同步優(yōu)化探究理數北師大版練習：第八章 第八節(jié)　曲線與方程 Word版含解析

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1、課時作業(yè) A組——基礎對點練 1．(2017·南昌模擬)方程(x2＋y2－2x)＝0表示的曲線是(　　) A．一個圓和一條直線　 B．一個圓和一條射線 C．一個圓 D．一條直線 解析：依題意，題中的方程等價于①x＋y－3＝0或② 注意到圓x2＋y2－2x＝0上的點均位于直線x＋y－3＝0的左下方區(qū)域，即圓x2＋y2－2x＝0上的點均不滿足x＋y－3≥0，②不表示任何圖形，因此題中的方程表示的曲線是直線x＋y－3＝0. 答案：D 2．(2018·呼和浩特調研)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)，M為橢圓上一動點，F1為橢圓的左焦點，則線段MF1的中點P的軌跡是(　　) A．圓 B

2、．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 解析：設橢圓的右焦點是F2，由橢圓定義可得|MF1|＋|MF2|＝2a＞2c，所以|PF1|＋|PO|＝(|MF1|＋|MF2|)＝a＞c，所以點P的軌跡是以F1和O為焦點的橢圓． 答案：B 3．有一動圓P恒過定點F(a,0)(a＞0)且與y軸相交于點A，B，若△ABP為正三角形，則點P的軌跡為(　　) A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線 解析：設P(x，y)，動圓P的半徑為R， ∵△ABP為正三角形， ∴P到y(tǒng)軸的距離d＝R， 即|x|＝R. 而R＝|PF|＝， ∴|x|＝·. 整理得(x＋3a)2－3y2＝12a2， 即

3、－＝1. ∴點P的軌跡為雙曲線．故選D. 答案：D 4．已知動點P(x，y)與兩定點M(－1,0)，N(1,0)連線的斜率之積等于常數λ(λ≠0)．則動點P的軌跡C的方程為 ． 解析：由題設知直線PM與PN的斜率存在且均不為零，所以kPM·kPN＝·＝λ， 整理得x2－＝1(λ≠0，x≠±1)． 即動點P的軌跡C的方程為x2－＝1(λ≠0，x≠±1) 答案：x2－＝1(λ≠0，x≠±1) 5．在△ABC中，A為動點，B，C為定點，B，C(a＞0)，且滿足條件sin C－sin B＝sin A，則動點A的軌跡方程是

4、 ． 解析：由正弦定理得－＝×， 即|AB|－|AC|＝|BC|， 故動點A是以B，C為焦點，為實軸長的雙曲線右支． 即動點A的軌跡方程為－＝1(x＞且y≠0)． 答案：－＝1(x＞且y≠0) 6．(2018·杭州市質檢)在平面直角坐標系內，點A(0,1)，B(0，－1)，C(1,0)，點P滿足·＝k||2. (1)若k＝2，求點P的軌跡方程； (2)當k＝0時，若|λ＋|max＝4，求實數λ的值． 解析：(1)設P(x，y)，則＝(x，y－1)，＝(x，y＋1)，＝(1－x，－y)． 因為k＝2，所以·＝2||2， 所以(x，y－1)·(x，y＋1)＝2[(1－x)2

5、＋y2]， 化簡整理，得(x－2)2＋y2＝1， 故點P的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1. (2)因為k＝0，所以·＝0， 所以x2＋y2＝1， 所以|λ＋|2＝λ22＋2 ＝λ2[x2＋(y－1)2]＋x2＋(y＋1)2 ＝(2－2λ2)y＋2λ2＋2(y∈[－1,1])． 當2－2λ2>0時，即－1<λ<1， (|λ＋|max)2＝2－2λ2＋2λ2＋2＝4≠16，不合題意，舍去； 當2－2λ2≤0時，即λ≥1或λ≤－1時， (|λ＋|max)2＝2λ2－2＋2λ2＋2＝16， 解得λ＝±2. 7．已知坐標平面上動點M(x，y)與兩個定點P(26,1)，Q(2,

6、1)，且|MP|＝5|MQ|. (1)求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形； (2)記(1)中軌跡為C，過點N(－2,3)的直線l被C所截得的線段長度為8，求直線l的方程． 解析：(1)由題意，得＝5， 即＝5， 化簡，得x2＋y2－2x－2y－23＝0， 所以點M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25. 軌跡是以(1,1)為圓心，5為半徑的圓． (2)當直線l的斜率不存在時，l：x＝－2， 此時所截得的線段長度為2＝8， 所以l：x＝－2符合題意． 當直線l的斜率存在時，設l的方程為y－3＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＋3＝0，圓心(1,1)到直線l的距離

