高考數(shù)學 17-18版 附加題部分 第1章 第59課 課時分層訓練3

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1、 課時分層訓練(三) A組　基礎(chǔ)達標 (建議用時：30分鐘) 1．設(shè)(5x－)n的展開式的各項系數(shù)之和為M，二項式系數(shù)之和為N，若M－N＝240，求展開式中二項式系數(shù)最大的項. 【導學號：62172324】 [解]　依題意得，M＝4n＝(2n)2，N＝2n， 于是有(2n)2－2n＝240，(2n＋15)(2n－16)＝0， ∴2n＝16＝24， 解得n＝4. 要使二項式系數(shù)C最大，只有r＝2， 故展開式中二項式系數(shù)最大的項為 T3＝C(5x)2·(－)2＝150x3. 2．設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項式系數(shù)

2、的最大值為b.若13a＝7b，求m的值． [解]　(x＋y)2m展開式中二項式系數(shù)的最大值為C， ∴a＝C，同理，b＝C. ∵13a＝7b，∴13·C＝7·C. ∴13·＝7·. ∴m＝6 3．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 【導學號：62172325】 [解]　令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.① 令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝3

3、7.② (1)∵a0＝C＝1， ∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2. (2)(①－②)÷2， 得a1＋a3＋a5＋a7 ＝＝－1 094. (3)(①＋②)÷2， 得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093. (4)法一：∵(1－2x)7展開式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187. 法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|， 即(1＋2x)7展開式中各項的系數(shù)和，令x＝1， ∴|a0|＋|a1|

4、＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187. 4．已知二項式n的展開式中各項的系數(shù)和為256. (1)求n； (2)求展開式中的常數(shù)項． [解]　(1)由題意得C＋C＋C＋…＋C＝256，∴2n＝256，解得n＝8. (2)該二項展開式中的第r＋1項為 Tr＋1＝C()8－r·r＝C·x， 令＝0，得r＝2，此時，常數(shù)項為T3＝C＝28. 5．若n展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求： (1)展開式中所有x的有理項； (2)展開式中系數(shù)最大的項． [解]　易求得展開式前三項的系數(shù)為1，C，C. 據(jù)題意得2×C＝1＋C?n＝8. (1)設(shè)展開式中的有理項為Tr＋1， 由

5、Tr＋1＝C()8－rr＝rCx， ∴r為4的倍數(shù)， 又0≤r≤8，∴r＝0,4,8. 故有理項為T1＝0Cx＝x4， T5＝4Cx＝x， T9＝8Cx＝. (2)設(shè)展開式中Tr＋1項的系數(shù)最大，則： rC≥r＋1C且rC≥r－1C?r＝2或r＝3. 故展開式中系數(shù)最大的項為T3＝2Cx＝7x， T4＝3Cx＝7x. 6．(1)已知2n＋2·3n＋5n－a能被25整除，求正整數(shù)a的最小值； (2)求1.028的近似值．(精確到小數(shù)點后三位) [解]　(1)原式＝4·6n＋5n－a＝4(5＋1)n＋5n－a ＝4(C5n＋C5n－1＋…＋C52＋C5＋C)＋5n－a

6、＝4(C5n＋C5n－1＋…＋C52)＋25n＋4－a， 顯然正整數(shù)a的最小值為4. (2)1.028＝(1＋0.02)8≈C＋C·0.02＋C·0.022＋C·0.023≈1.172. B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．(2017·蘇州期中)設(shè)f(x，n)＝(1＋x)n，n∈N＋. (1)求f(x,6)的展開式中系數(shù)最大的項； (2)n∈N＋，化簡C4n－1＋C4n－2＋C4n－3＋…＋C40＋C4－1； (3)求證：C＋2C＋3C＋…＋nC＝n×2n－1. [解]　(1)展開式中系數(shù)最大的項是第4項為Cx3＝20x3. (2)C4n－1＋C4n－2＋C4n－3

