高三數(shù)學北師大版理一輪教師用書：第4章 第2節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導公式 Word版含解析

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1、 第二節(jié)　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導公式 [最新考綱]　1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2 α＋cos2 α＝1，＝tan α.2.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導出±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導公式． 1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 (1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1； (2)商數(shù)關(guān)系：tan α＝. 2．誘導公式 組序 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos_α 余弦 cos α －

2、cos α cos α －cos_α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan_α 口訣 函數(shù)名不變，符號看象限 函數(shù)名改變 符號看象限 1．同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. 2．誘導公式的記憶口訣 “奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)若α，β為銳角，則sin2α＋cos2β＝1.(　　) (2)若α∈R

3、，則tan α＝恒成立．(　　) (3)sin(π＋α)＝－sin α成立的條件是α為銳角．(　　) (4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，則sin α＝.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．化簡sin 690°的值是(　　) A．　　 　 B．－　 　　 C．　　 　 D．－ B　[sin 690°＝sin(720°－30°)＝－sin 30°＝－.選B.] 2．若sin α＝，＜α＜π，則tan α＝________. －　[∵＜α＜π，∴cos α＝－＝－， ∴tan α＝＝－.] 3．已知tan α＝2，則的值為___

4、_____． 3　[原式＝＝＝3.] 4．化簡·sin(α－π)·cos(2π－α)的結(jié)果為________． －sin2α　[原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.] 考點1　同角三角函數(shù)基本關(guān)系式 　同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用技巧 (1)弦切互化：利用公式tan α＝實現(xiàn)角α的弦切互化． (2)和(差)積轉(zhuǎn)換：利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α進行變形、轉(zhuǎn)化． (3)“1”的變換：1＝sin2α＋cos2α＝cos2α·(tan2α＋1)＝sin2α·. 　“知一求二”問題 　(1)[一題多解]已知cos α＝k，k∈R，α

5、∈，則sin(π＋α)＝(　　) A．－　　　　　　　 B． C．± D．－k (2)(2019·福州模擬)若α∈，sin(π－α)＝，則tan α＝(　　) A．－ B． C．－ D． (1)A　(2)C　[(1)法一：(直接法)由cos α＝k，α∈得sin α＝，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－.故選A. 法二：(排除法)易知k＜0，從而sin(π＋α)＝－sin α＜0，排除選項BCD，故選A. (2)因為α∈，sin α＝，所以cos α＝－，所以tan α＝－.] 　利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解問題的關(guān)鍵是熟練掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的正用、

6、逆用、變形．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系本身是恒等式，也可以看作是方程，對于一些題，可利用已知條件，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系列方程組，通過解方程組達到解決問題的目的，此時應(yīng)注意在利用sin2α＋cos2α＝1求sin α或cos α時，符號的選取． 　弦切互化 　(1)(2019·鄭州模擬)已知＝5，則cos2α＋sin 2α的值是(　　) A．　　 　 B．－ C．－3　　 　 D．3 (2)已知θ為第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，則tan θ＝________. (1)A　(2)－　[(1)由＝5得＝5， 可得tan α＝2， 則cos2α＋sin 2α＝cos2

7、α＋sin αcos α＝＝＝.故選A. (2)由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sin θcos θ＝－8cos2θ，又因為θ為第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－.] 　若已知正切值，求一個關(guān)于正弦和余弦的齊次分式的值，則可以通過分子、分母同時除以一個余弦的齊次冪將其轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于正切的分式，代入正切值就可以求出這個分式的值，這是同角三角函數(shù)關(guān)系中的一類基本題型． 　sin α±cos α與sin αcos α關(guān)系的應(yīng)用 　(1)若|sin θ|＋|cos θ|＝，則sin4θ＋cos4θ＝(　　)

8、A. B. C. D. (2)已知θ為第二象限角，sin θ，cos θ是關(guān)于x的方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的兩根，則sin θ－cos θ＝(　　) A. B. C. D.－ (1)B　(2)B　[(1)因為|sin θ|＋|cos θ|＝，兩邊平方，得1＋|sin 2θ|＝.所以|sin 2θ|＝.所以sin4θ＋cos4θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝.故選B. (2)因為sin θ，cos θ是方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的兩根，所以sin θ＋cos θ＝，sin θ·cos θ＝，可得(sin θ＋cos θ)

9、2＝1＋2sin θ·cos θ＝1＋m＝，解得m＝－.因為θ為第二象限角，所以sin θ＞0，cos θ＜0，即sin θ－cos θ＞0，因為(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－m＝1＋，所以sin θ－cos θ＝＝.故選B.] 　對于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α這三個式 子，知一可求二，若令sin α＋cos α＝t(t∈[－，])，則sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根據(jù)α的范圍選取正、負號)，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用． 　1.已知sin(π＋α)＝－，則tan值為(　　) A．2 B．

