2018年高考數(shù)學(xué) 專題19 平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示熱點(diǎn)題型和提分秘籍 理

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1、 專題19 平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示 1.了解平面向量基本定理及其意義 2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 3.會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算 4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件 熱點(diǎn)題型一 平面向量基本定理及其應(yīng)用 例1、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F(xiàn)分別為線段AD與BC的中點(diǎn)。設(shè)＝a，＝b，試用a，b為基底表示向量，，。 解析：＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a， ＝＋＝－b＋＝b－a。 ＝＋＝－b－＝a－b。 【提分秘籍】用平面向量基本定理解決問題的一般思路 (1)合理地選取基底是解題必須具備的意識和

2、能力。用基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決。 (2)要注意運(yùn)用平面幾何的一些性質(zhì)、定理來解題。 熱點(diǎn)題型二 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 例2、【2017課標(biāo)3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若= +，則+的最大值為 A．3 B．2 C． D．2 【答案】A 【解析】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系 設(shè) 【變式探究】已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，設(shè)＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b。 (1)求3a＋b－3c； (2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n；

3、 (3)求M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)。 解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)。 (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)。 (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)， ∴解得 解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)。 (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)。 (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)， ∴解得 【提分秘籍】

4、 向量坐標(biāo)運(yùn)算的方法技巧 向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行的。若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及運(yùn)算法則的正確使用。 【舉一反三】 已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，則向量a－b＝(　　) A．(－2，－1)　　　　　B．(－2，1) C．(－1，0) D．(－1，2) 解析：a＝，b＝， 故a－b＝(－1，2)。 答案：D 熱點(diǎn)題型三 平面向量共線的坐標(biāo)表示 例3．【2017課標(biāo)II，理12】已知是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小是（

5、） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如圖，以為軸， 的垂直平分線為軸， 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則， ， ，設(shè)，所以， ， ，所以， ，當(dāng)時，所求的最小值為，故選B． 平面內(nèi)給定三個向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)?；卮鹣铝袉栴}： (1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數(shù)k； (2)設(shè)d＝(x，y)滿足(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1，求d。 解析：(1)a＋kc＝(3，2)＋k(4，1)＝(3＋4k，2＋k)， 2

6、b－a＝(－2，4)－(3，2)＝(－5，2)， ∴＝。 ∴6＋8k＝－10－5k.∴k＝－。 【提分秘籍】 1．根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)的值 利用向量共線轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的方程，解方程可求參數(shù)。 2．利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求三角函數(shù)值 利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角方程，再利用三角恒等變換求解。 【舉一反三】 已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個頂點(diǎn)A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為__________。 1.【2017課標(biāo)3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若=

7、+，則+的最大值為 A．3 B．2 C． D．2 【答案】A 【解析】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系 設(shè) 根據(jù)等面積公式可得圓的半徑是，即圓的方程是 ，若滿足 即 ， ，所以，設(shè) ，即，點(diǎn)在圓上，所以圓心到直線的距離，即 ，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故選A。 【考點(diǎn)】 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；平面向量基本定理 2.【2017課標(biāo)II，理12】已知是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小是（ ） A. B. C.

8、D. 【答案】B 【考點(diǎn)】 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；函數(shù)的最值 3.【2017課標(biāo)1，理13】已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則| a +2 b |= . 【答案】 【解析】利用如下圖形，可以判斷出的模長是以2為邊長的菱形對角線的長度， 所以. 【考點(diǎn)】平面向量的運(yùn)算. 1.【2016年高考四川理數(shù)】在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足 ==,===-2，動點(diǎn)P，M滿足 =1，=，則的最大值是( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】甴已知易得.以為原點(diǎn)，直線為軸建立平面

9、直角坐標(biāo)系，如圖所示，則設(shè)由已知，得，又 ，它表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方的，，故選B. 【2015高考福建，理9】已知 ，若 點(diǎn)是 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且 ，則 的最大值等于（ ） A．13 B．15 C．19 D．21 【答案】A 【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，即，所以，，因此 ，因為，所以 的最大值等于，當(dāng)，即時取等號． 【2015高考湖北，理11】已知向量，，則 . 【答案】9 【解析】因為，， 所以. 1．（2014·重慶卷） 已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4

10、)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，則實數(shù)k＝(　　) A．－ B．0 C．3 D. 【答案】C　 【解析】∵2a－3b＝2(k，3)－3(1，4)＝(2k－3，－6)，又(2a－3b)⊥c，∴(2k－3)×2＋(－6)＝0，解得k＝3. 2．（2014·福建卷） 在下列向量組中，可以把向量a＝(3，2)表示出來的是(　　) A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2) B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3) 【答案】B　 【解析】由向量共線定理，選項A，C，D中的向量組

