備戰(zhàn)2014高考數(shù)學真題集錦：《向量的運算》

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1、 【三年真題重溫】 1.【2011新課標全國理，10】已知與均為單位向量，其夾角為，有下列四個命題： ：； ：； ：； ：． 其中的真命題是( ) A．， B．， C．， D．， 2.【2011 新課標全國文，13】已知與為兩個不共線的單位向量，為實數(shù)，若向量與向量垂直，則 ． 【答案】 【解析】本題考查向量的基本運算和性質(zhì)． ，展開易得． 3.【2010 新課標全國文，2】a，b為平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，則a，b夾角的

2、余弦值等于 （A） （B） （C） （D） 【答案】 C 【解析】本題考查向量的坐標運算和向量的夾角公式.因a＝(4,3)，b＝(x,y), 2a＋b＝(3,18)=(8+x,6+y)，解得x=-5,y=12. cos= 4. 【2012 新課標全國】已知向量夾角為 ，且；則 【答案】 【解析】 依題意，可知 【命題意圖猜想】 1. 2011年新課標高考理對向量的考查體現(xiàn)在求向量的夾角和模的運算，難度中等，文科則表現(xiàn)在向量的垂直關系的應用，較為簡單；2010年理科沒有涉及向量問題，而文科考查以向量的坐標運算為依托，

3、考查了向量的夾角問題，也為簡單題.2012年文理為同一道題目，求向量的模，考查向量的數(shù)量積公式和模的運算技巧，難度較低，中規(guī)中矩.綜上可知，近三年對本熱點的考查整體較為簡單，均未涉及向量的幾何運算，故猜想2013年高考題可能給出向量等式，然后借助其幾何含義，利用數(shù)形結(jié)合思想或可借助坐標系將向量問題坐標化，探求一些最值問題，試題難度會加大. 2.從近幾年的高考試題來看，向量的坐標運算及向量共線的坐標表示是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，屬于中、低檔題目，常與向量的數(shù)量積運算等交匯命題，主要考查向量的坐標運算及向量共線條件的應用．同時又注重對函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化、化歸等思想方法的考查

4、．預測2013年高考仍將以向量的坐標運算、向量共線的坐標表示為主要考點，重點考查運算能力與應用能力． 3.通過對近幾年高考試題的分析，向量的數(shù)量積及運算律一直是高考數(shù)學的熱點內(nèi)容之一，對向量的數(shù)量積及運算律的考查多為一個小題；另外作為工具在考查三角函數(shù)、立體幾何、平面解析幾何等內(nèi)容時經(jīng)常用到．整個命題過程緊扣課本，重點突出，有時考查單一知識點；有時通過知識的交匯與鏈接，全面考查向量的數(shù)量積及運算律等內(nèi)容．預測2013年高考仍將以向量的數(shù)量積的運算、向量的平行、垂直為主要考點，以與三角、解析幾何知識交匯命題為考向． 【最新考綱解讀】 1．向量的線性運算 (1)掌握向量加法、減法的運算及其

5、幾何意義． (2)掌握向量數(shù)乘的運算及其意義，理解兩個向量共線的含義． (3)了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義． 2．平面向量的基本定理及坐標表示 (1)了解平面向量的基本定理及其意義． (2)掌握平面向量的正交分解及其坐標表示． (3)會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算． (4)理解用坐標表示的平面向量共線的條件． 3．平面向量的數(shù)量積 (1)理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義． (2)了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系． (3)掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算． (4)能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關

6、系． 【回歸課本整合】 1、平面向量的數(shù)量積： （1）兩個向量的夾角：對于非零向量，，作， 稱為向量，的夾角，當＝0時，，同向，當＝時，，反向，當＝時，，垂直. （2）平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量，，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點積），記作：，即＝.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量. （3）在上的投影為，它是一個實數(shù)，但不一定大于0. （4）的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積. （5）向量數(shù)量積的性質(zhì)：設兩個非零向量，，其夾角為，則： ①； ②當，同向時，＝，特別地，；當與反向時，＝－；當為銳角時，＞

7、0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當為鈍角時，＜0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件； ③非零向量，夾角的計算公式：；④. 2、向量的運算： （1）幾何運算： ①向量加法：利用“平行四邊形法則”進行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設，那么向量叫做與的和，即； ②向量的減法：用“三角形法則”：設，由減向量的終點指向被減向量的終點.注意：此處減向量與被減向量的起點相同. （2）坐標運算：設，則： ①向量的加減法運算：，. ②實數(shù)與向量的積：. ③若，則，即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標.