7、＋…＋C40＋C4－1 ＝[C4n＋C4n－1＋C4n－2＋…＋C4＋C]＝(4＋1)n＝. (3)證明：因為kC＝nC， 所以C＋2C＋3C＋…＋nC＝n(C＋C＋C＋…C)＝n×2n－1. 2．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N＋)的展開式中x的系數(shù)為11. (1)求x2的系數(shù)取最小值時n的值； (2)當x2的系數(shù)取得最小值時，求f(x)展開式中x的奇次冪項的系數(shù)之和． [解]　(1)由已知得C＋2C＝11，∴m＋2n＝11， x2的系數(shù)為 C＋22C＝＋2n(n－1) ＝＋(11－m) ＝2＋. ∵m∈N＋，∴m＝5時，x2的系數(shù)取得最小值22

8、，此時n＝3. (2)由(1)知，當x2的系數(shù)取得最小值時， m＝5，n＝3， ∴f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3. 設(shè)這時f(x)的展開式為 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5， 令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33＝59， 令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1， 兩式相減得2(a1＋a3＋a5)＝60， 故展開式中x的奇次冪項的系數(shù)之和為30. 3．(2017·南京模擬)設(shè)集合S＝{1,2,3，…，n}(n∈N＋，n≥2)，A，B是S的兩個非空子集，且滿足集合A中的最大數(shù)小于集合B中的最小數(shù)，記滿足條件的集合對(A，

9、B)的個數(shù)為Pn. (1)求P2，P3的值； (2)求Pn的表達式． [解]　(1)當n＝2時，即S＝{1,2}，此時A＝{1}，B＝{2}，所以P2＝1. 當n＝3時，即S＝{1,2,3}．若A＝{1}，則B＝{2}，或B＝{3}，或B＝{2,3}； 若A＝{2}或A＝{1,2}，則B＝{3}．所以P3＝5. (2)當集合A中的最大元素為“k”時，集合A的其余元素可在1,2，…，k－1中任取若干個(包含不取)，所以集合A共有C＋C＋C＋…＋C＝2k－1種情況． 此時，集合B的元素只能在k＋1，k＋2，…，n中任取若干個(至少取1個)，所以集合B共有C＋C＋C＋…＋C＝2n－k－

10、1種情況， 所以，當集合A中的最大元素為“k”時， 集合對(A，B)共有2k－1(2n－k－1)＝2n－1－2k－1對． 當k依次取1,2,3，…，n－1時，可分別得到集合對(A，B)的個數(shù)，求和可得 Pn＝(n－1)·2n－1－(20＋21＋22＋…＋2n－2)＝(n－2)·2n－1＋1. 4．(2017·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研一)在楊輝三角形中，從第3行開始，除1以外，其它每一個數(shù)值是它上面的二個數(shù)值之和，其它每一個數(shù)值是它上面的二個數(shù)值之和，這三角形數(shù)陣開頭幾行如圖59-2所示． 圖59-2 (1)在楊輝三角形中是否存在某一行，且該行中三個相鄰的數(shù)之比為3∶4∶5？若存在，試求出

11、是第幾行；若不存在，請說明理由； (2)已知n、r為正整數(shù)，且n≥r＋3. 求證：任何四個相鄰的組合數(shù)C，C，C，C不能構(gòu)成等差數(shù)列． [解]　(1)楊輝三角形的第n行由二項式系數(shù)C，k＝0,1,2，…，n組成． 如果第n行中有＝＝，＝＝， 那么3n－7k＝－3,4n－9k＝5， 解這個聯(lián)立方程組，得k＝27，n＝62. 即第62行有三個相鄰的數(shù)C，C，C的比為3∶4∶5. (2)假設(shè)有n，r(n≥r＋3)，使得C，C，C，C成等差數(shù)列， 則2C＝C＋C，2C＝C＋C， 即＝＋， ＝＋. 所以有＝＋， ＝＋， 經(jīng)整理得到n2－(4r＋5)n＋4r(r＋2)＋2＝0，n2－(4r＋9)n＋4(r＋1)(r＋3)＋2＝0. 兩式相減可得n＝2r＋3， 于是C，C，C，C成等差數(shù)列， 而由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知C＝C＜C＝C， 這與等差數(shù)列性質(zhì)矛盾，從而要證明的結(jié)論成立．