11、是共線向量，不能作為基底；而選項B中的向量組不共線，可以作為基底，故選B. 3．（2014·山東卷） 已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函數(shù)f(x)＝a·b，且y＝f(x)的圖像過點(diǎn)和點(diǎn). (1)求m，n的值； (2)將y＝f(x)的圖像向左平移φ(0＜φ＜π)個單位后得到函數(shù)y＝g(x)的圖像，若y＝g(x)圖像上各最高點(diǎn)到點(diǎn)(0，3)的距離的最小值為1，求y＝g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間． (2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin. 由題意知，g(x)＝f(x＋φ)＝2sin. 設(shè)y＝g(x)的圖像上符合題意的最高點(diǎn)為(x0，2)

12、． 由題意知，x＋1＝1，所以x0＝0， 即到點(diǎn)(0，3)的距離為1的最高點(diǎn)為(0，2)． 將其代入y＝g(x)得，sin＝1. 因為0<φ<π，所以φ＝. 因此，g(x)＝2sin＝2cos 2x. 由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z， 所以函數(shù)y＝g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z. 4．（2014·陜西卷） 設(shè)0<θ<，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，則tan θ＝________． 【答案】　【解析】因為向量a∥b，所以sin 2θ－cos θ·cos θ＝0，又cos θ≠0，所以2sin θ＝cos

13、θ，故tan θ＝. 5．（2014·陜西卷） 在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，點(diǎn)P(x，y)在△ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上． (1)若＋＋＝0，求||； (2)設(shè)＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值． 【解析】(1)方法一：∵＋＋＝0， 又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)， ∴解得 即＝(2，2)，故||＝2. 方法二：∵＋＋＝0， 則(－)＋(－)＋(－)＝0， ∴＝(＋＋)＝(2，2)， ∴||＝2. (2)∵＝m＋n， ∴(x，y)＝(

14、m＋2n，2m＋n)， ∴ 兩式相減得，m－n＝y(tǒng)－x， 令y－x＝t，由圖知，當(dāng)直線y＝x＋t過點(diǎn)B(2，3)時，t取得最大值1，故m－n的最大值為1. 1.已知向量a=(2，4)，b=(-1，1)，則2a-b=　(　　) A.(5，7) B.(5，9) C.(3，7) D.(3，9) 【解析】選A.2a-b=2(2，4)-(-1，1)=(5，7). 2.在△ABC中，已知A(2，1)，B(0，2)，=(1，-2)，則向量=　(　　) A.(0，0) B.(2，2) C.(-1，-1) D.(-3，-3) 【解析】選C.因為A(2，1)，B(0，2

15、)， 所以=(-2，1). 又因為=(1，-2)， 所以=+=(-2，1)+(1，-2)=(-1，-1). 3.若向量a=(2，1)，b=(-2，3)，則以下向量中與向量2a+b共線的是　(　　) A.(-5，2) B.(4，10) C.(10，4) D.(1，2) 【解析】選B.因為向量a=(2，1)，b=(-2，3)，所以2a+b=(2，5). 又(4，10)=2(2，5)=2(2a+b)，所以B項與2a+b共線. 4.已知a=(1，1)，b=(-1，2)，c=(5，-1)，則c可用a與b表示為　(　　) A.a+b B.2a+3b C.3a-2b

16、 D.2a-3b 【解析】選C.因為a=(1，1)，b=(-1，2)，c=(5，-1)， 所以a+b=(0，3)≠c， 2a+3b=2(1，1)+3(-1，2)=(-1，8)≠c， 3a-2b=3(1，1)-2(-1，2)=(5，-1)=c，2a-3b=2(1，1)-3(-1，2)=(5，-4)≠c. 故選C. 5.在△ABC中，點(diǎn)P在BC上，且=2，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若=(4，3)，=(1，5)，則=　(　　) A.(-2，7) B.(-6，21) C.(2，-7) D.(6，-21) 【解析】選B.由條件知，=2-=2(1，5)-(4，3)=(-2，7)， 因為

17、=2=(-4，14)，所以=+=(-6，21). 6.在△ABC中，已知a，b，c分別為∠A，∠B，∠C所對的邊，S為△ABC的面積，若向量p=(4，a2+b2-c2)，q=(1，S)滿足p∥q，則∠C=(　　) A. B. C. D. 7.在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC的延長線上，且=3，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，若=x+(1-x)，則x的取值范圍是　(　　) A. B. C. D. 【解析】選D.如圖. 依題意，設(shè)=λ，其中1<λ<， 則有=+=+λ =+λ(-)=(1-λ)+λ. 又=x+(1-x)，且不共線，于是有x=1-λ∈

