰ)6人站成一排,甲站在乙的前面(甲、乙可以不相鄰)的不同站法種數(shù); (Ⅱ)6人站成一排,甲、乙相鄰,且丙與乙不相鄰的不同站法種數(shù); (Ⅲ)把這6名學(xué)生全部分到4個(gè)不同的班級(jí),每個(gè)班級(jí)至少1人的不同分配方法種數(shù); (Ⅳ)6人站成一排,求在甲、乙相鄰條件下,丙、丁不相鄰的概率. 【答案】(Ⅰ); (Ⅱ); (Ⅲ); (Ⅳ) 【解析】 試題分析:(Ⅰ)6個(gè)人全排列共有種不同排法,

29、由于甲站在乙的前面與乙站在甲的前面各占一半,故甲站在乙的前面(甲、乙可以不相鄰)的不同站法種數(shù)為;(Ⅱ)甲乙捆綁到一起與剩下3人共4人共有種不同排法,由于丙與乙不相鄰,丙只需從甲乙這個(gè)整體與剩余3人產(chǎn)生的4個(gè)空中任選一個(gè)進(jìn)行排放,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,共種不同排法;(Ⅲ)6名學(xué)生全部分到4個(gè)不同的班級(jí),每個(gè)班級(jí)至少1人有兩類,第一類是3個(gè)班級(jí)各1人,1個(gè)班級(jí)有3人,這種情況共有,第二類是2個(gè)班級(jí)2人,2個(gè)班級(jí)1人,這種情況共有,根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知每個(gè)班級(jí)至少1人的不同分配方法種數(shù)為;(Ⅳ)記A:甲乙相鄰共有種不同排法,記B:甲、乙相鄰且丙、丁不相鄰共有種不同排法,根據(jù)條件概率的計(jì)算公式 試題解析

30、: (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) (Ⅳ) 2. 6本不同的書(shū),按照以下要求處理,各有幾種分法? (1)一堆一本,一堆兩本,一堆三本; (2)甲得一本,乙得二本,丙得三本; (3)平均分給甲、乙、丙三人; (4)平均分成三堆. 【答案】(1)60; (2)60; (3)90; (4)15 【解析】(1)先在6本書(shū)中任取一本.作為一本一堆,有種取法,再?gòu)挠嘞碌奈灞緯?shū)中任取兩本,作為兩本一堆,有種取法,再后從余下三本取三本作為一堆,有種取法,故共有分法種. (2)由(1)知.分成三堆的方法有種,而每種分組方法僅對(duì)應(yīng)一種分配方法, 故甲得一本,乙得二本,丙得三本

31、的分法亦為種. (3)3個(gè)人一個(gè)一個(gè)地來(lái)取書(shū),甲從6本不同的書(shū)本中任取出2本的方法有種,甲不論用哪一種方法取得2本書(shū)后,已再?gòu)挠嘞碌?本書(shū)中取書(shū)有種方法,而甲、乙不論用哪一種方法各取2本書(shū)后,丙從余下的兩本中取兩本書(shū),有種方法,所以一共有種方法. (4)把6本不同的書(shū)分成三堆,每推二本與把六本不同的書(shū)分給甲、乙、丙三人,每人二本的區(qū)別在于,后者相當(dāng)于把六本不同的書(shū),平均分成三難后,再把每次分得的三堆書(shū)分給甲、乙、丙三個(gè)人.因此,設(shè)把六本不同的書(shū),平均分成三堆的方法有種,那么把六本不同的書(shū)分給甲、乙、丙三人每人2本的分法就應(yīng)種,由(3)知,把六本不同的書(shū)分給甲、乙、丙三人,每人2本的方法有種