8、 ④平面向量數(shù)量積：. ⑤向量的模：. 3、向量的運算律：（1）交換律：，，；(2)結(jié)合律：，；（3）分配律：，.提醒：（1）向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，為什么？ 4、向量平行(共線)的充要條件：＝0. 5、向量垂直的充要條件： .特別地. 【方法技巧提煉】 1.如何利用向量的幾何表示三角形的各種心 向量的幾何表示是高考的熱點問題，特別是用三角形的各種心的向量表

9、示經(jīng)常是命題的素材，常見的結(jié)論如下： ①為的重心，特別地為的重心；是BC邊上的中線AD上的任意向量，過重心；等于已知AD是中BC邊的中線. ②為的垂心；是△ABC的邊BC的高AD上的任意向量，過垂心. ③ 的內(nèi)心；向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線). ④為 的外心. 2.向量與平行四邊形相關的結(jié)論 向量的加法的幾何意義是通過平行四邊形法則得到，其應用非常廣泛.在平行四邊形中，設，則有以下的結(jié)論： ①通過這個公式可以把共同起點的兩個向量進行合并；若,可判斷四邊形為平行四邊形； ②若對角線相等或鄰邊垂直，則平行四邊形為矩形；對角線垂直.則平行四邊形為菱形； ③

10、說明平行四邊形的四邊的平方和等于對角線的平方和； ④，特別地，當同向或有；當反向或有；當不共線(這些和實數(shù)比較類似). 3. 向量平行和垂直的重要應用 向量平行和垂直的重要應用,是高考的熱點.命題方向有兩點：一是利用已知條件去判斷垂直或平行；二是利用平行或垂直的條件去確定參數(shù)的值.需牢固掌握判斷的充要條件. （1）向量平行(共線)的充要條件：＝0; （2）向量垂直的充要條件：. 4.向量運算問題的兩大處理思路 向量運算包括幾何運算和坐標運算.利用幾何運算就是充分利用加法和減法的幾何含義，以及一些具有幾何含義的式子，進行化簡、轉(zhuǎn)化向量的計算.利用坐標運算，實際上就是轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題

11、，即向量問題坐標化. 樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關位置關系時，要正確運用共線向量和平面向量的基本定理，去計算向量的模、兩點的距離等.由于向量作為工具，它往往會與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解析幾何等結(jié)合起來進行綜合考查，是知識的交匯點. 5.如何恰當?shù)倪x擇向量的數(shù)量積的公式 求向量的數(shù)量積的公式有兩個：一是定義式＝；二是坐標式.定義式的特點是具有強烈的幾何含義，需要明確兩個向量的模及夾角，夾角的求解方法靈活多樣，一般通過具體的圖形可確定，因此采用數(shù)形結(jié)合思想是利用定義法求數(shù)量積的一個重要途徑.坐標式的特點具有明顯的代數(shù)特征，解題

12、時需要引入直角坐標系，明確向量的坐標進行求解.即向量問題“坐標化”，使得問題操作起來容易、方便. 6.如何判斷三角形形狀 給出三角形邊相關的向量關系式，判斷三角形的形狀是一個熱點題型.此類題的關鍵是對給定的關系式恰當?shù)娜セ?，變形，整?最終能夠說明三角形的形狀.常用的技巧有： （1）利用向量加減法的運算可以合并或分解. （2）利用拆、添、減項等技巧,對式子進行變形化簡. （3）利用一些常見的結(jié)論進行判斷. 【考場經(jīng)驗分享】 1．.求向量的夾角時要注意：(1)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律；(2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小

13、于0且兩向量不共線時兩向量的夾角關系是鈍角． 2.如果高考單獨考查向量運算，如代數(shù)或幾何運算，一般試題難度較低，位置較為靠前，此時為得全分的題目；如果向量和其他知識相結(jié)合，考查最值問題，一般以后幾道選擇題出現(xiàn)，難度較大，此時應充分考慮向量的幾何意義或坐標法進行解決.在利用坐標法解決問題時，可考慮一般問題特殊化，即恰當?shù)慕⒆鴺讼担瑢栴}轉(zhuǎn)化代數(shù)運算.如果探求一些范圍問題，適當?shù)拇禉z驗是一個良策. 【新題預測演練】 1.【北京市順義區(qū)2013屆高三第一次統(tǒng)練】已知向量,且,則實數(shù) A. B. C.6 D.14 【答案】D 因為，所以，即，所以，解得。選D. 2.【山東省煙臺市20

14、12-2013學年度第一學期模塊檢測】 若向量,則下列結(jié)論中錯誤的是 A． B． C． D．對任一向量，存在實數(shù)，使 3.【天津市新華中學2011-2012學年度第一學期第二次月考】若向量，則 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】設，則，所以，解得，即，選D. 4.【湖北省黃岡中學、孝感高中2013屆高三三月聯(lián)合考試】已知兩不共線向量，則下列說法不正確的是（ ） A． B． C．與的夾角等于 D．與在方向上的投影相等 5.【安徽省2013屆高三開年第一考】已知向