18、，即x的取值范圍是. 8.設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基向量，且a=e1+2e2，b=-e1+e2，若e1+e2=xa+yb，則x+2y=　(　　) A. B.- C.1 D.0 【解析】選D.因為e1+e2=xa+yb. a=e1+2e2，b=-e1+e2， 所以e1+e2=x(e1+2e2)+y(-e1+e2) =(x-y)e1+(2x+y)e2. 由平面向量基本定理，得 所以 故x+2y=+2×=0. 9.已知A(7，1)、B(1，4)，直線y=ax與線段AB交于C，且=2，則實數(shù)a等于　　　　. 【解析】設(shè)C(x，y)，則=(x-7，y-1)， =(1-

19、x，4-y). 因為=2， 所以解得所以C(3，3). 又C點(diǎn)在直線y=ax上， 故3=a，得a=2. 【答案】2 10.如圖所示，A，B，C是☉O上的三點(diǎn)，線段CO的延長線與線段BA的延長線交于☉O外的一點(diǎn)D，若=m+n，則m+n的取值范圍是　　　　　. 【解析】因為線段CO的延長線與線段BA的延長線的交點(diǎn)為D， 則=t， 因為D在圓外，所以t<-1，又D，A，B共線， 故存在λ，μ，使得=λ+μ， 且λ+μ=1，又=m+n， 所以tm+tn=λ+μ. 所以m+n=，所以m+n∈(-1，0). 【答案】(-1，0) 11.已知向量a=(2，3)，b=

20、(-1，2)，若ma+nb與a-2b共線，則=　　　. 12.設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知=(k，12)，=(10，k)，=(4，5)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則實數(shù)k的值為　　　　　. 【解析】由題意得=-=(k-4，7)， =-=(6，k-5)， 所以(k-4)(k-5)=6×7， k-4=7或k-4=-6， 即k=11或k=-2. 【答案】11或-2 13.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足=+，則=　　　　. 【解析】由已知得，3=2+ 即-=2(-)， 即=2.如圖所示: 故C為BA的靠A點(diǎn)的三等分點(diǎn)，因而=. 【答案】 14.已知平行四邊形的三個頂

21、點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1，0)，(0，1)，(2，1)，則其第四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為　　　　　. 【解析】設(shè)A(1，0)，B(0，1)，C(2，1)，第四個頂點(diǎn)D(x，y)， 由題意，該平行四邊形四個頂點(diǎn)的順序不確定，討論如下: ①若平行四邊形為ABCD，則=. 因為=(-1，1)，=(2-x，1-y)， 所以解得即D(3，0); ②若平行四邊形為ABDC，則=. 因為=(-1，1)，=(x-2，y-1)， 所以 解得即D(1，2); ③若平行四邊形為ACBD，則=. 因為=(1，1)，=(-x，1-y)， 所以解得即D(-1，0). 【答案】(3，0)或(1，2)或(-1，0)

22、 15.已知a=(1，0)，b=(2，1)， (1)當(dāng)k為何值時，ka-b與a+2b共線. (2)若=2a+3b，=a+mb，且A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值. 16.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量a=(2，1)，A(1，0)， B(cosθ，t)， (1)若t=-，θ∈(0，π)，a∥，求θ的值. (2)若a∥，求y=cos2θ-cosθ+t2的最小值. 【解析】(1)因為=(cosθ-1，t)， 又a∥，所以2t-cosθ+1=0. 所以cosθ-1=2t. 因為t=-，所以cosθ=. 又因為θ∈(0，π)，所以θ=. 17.已知三點(diǎn)A(a，0

23、)，B(0，b)，C(2，2)，其中a>0，b>0. (1)若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且四邊形OACB是平行四邊形，試求a，b的值. (2)若A，B，C三點(diǎn)共線，試求a+b的最小值. 【解析】(1)因為四邊形OACB是平行四邊形， 所以=，即(a，0)=(2，2-b)， 解得故a=2，b=2. (2)因為=(-a，b)，=(2，2-b)， 由A，B，C三點(diǎn)共線，得∥， 所以-a(2-b)-2b=0，即2(a+b)=ab， 因為a>0，b>0， 所以2(a+b)=ab≤， 即(a+b)2-8(a+b)≥0，[ 解得a+b≥8或a+b≤0. 因為a>0，b>0， 所以a+b≥8，

24、即a+b的最小值是8. 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=4時，“=”成立. 18.已知點(diǎn)O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且=+t(t∈R)，問: (1)t為何值時，點(diǎn)P在x軸上?點(diǎn)P在二、四象限角平分線上? (2)四邊形OABP能否成為平行四邊形?若能，求出相應(yīng)的t值;若不能，請說明理由. 【解析】(1)因為O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)， 所以=(1，2)，=(3，3)， =+t=(1+3t，2+3t). 若P在x軸上，只需2+3t=0，t=-; 若P在第二、四象限角平分線上，則 1+3t=-(2+3t)，t=-. (2)=(1，2)，=(3-3t，3-3t)， 若四邊形OABP是平行四邊形，則=， 即此方程組無解. 所以四邊形OABP不可能為平行四邊形. 19