32、. 所以,則(種). 【兩年模擬詳解析】 1.將甲、乙等名學(xué)生分配到三個(gè)不的班級(jí),每個(gè)班級(jí)至少1.用這六個(gè)數(shù)字,完成下面兩個(gè)小題. (1)若數(shù)字不允許重復(fù),可以組成多少個(gè)能被整除的且百位數(shù)字不是的不同的五位數(shù); (2)若直線方程中的可以從已知的六個(gè)數(shù)字中任取個(gè)不同的數(shù)字,則直線方程表示的不同直線共有多少條? 【答案】(1);(2) 【解析】 試題分析:(1)依據(jù)能被整除的數(shù),其個(gè)位是或,分兩類,由加法原理得到結(jié)論; (2)對(duì)于選不選零,結(jié)果會(huì)受影響,所以第一類均不為零,的取值,第二類中有一個(gè)為,則不同的直線僅有兩條,根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果. 試題解析:(1)當(dāng)末位

33、數(shù)字是時(shí),百位數(shù)字有個(gè)選擇,共有(個(gè)); 當(dāng)末位數(shù)字是時(shí),若首位數(shù)字是,共有個(gè)); 當(dāng)末位數(shù)字是時(shí),若首位數(shù)字是或或,共有(個(gè)); 故共有(個(gè)). (2)中有一個(gè)取時(shí),有條; 都不取時(shí),有(條); 與重復(fù); ,與重復(fù). 故共有(條). 2.六人按下列要求站一橫排,分別有多少種不同的站法? (1)甲不站兩端; (2)甲、乙必須相鄰; (3)甲、乙不相鄰; (4)甲、乙按自左至右順序排隊(duì)(可以不相鄰); (5)甲、乙站在兩端. 【答案】(1)480;(2)240;(3)480;(4)360;(5)48. 【解析】 試題分析:本題主要考查排列

34、組合等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問(wèn),甲除去兩端的位置外,還有四個(gè)位置可供選擇,排好后再其余的5人;第二問(wèn),用捆綁法把甲乙看成1個(gè)人,甲乙進(jìn)行全排列,5個(gè)人進(jìn)行全排列;第三問(wèn),用插空法,先排其余4人,將甲乙插在5個(gè)空中;第四問(wèn),先排甲乙以外的4人,排好后剩下的2個(gè)位置直接放甲和乙;第五問(wèn),先排甲乙兩端的位置,再排中間4個(gè)人. 方法三:若對(duì)甲沒(méi)有限制條件共有種法,甲在兩端共有2種站法,從總數(shù)中減去這兩種情況的排列數(shù),即得所求的站法數(shù),共有2=480(種). (2)先把甲、乙作為一個(gè)“整體”,看作一個(gè)人,有種站法,再把甲、乙進(jìn)行全排列,有種站法,根椐分步

35、計(jì)數(shù)原理,共有=240(種)站法. (3)因?yàn)榧?、乙不相鄰,中間有隔檔,可用“插空法”,第一步先讓甲、乙以外的4個(gè)人站隊(duì),有種;第二步再將甲、乙排在4人形成的5個(gè)空檔(含兩端)中,有種,故共有站法為(種). 也可是用“間接法”,6個(gè)人全排列有種站法,由(2)知甲、乙相鄰有種站法,所以不相鄰的站法有(種). (4)先將甲、乙以外的4人從6個(gè)位置中挑選4個(gè)位置進(jìn)行排列共有種,剩下的兩個(gè)位置,左邊的就是甲,右邊的就是乙,全部排完,故共有種. (5)方法一:首先考慮特殊元素,甲、乙先站兩端,有種,再讓其他4人在中間位置作全排列,有種,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,共有=48(種). 方法二:首先考慮兩端

36、兩個(gè)特殊位置,甲、乙去站有種站法,然后考慮中間4個(gè)位置,由剩下的4人去站,有種站法,由分步計(jì)數(shù)原理共有=48種站法. 3.由四個(gè)不同的數(shù)字1,2,4,x組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù). (1)若x=5,其中能被5整除的共有多少個(gè)? (2)若x=9,其中能被3整除的共有多少個(gè)? (3)若x=0,其中的偶數(shù)共有多少個(gè)? (4)若所有這些三位數(shù)的各位數(shù)字之和是252,求x. 【答案】(1)6個(gè);(2)12個(gè);(3)14個(gè);(4)x=7 【解析】 試題分析:(1)能被5整除需要滿足個(gè)位數(shù)字是5,只需排列十位百位; (2)能被3整除需滿足3個(gè)數(shù)字之和是3的倍數(shù);(3)偶數(shù)需要將個(gè)位數(shù)字安排2或0