10、－2 C． D．±2 D　[因為sin(π＋α)＝－，所以sin α＝，cos α＝±，tan＝＝±2.故選D.] 2．已知tan θ＝2，則＋sin2θ的值為(　　) A. B. C. D. C　[原式＝＋sin2θ＝＋＝＋，將tan θ＝2代入，得原式＝.故選C.] 3．已知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，則tan x＝(　　) A．－ B． C． D．－ D　[因為sin x＋cos x＝，且x∈(0，π)，所以1＋2sin xcos x＝1－，所以2sin xcos x＝－＜0，所以x為鈍角，所以sin x－cos x＝＝，結(jié)合已知解得

11、sin x＝，cos x＝－，則tan x＝＝－.] 4．若3sin α＋cos α＝0，則的值為________． 　[3sin α＋cos α＝0?cos α≠0?tan α＝－， ＝＝＝＝.] 考點2　誘導公式的應(yīng)用 　應(yīng)用誘導公式的一般思路 (1)化大角為小角，化負角為正角； (2)角中含有加減的整數(shù)倍時，用公式去掉的整數(shù)倍． 　(1)設(shè)f(α)＝ (1＋2sin α≠0)，則f＝________. (2)已知cos＝a，則cos＋sin的值是________． (1)　(2)0　[(1)因為f(α)＝＝＝＝，所以f＝＝＝＝. (2)因為cos＝cos＝－co

12、s＝－a，sin＝sin＝cos＝a，所以cos＋sin＝0.] 　(1)已知角求值問題，關(guān)鍵是利用誘導公式把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值求解．轉(zhuǎn)化過程中注意口訣“奇變偶不變，符號看象限”的應(yīng)用． (2)對給定的式子進行化簡或求值時，要注意給定的角之間存在的特定關(guān)系，充分利用給定的關(guān)系結(jié)合誘導公式將角進行轉(zhuǎn)化．特別要注意每一個角所在的象限，防止符號及三角函數(shù)名出錯． 　1.化簡：＝______. －1　[原式＝ ＝＝ ＝－＝－·＝－1.] 2．已知角α終邊上一點P(－4,3)，則的值為________． －　[原式＝＝tan α， 根據(jù)三角函數(shù)的定義得tan α＝

13、－.] 考點3　同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導公式的綜合應(yīng)用 　求解誘導公式與同角關(guān)系綜合問題的基本思路和化簡要求 基本 思路 ①分析結(jié)構(gòu)特點，選擇恰當公式； ②利用公式化成單角三角函數(shù)； ③整理得最簡形式 化簡 要求 ①化簡過程是恒等變換； ②結(jié)果要求項數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡單，能求值的要求出值 　已知f(x)＝(n∈Z)． (1)化簡f(x)的表達式； (2)求f＋f的值． [解]　(1)當n為偶數(shù)，即n＝2k(k∈Z)時， f(x)＝ ＝＝＝sin2x； 當n為奇數(shù)，即n＝2k＋1(k∈Z)時， f(x)＝ ＝ ＝＝ ＝sin2

14、x， 綜上得f(x)＝sin2x. (2)由(1)得f＋f ＝sin2＋sin2 ＝sin2＋sin2 ＝sin2＋cos2＝1. 　(1)利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導公式求值或化簡時，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進行變形． (2)注意角的范圍對三角函數(shù)符號的影響． [教師備選例題] 已知－π＜x＜0，sin(π＋x)－cos x＝－.　 (1)求sin x－cos x的值； (2)求的值． [解]　(1)由已知，得sin x＋cos x＝， 兩邊平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝， 整理得2sin xcos x＝－. ∵(sin

15、 x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝， 由－π＜x＜0知，sin x＜0， 又sin xcos x＝－＜0， ∴cos x＞0，∴sin x－cos x＜0， 故sin x－cos x＝－. (2)＝　 ＝ ＝＝－. 　1.已知α為銳角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，則sin α的值是(　　) A. B. C. D. C　[由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0. tan α－6sin β－1＝0， 解得tan α＝3， 又α為銳角，故sin α＝.] 2．已知tan(π－α)＝－，且α∈，則＝________. －　[由tan(π－α)＝－， 得tan α＝， 則 ＝ ＝＝＝－.] 3．已知sin α＋cos α＝－，且＜α＜π，則＋的值為________． 　[由sin α＋cos α＝－平方得 sin αcos α＝－， ∵＜α＜π， ∴sin α－cos α＝＝， ∴＋＝－＝＝＝.]