7、d＝， 由題意，得()2＋42＝52，解得k＝. 所以直線l的方程為x－y＋＝0，即5x－12y＋46＝0. 綜上，直線l的方程為x＝－2或5x－12y＋46＝0. B組——能力提升練 1．(2017·深圳調研)已知點F(0,1)，直線l：y＝－1，P為平面上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q，且·＝·，則動點P的軌跡C的方程為(　　) A．x2＝4y B．y2＝3x C．x2＝2y D．y2＝4x 解析：設點P(x， y)，則Q(x，－1)． ∵·＝·， ∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)， 即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x

8、2＝4y， ∴動點P的軌跡C的方程為x2＝4y. 答案：A 2．已知兩定點A(－2,0)，B(1,0)，如果動點P滿足|PA|＝2|PB|，則動點P的軌跡是(　　) A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線 解析：設P(x，y)，則＝2， 整理得x2＋y2－4x＝0， 又D2＋E2－4F＝16＞0，所以動點P的軌跡是圓． 答案：B 3．已知過點A(－2,0)的直線與x＝2相交于點C，過點B(2,0)的直線與x＝－2相交于點D，若直線CD與圓x2＋y2＝4相切，則直線AC與BD的交點M的軌跡方程為 ． 解析：設點M(x，y)，

9、C(2，m)，D(－2，n)，則直線CD的方程為(m－n)x－4y＋2(m＋n)＝0，因為直線CD與圓x2＋y2＝4相切，所以＝2，所以mn＝4，又直線AC與BD的交點為M， 所以所以所以－＝4，所以點M的軌跡方程為＋y2＝1(y≠0)． 答案：＋y2＝1(y≠0) 4．過橢圓＋＝1(a＞b＞0)上任意一點M作x軸的垂線，垂足為N，則線段MN中點的軌跡方程為 ． 解析：設MN的中點P(x，y)，則點M(x,2y)在橢圓上， ∴＋＝1，即所求的軌跡方程為＋＝1. 答案：＋＝1 5．在△ABC中，||＝4，△ABC的內切圓切BC于D點且||－||＝2，求

10、頂點A的軌跡方程． 解析：以BC的中點為原點，中垂線為y軸建立如圖所示的坐標系，E、F分別為兩個切點． 則|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|， |AE|＝|AF|.∴|AB|－|AC|＝2＜|BC|＝4， ∴點A的軌跡為以B，C為焦點的雙曲線的右支(y≠0)，且a＝，c＝2，∴b＝， ∴軌跡方程為－＝1(x＞)． 6．(2017·唐山統(tǒng)考)已知動點P到直線l：x＝－1的距離等于它到圓C：x2＋y2－4x＋1＝0的切線長(P到切點的距離)．記動點P的軌跡為曲線E. (1)求曲線E的方程； (2)點Q是直線l上的動點，過圓心C作QC的垂線交曲線E于A，B兩點，設AB的中點為

11、D，求的取值范圍． 解析：(1)由已知得，圓心為C(2,0)，半徑r＝.設P(x，y)，依題意可得|x＋1|＝，整理得y2＝6x. 故曲線E的方程為y2＝6x. (2)設直線AB的方程為my＝x－2， 則直線CQ的方程為y＝－m(x－2)， 可得Q(－1,3m)． 將my＝x－2代入y2＝6x并整理可得y2－6my－12＝0， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝6m，y1y2＝－12，D(3m2＋2,3m)，|QD|＝3m2＋3. |AB|＝2 所以2＝＝ ∈， 故∈. 7．定圓M：(x＋)2＋y2＝16，動圓N過點F(，0)且與圓M相切，記圓心N

12、的軌跡為E. (1)求軌跡E的方程； (2)設點A，B，C在E上運動，A與B關于原點對稱，且|AC|＝|BC|，當△ABC的面積最小時，求直線AB的方程． 解析：(1)∵F(，0)在圓M：(x＋)2＋y2＝16內， ∴圓N內切于圓M. ∵|NM|＋|NF|＝4＞|FM|， ∴點N的軌跡E為橢圓，且2a＝4， c＝，∴b＝1， ∴軌跡E的方程為＋y2＝1. (2)①當AB為長軸(或短軸)時， S△ABC＝|OC|·|AB|＝2. ②當直線AB的斜率存在且不為0時，設直線AB的方程為y＝kx， A(xA，yA)， 聯立方程得，x＝，y＝， ∴|OA|2＝x＋y＝. 將上式中的k替換為－，可得|OC|2＝. ∴S△ABC＝2S△AOC＝|OA|·|OC|＝·＝. ∵≤＝， ∴S△ABC≥， 且僅當1＋4k2＝k2＋4，即k＝±1時等號成立，此時△ABC面積的最小值是. ∵2＞，∴△ABC面積的最小值是，此時直線AB的方程為y＝x或y＝－x.