37、;(4)分析易得x=0時(shí)不能滿足題意,進(jìn)而討論x≠0時(shí),先求出4個(gè)數(shù)字可以組成無(wú)重復(fù)三位數(shù)的個(gè)數(shù),進(jìn)而可以計(jì)算出每個(gè)數(shù)字用了18次,則有252=18×(1+2+4+x),解可得x的值 試題解析:(1)若x=5,則四個(gè)數(shù)字為1,2,4,5; 又由要求的三位數(shù)能被5整除,則5必須在末尾, 在1、2、4三個(gè)數(shù)字中任選2個(gè),放在前2位,有A32=6種情況, 即能被5整除的三位數(shù)共有6個(gè); (2)若x=9,則四個(gè)數(shù)字為1,2,4,9; 又由要求的三位數(shù)能被3整除,則這三個(gè)數(shù)字為1、2、9或2、4、9, 取出的三個(gè)數(shù)字為1、2、9時(shí),有A33=6種情況, 取出的三個(gè)數(shù)字為2、4、9時(shí),有A

38、33=6種情況, 則此時(shí)一共有6+6=12個(gè)能被3整除的三位數(shù); (3)若x=0,則四個(gè)數(shù)字為1,2,4,0; 又由要求的三位數(shù)是偶數(shù),則這個(gè)三位數(shù)的末位數(shù)字為0或2或4, 當(dāng)末位是0時(shí),在1、2、4三個(gè)數(shù)字中任選2個(gè),放在前2位,有A32=6種情況, 當(dāng)末位是2或4時(shí),有A21×A21×A21=8種情況, 此時(shí)三位偶數(shù)一共有6+8=14個(gè), (4)若x=0,可以組成=3×3×2=18個(gè)三位數(shù),即1、2、4、0四個(gè)數(shù)字最多出現(xiàn)18次,則所有這些三位數(shù)的各位數(shù)字之和最大為(1+2+4)×18=126,不合題意, 故x=0不成立;當(dāng)x≠0時(shí),可以組成無(wú)重復(fù)三位數(shù)共有=4×3×2=2

39、4種,共用了24×3=72個(gè)數(shù)字,則每個(gè)數(shù)字用了=18次,則有252=18×(1+2+4+x),解可得x=7 4.已知一個(gè)袋內(nèi)有4只不同的紅球,6只不同的白球。 (1)從中任取4只球,紅球的只數(shù)不比白球少的取法有多少種? (2)若取一只紅球記2分,取一只紅球記2分,取一只白球記1分,從中任取5只球,使總分不小于7分的取法有多少種? (3)在(2)條件下,當(dāng)總分為8時(shí),將抽出的球排成一排,僅有兩個(gè)紅球相鄰的排法種數(shù)是多少? 【答案】(1)115;(2)186;(3)4320。 【解析】 試題分析:(1)本題考察的是分類計(jì)數(shù)原理,根據(jù)所給條件利用組合數(shù)求出每一類的取法,然后把每一類相

40、加一起就可以算出答案。本題易錯(cuò)點(diǎn)在分類不完整,從而導(dǎo)致最后的答案出錯(cuò)。 本題考察的是分類計(jì)數(shù)原理,因?yàn)橐罂偡植恍∮?分的取法,所以可以從整體中去掉不滿足要求的取法即可,所以至少要取兩個(gè)紅球,從10個(gè)球種任取5個(gè)球,有種取法;取0個(gè)紅球5個(gè)白球,有種取法;取1個(gè)紅球4個(gè)白球,有種取法,所以就可以得到所求答案。 (3)本題考察的是排列數(shù)和分步計(jì)數(shù)法,因?yàn)榭偡譃?,所以取到的是3個(gè)紅球,2個(gè)白球,有種取法,取出的5個(gè)球排成一排,僅有兩個(gè)紅球的排列方法有種,所以根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理有種排法。 試題解析:(1)種 (2)總分不小于7分的取法必需紅球至少有2個(gè)紅球,所以方法數(shù)為種 (3)種。 5

