新版高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件： 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第8節(jié) 函數(shù)與方程學案 理 北師大版

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1、 1

2、 1 第八節(jié)　函數(shù)與方程 [考綱傳真]　(教師用書獨具)結(jié)合二次函數(shù)的圖像，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性與根的個數(shù)． (對應學生用書第27頁) [基礎知識填充] 1．函數(shù)的零點 (1)定義：函數(shù)y＝f(x)的圖像與橫軸的交點的橫坐標稱為這個函數(shù)的零點． (2)函數(shù)零點與方程根的關系：方程f(x)＝0有實根?函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸有交

3、點?函數(shù)y＝f(x)有零點． (3)零點存在性定理 若函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點的函數(shù)值符號相反，即f(a)·f(b)＜0，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)至少有一個零點，即相應方程f(x)＝0在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個實數(shù)解． (4)二分法：對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點所似值的方法叫作二分法． 2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖像與零點的關系 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ

4、＜0 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的圖像 與x軸的交點 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 無交點 零點個數(shù) 2 1 0 [知識拓展]　有關函數(shù)零點的結(jié)論 (1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點． (2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號． (3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖像通過零點時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖像與x軸的交點．(　　) (2)函數(shù)y＝f(x)在

5、區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖像連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)＜0.(　　) (3)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a)·f(b)＜0，則函數(shù)f(x)在[a，b]上有且只有一個零點．(　　) (4)只要函數(shù)有零點，我們就可以用二分法求出零點的近似值．(　　) (5)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0時沒有零點．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2．函數(shù)f(x)＝ln x－的零點所在的區(qū)間是(　　) A．(1,2)　　　　 B．(2,3) C．和(3,4) D．(4，＋∞) B　[易知f(x)為增函數(shù)，由f(2)＝ln 2－

6、1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得f(2)·f(3)＜0.故選B．] 3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點的是(　　) A．y＝cos x B．y＝sin x C．y＝ln x D．y＝x2＋1 A　[由于y＝sin x是奇函數(shù)；y＝ln x是非奇非偶函數(shù)，y＝x2＋1是偶函數(shù)但沒有零點，只有y＝cos x是偶函數(shù)又有零點．] 4．(教材改編)函數(shù)f(x)＝ex＋3x的零點個數(shù)是(　　) A．0　　 B．1　　　　C．2　　　　D．3 B　[∵f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0， ∴f(x)在(－1,0)內(nèi)有零點， 又f(x)為增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)有且只有一個零點

7、．] 5．函數(shù)f(x)＝ax＋1－2a在區(qū)間(－1,1)上存在一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________． 　[∵函數(shù)f(x)的圖像為直線， 由題意可得f(－1)·f(1)＜0， ∴(－3a＋1)·(1－a)＜0，解得＜a＜1， ∴實數(shù)a的取值范圍是.] (對應學生用書第28頁) 判斷函數(shù)零點所在區(qū)間 　(1)已知函數(shù)f(x)＝ln x－的零點為x0，則x0所在的區(qū)間是(　　) A．(0,1)　　　　　　 B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) (2)(20xx·北京東城區(qū)綜合練習(二))已知函數(shù)f(x)＝ln x＋2x－6的零點在(k∈Z)內(nèi)

8、，那么k＝________. (1)C　(2)5　[(1)∵f(x)＝ln x－在(0，＋∞)上是增函數(shù)， 又f(1)＝ln 1－＝ln 1－2＜0， f(2)＝ln 2－＜0， f(3)＝ln 3－＞0， ∴x0∈(2,3)，故選C． (2)∵f′(x)＝＋2＞0，x∈(0，＋∞)，∴f(x)在x∈(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f＝ln －1＜0，f(3)＝ln 3＞0，∴f(x)的零點在內(nèi)，則整數(shù)k＝5.] [規(guī)律方法]　判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法 (1)解方程，當對應方程易解時，可通過解方程，看方程是否有根落在給定區(qū)間上來判斷. (2)利用零點存在性定理進行判斷. (3)

9、數(shù)形結(jié)合畫出函數(shù)圖像，通過觀察圖像與x軸在給定區(qū)間內(nèi)是否有交點來判斷. [跟蹤訓練]　(1)設f(x)＝ln x＋x－2，則函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) (2)函數(shù)f(x)＝x2－3x－18在區(qū)間[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零點． (1)B　(2)存在　[(1)函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間可轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2圖像交點的橫坐標所在的取值范圍．作圖如下： 可知f(x)的零點所在的區(qū)間為(1,2)． (2)法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20＜0