15、量，且，，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，選C 6.【山東省泰安市2013屆高三上學期期末考試】設向量，若，則等于 A. B. C. D.3 【答案】B 【解析】因為，所以，即。所以，選B. 7.【廣東省華南師大附中2012-2013學年度高三第三次月考】定義：，其中為向量與的夾角，若，，，則等于（　?。? （A） （B） （C）或 （D） 【答案】B 【解析】由，，可得，又，所以，從而，故選B． 8.【河南省三門峽市2013屆高三第一次大練習】.在平面直角坐

16、標系中，若定點A(1,2)與動點P（， ）滿足向量在向量上的投影為，則點P的軌跡方程是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意知，==，∴點P的軌跡方程是，故選C. 9.【2013年山東省日照高三一模模擬考試】如圖，四邊形ABCD是正方形，延長CD至E，使得DE=CD.若動點P從點A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到A點，其中，下列判斷正確的是 A.滿足的點P必為BC的中點 B.滿足的點P有且只有一個 C.的最大值為3 D.的最小值不存在 10.【2012年秋湖北省部分重點中學期中聯(lián)考】已知||＝1，||＝，⊥，點R在△PO

17、Q內(nèi)，且∠POR＝30°，＝m＋n (m，n∈R)，則等于（ ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【解析】設，＝m＋n，⊥，∴ 又∵，∴故. 11.【廣西百所高中2013屆高三年級第三屆聯(lián)考】已知是兩個互相垂直的單位向量，且，，，則對任意的正實數(shù)t,的最小值是（ ） A．2 B． C．4 D． 12.【2013年烏魯木齊地區(qū)高三年級第一次診斷性測驗試卷】中，若，則的值為 A.2 B.4 C. D. 【答案】B. 【解析】設中， 分別是所對的邊，由 得 即，∴ ∴，即

18、， ∴. 13.【四川省成都市2013屆高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測】如圖，已知在ΔABC中,BC= 2，以BC為直徑的圓分別交AB， AC于點M，N，MC與NB交于點G，若， 則，的度數(shù)為 (A) 135° (B) 120° (C)150。 （D) 105° 【答案】D 【解析】本題考查線段向量的處理能力?？梢砸訠C為x軸建立坐標系（圓心為O點），由題數(shù)量積知道分別90°，60°，由平面幾何知道，，且,得角A為75°，從而為105°。 14.【2012年秋湖北省部分重點中學期中聯(lián)考】在平面內(nèi)，點A、B、C分別在直線l1、l2、l3上，l1∥l2∥l3（l2在l

19、1與l3之間），l1與l2之間距離為1，l2與l3之間距離為2，且＝·，則△ABC的面積最小值為（ ） A．4 B． C．2 D． 15.【2013年浙江省高考測試卷】如圖，在四邊形ABCD中，，若，，則( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用特例法是解決本題的好手段，將圖改成右圖所示：，，，，， 則 16.【上海市閘北2013屆高三一模】已知向量，滿足：，且()．則向量與向量的夾角的最大值為 ( ) (A) (B)

20、 (C) (D) 18.【2013河北省名校名師俱樂部高三3月模擬考試】已知向量夾角為，若，，則 【答案】-10 【解析】∵∴∵ ∴=-10 19.【天津市新華中學2013屆高三上學期第三次月考數(shù)學試卷】如圖，在矩形中，點為的中點，點在邊上，若，則的值是 ． 20.【天津一中2012-2013學年高三年級一月考】已知為的三個內(nèi)角的對邊，向量，．若，且，則角 ． 【答案】 【解析】因為，所以，即，所以，所以.又，所以根據(jù)正弦定理得，即，所以，即，所以，所以. 21.【安徽省2013屆高三開年第一考文】已知O是直線AB外一點

21、，平面OAB上一點C滿足，P是線段AB和OC的交點，則 【答案】3:2 【解析】 ∵P，A，B三點共線∴∴ ∴ 故 所以3:2 22.【北京市昌平區(qū)2013屆高三上學期期末理】在中，，，是的中點，那么 ____________;若是的中點，是（包括邊界）內(nèi)任一點．則的取值范圍是___________. 23.【天津市新華中學2011-2012學年度第一學期第二次月考】平面上的向量與滿足，且，若點滿足，則的最小值為__________. 友情提示：部分文檔來自網(wǎng)絡整理，供您參考！文檔可復制、編制，期待您的好評與關注！ - 14 - / 14