41、.一個(gè)袋子里有4個(gè)不同的紅球,6個(gè)不同的白球,從中任取4個(gè)使得取出的球中紅球比白球多的取法有多少種?紅球不少于白球的取法又有多少種? 【答案】(1);(2) 6.解下列方程: 【答案】14 【解析】 試題分析:本題主要考察組合數(shù)公式的應(yīng)用,根據(jù)公式就可以把所給方程化簡(jiǎn)成簡(jiǎn)單方程,就可以解出答案。本題易錯(cuò)點(diǎn)在記錯(cuò)公式,從而導(dǎo)致化簡(jiǎn)出錯(cuò),本題中的上下標(biāo)較多 ,化簡(jiǎn)時(shí)要多加注意。 試題解析:得 7.(1)把5本不同的書(shū)分給3名同學(xué),每人一本,有多少種不同的分法? (2)把5本相同的書(shū)分給3名同學(xué),每人一本,有多少種不同的分法? 【答案】(1);(2) 【解析】 試題分析

42、:(1)先選3本,然后再分給三名不同的同學(xué);(2)因?yàn)槭窍嗤臅?shū),所以選3本事一種方法,分給三名同學(xué)也是一種方法. 試題解析:(1)種方法,答:共有60種方法.(2)因?yàn)槭窍嗤臅?shū),所以是1種方法. 8.從射擊、乒乓球、跳水、田徑四個(gè)大項(xiàng)的雅典奧運(yùn)冠軍中選出6名作“奪冠之路”的勵(lì)志報(bào)告. (1)若每個(gè)大項(xiàng)中至少選派一人,則名額分配有幾種情況? (2)若將6名冠軍分配到5個(gè)院校中的4個(gè)院校作報(bào)告,每個(gè)院校至少一名冠軍,則有多少種不同的分配方法? 【答案】(1)10;(2)7800. 【解析】 試題分析:(1)6個(gè)名額沒(méi)有差異,所以選擇隔板法,(2)首先先從5個(gè)院校選擇4個(gè)院校,

43、然后將6名冠軍分組,3111,或是2211,兩種情況,最后再分配乘以. 試題解析:(1)名額分配只與人數(shù)有關(guān),與不同的人無(wú)關(guān). 所以選擇隔板法, (2)從5個(gè)院校中選4個(gè),再?gòu)?個(gè)冠軍中,先組合,再進(jìn)行排列,有種分配方法. 9.將四個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的相同小球放入編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)盒子中, (1)若每個(gè)盒子放一個(gè)小球,求有多少種放法; (2)若每個(gè)盒子放一球,求恰有1個(gè)盒子的號(hào)碼與小球的號(hào)碼相同的放法種數(shù); (3)求恰有一個(gè)空盒子的放法種數(shù)。 【答案】(1)24;(2)8;(3)144

44、; 【解析】 試題分析:(1)直接利用排列數(shù)公式即可;(2)先從四個(gè)球中選出一個(gè)與盒子號(hào)碼相同,再把剩余的三個(gè)分別放入號(hào)碼不同的盒子中;(3)先從四個(gè)盒子中選出一個(gè)空盒子,再把球分成2、1、1三組放入三個(gè)盒子中,屬于不平均分組問(wèn)題。 試題解析:(1)種;(2)先從四個(gè)球中選出一個(gè)與盒子號(hào)碼相同由種方法,再把剩余的三個(gè)分別放入號(hào)碼不同的盒子中有2種方法,所以有種;(3)先從四個(gè)盒子中選出一個(gè)空盒子有種方法,再把球分成2、1、1三組放入三個(gè)盒子中有種,所以有種 10.六人按下列要求站一橫排,分別有多少種不同的站法? (l)甲不站兩端; (2)甲、乙不相鄰; (3)甲、乙之間間