10、， f(8)＝82－3×8－18＝22＞0， ∴f(1)·f(8)＜0， 又f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]的圖像是連續(xù)的， 故f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零點． 法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0， ∴(x－6)(x＋3)＝0. ∵x＝6∈[1,8]，x＝－3?[1,8]， ∴f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零點．] 判斷函數(shù)零點的個數(shù) 　(1)函數(shù)f(x)＝|x－2|－ln x在定義域內(nèi)的零點的個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)(20xx·秦皇島模擬)函數(shù)f(x)＝的零點個數(shù)是

11、________. 【導學號：79140061】 (1)C　(2)3　[(1)由題意可知f(x)的定義域為(0，＋∞)．在同一直角坐標系中畫出函數(shù)y＝|x－2|(x＞0)，y＝ln x(x＞0)的圖像，如圖所示： 由圖可知函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的零點個數(shù)為2. (2)當x＞0時，作函數(shù)y＝ln x和y＝x2－2x的圖像， 由圖知，當x＞0時，f(x)有2個零點； 當x≤0時，由f(x)＝0得x＝－， 綜上，f(x)有3個零點．] [規(guī)律方法]　判斷函數(shù)零點個數(shù)的三種方法 (1)解方程法：所對應方程f(x)＝0有幾個不同的實數(shù)解就有幾個零點. (2)零點存在性定理法

12、：利用零點存在性定理并結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)進行判斷. (3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖像的交點個數(shù)問題.先畫出兩個函數(shù)的圖像，看其交點的個數(shù)，其中交點的個數(shù)，就是函數(shù)零點的個數(shù). [跟蹤訓練]　(1)函數(shù)f(x)＝0.9x－x的零點個數(shù)是(　　) A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 (2)函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (1)B　(2)B　[(1)因為f(x)＝0.9x－x，則函數(shù)f(x)為減函數(shù)，值域為R，所以函數(shù)f(x)的圖像必與x軸有一個交點，即方程0.9x－x＝0有一解． (2)令f(x)＝2x|lo

13、g0.5x|－1＝0， 可得|log0.5x|＝. 設g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝，在同一坐標系下分別畫出函數(shù)g(x)，h(x)的圖像，可以發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)圖像一定有2個交點，因此函數(shù)f(x)有2個零點．] 函數(shù)零點的應用 　(1)設函數(shù)f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若實數(shù)a，b滿足f(a)＝0，g(b)＝0，則(　　) A．g(a)＜0＜f(b) B．f(b)＜0＜g(a) C．0＜g(a)＜f(b) D．f(b)＜g(a)＜0 (2)(20xx·山東高考)已知函數(shù)f(x)＝其中m>0.若存在實數(shù)b，使得關于x的方程f(x)＝b有

14、三個不同的根，則m的取值范圍是________． (1)A　(2)(3，＋∞)　[(1)∵f(x)＝ex＋x－2， ∴f′(x)＝ex＋1＞0， 則f(x)在R上為增函數(shù)， 又f(0)＝e0－2＜0，f(1)＝e－1＞0， 且f(a)＝0，∴0＜a＜1. ∵g(x)＝ln x＋x2－3， ∴g′(x)＝＋2x. 當x∈(0，＋∞)時，g′(x)＞0， ∴g(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)， 又g(1)＝ln 1－2＝－2＜0，g(2)＝ln 2＋1＞0，且g(b)＝0，∴1＜b＜2，∴a＜b， ∴故選A． (2)作出f(x)的圖像如圖所示． 當x>m時，x2－2mx

15、＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三個不同的根，則有4m－m20.又m>0，解得m>3.] [規(guī)律方法]　已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法 (1)直接法：直接根據(jù)題設條件構(gòu)建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍. (2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決. (3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解. [跟蹤訓練]　(1)已知函數(shù)f(x)＝ex＋x，g(x)＝ln x＋x，h(x)＝ln x－1的零點依次為a，b，c，則(　　) A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c (2)函數(shù)f(x)＝2x－－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) 【導學號：79140062】 A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2) (1)A　(2)C　[(1)∵ea＝－a，∴a＜0，∵ln b＝－b，且b＞0，∴0＜b＜1，∵ln c＝1，∴c＝e＞1，故選A． (2)∵函數(shù)f(x)＝2x－－a在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，又函數(shù)f(x)＝2x－－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則有f(1)·f(2)＜0，∴(－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，∴0＜a＜3.]