45、隔兩人; (4)甲不站左端,乙不站右端. 【答案】(l)480(2)480(3)144(4)504 【解析】 【一年原創(chuàng)真預(yù)測(cè)】 1. 一個(gè)正方形花圃,被分為n()份,種植紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色不同的花,要求相鄰兩部分種植不同顏色的花。 (1)如圖1,正方形被分為3份A、B、C,有多少種不同的種植方法? (2)如圖2,正方形被分為4份A、B、C、D,有多少種不同的種植方法? (3)如圖3,正方形被分為5份A、B、C、D、E,有多少種不同的種植方法? 【答案】(1)24(2)48(3)96 【解析】 試題分析:(1)采用分步計(jì)數(shù)原理求解(2)(3)分步計(jì)數(shù)原理求解

46、時(shí)需分兩種情況:對(duì)角相同與不相同兩種情況 試題解析:(1)共24種。圖1,運(yùn)用分步種植的方法,先對(duì)A部分種植,有4種不同的種植方法;再對(duì)B部分種植,有3種不同的種植方法;最后對(duì)C部分種植,有2種不同的種植方法,共4×3×2=24種。 (2)共84種。圖2,先對(duì)A部分種植,有4種不同的種植方法;再對(duì)B部分種植,有3種不同的種植方法;對(duì)C種植進(jìn)行分類:若與B相同,D有3種不同的種植方法,共有4×3×1×3=36種種植方法,若與B不同,C有2種不同的種植方法,D有2種不同的種植方法,共有4×3×2×2=48。 共有36+38=84種不同的種植方法。

47、 (3)共96種。圖3,先對(duì)A部分種植,有4種不同的種植方法;再對(duì)B部分種植,有3種不同的種植方法;對(duì)C種植進(jìn)行分類:若與B相同,D有2種不同的種植方法,E有2種不同的種植方法,共有4×3×1×2×2=48種種植方法,若與B不同,C有2種不同的種植方法,D有1種不同的種植方法,E有2種不同的種植方法,共有4×3×2×1×2=48。 共有48+48=96種不同的種植方法。 【入選理由】本題考查排列數(shù)與組合數(shù),以及計(jì)數(shù)原理等基礎(chǔ)知識(shí),意在考查分析問(wèn)題以及簡(jiǎn)單的計(jì)算能力.染色問(wèn)題是計(jì)數(shù)原理應(yīng)用,也是高考考試的重點(diǎn),本題考查內(nèi)容基礎(chǔ)

48、性較強(qiáng),符合高考的方向,故押此題. 2. 標(biāo)號(hào)為0到9的10瓶礦泉水. (1)從中取4瓶, 恰有2瓶上的數(shù)字相鄰的取法有多少種? (2)把10個(gè)空礦泉水瓶掛成如下4列的形式, 作為射擊的靶子, 規(guī)定每次只能射擊每列最下面的一個(gè)(射中后這個(gè)空瓶會(huì)掉到地下), 把10個(gè)礦泉水瓶全部擊中有幾種不同的射擊方案? (3)把擊中后的礦泉水瓶分送給A、B、C三名垃圾回收人員, 每個(gè)瓶子1角錢.垃圾回收人員賣掉瓶子后有幾種不同的收入結(jié)果? 【答案】(1)35種;(2)25200;(3)66. 【解析】 試題分析:(1)取4張紅卡,其中2張連在一起,組成3個(gè)組合卡,6張白卡排成一排,插入3個(gè)組合卡,有種方法,即可得出結(jié)論; (2)一種射擊方案對(duì)應(yīng)于從0至9共十個(gè)數(shù)字中取2個(gè)、3個(gè)、3個(gè)、2個(gè)數(shù)字的組合,因?yàn)槊拷M數(shù)的數(shù)字大小是固定的,數(shù)字小的掛下面,可得結(jié)論; (3)由于A、B、C所得錢數(shù)與瓶子編號(hào)無(wú)關(guān),他們所得錢數(shù)只與所得瓶子個(gè)數(shù)有關(guān),即可得出結(jié)論 【入選理由】本題主要考查排列組合問(wèn)題、排列數(shù)組合數(shù)公式的應(yīng)用等知識(shí),意在考查考生的理解能力及計(jì)算能力.本題是一個(gè)常規(guī)題,但考查的知識(shí)基礎(chǔ),有一定的綜合性,符合小題綜合化的高考要求, 故選此題. - 22 -

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