2018年高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第37講 數(shù)列通項的求法二（構(gòu)造法）

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1、 第37講 數(shù)列通項的求法二（構(gòu)造法） 【知識要點】 一、數(shù)列的通項公式 如果數(shù)列的第項和項數(shù)之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式.即.不是每一個數(shù)列都有通項公式.不是每一個數(shù)列只有一個通項公式. 二、構(gòu)造法求數(shù)列的通項 類型一：已知，一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求通項. 類型二：已知數(shù)列，一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求通項. 類型三：已知，一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比或等差數(shù)列求通項. 類型四：已知，一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求通項. 類型五：已知，一般利用倒數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列求數(shù)列的通項. 類型六：已知，一般利用取對數(shù)構(gòu)造等比數(shù)列.

2、 【方法講評】 類型一 構(gòu)造法一 使用情景 已知 解題步驟 一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求通項. 【例1】已知數(shù)列{}滿足=1，= ()，求數(shù)列{}的通項公式. 【點評】（1）已知，一般可以利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，其公比為（2）注意數(shù)列的首項為，不是對新數(shù)列的首項要弄準(zhǔn)確. 【反饋檢測1】已知數(shù)列{}中，=2，= ，求{}的通項公式. 類型二 構(gòu)造法二 使用情景 已知數(shù)列 解題步驟 一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求通項. 【例2 】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式. 由及⑨式，得 則，故數(shù)列為以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，因此，則.

3、 【點評】本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，其中要用到待定系數(shù)法，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列的通項公式，最后再求出數(shù)列的通項公式. 【反饋檢測2】 在數(shù)列{}中，，=6 ，求通項公式. 類型三 構(gòu)造法三 使用情景 已知 解題步驟 一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比或等差數(shù)列求通項. 【例3 】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式. 【點評】（1）本題的一個關(guān)鍵是先要把變成,這樣才便于后面構(gòu)造數(shù)列,否則不方便構(gòu)造. （2）換元之后原等式變成，即型，又可以利用前面的構(gòu)造方法構(gòu)造一個等比數(shù)列求數(shù)列通項. 【反饋檢測3】已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式. 【例4】

4、 已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式. 【點評】（1）本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項公式求出，進而求出數(shù)列的通項公式.（2）已知，有時可以構(gòu)造等比數(shù)列，有時可以構(gòu)造等差數(shù)列，本題是構(gòu)造等比數(shù)列，此時的系數(shù)和指數(shù)函數(shù)的底數(shù)相同. 【反饋檢測4】數(shù)列{}滿足且. 求、、； 是否存在一個實數(shù)，使此數(shù)列為等差數(shù)列？若存在求出的值及；若不存在，說明理由. 類型四 構(gòu)造法四 使用情景 已知 解題步驟 一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求通項. 【例5】 數(shù)列中，，求數(shù)列的通項公式. 【解析】 比較系數(shù)得 若取 【

5、點評】（1）遞推式為時，可以設(shè)，其待定系數(shù)求出，從而得到一個等比數(shù)列.（2）這種特征的構(gòu)造一般要結(jié)合其它方法才能得出結(jié)果.此題就結(jié)合了累差法. 【反饋檢測5】在數(shù)列{}中，，當(dāng)， ① 求通項公式. 類型五 構(gòu)造法五 使用情景 已知 解題步驟 一般利用倒數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列求數(shù)列的通項. 【例6】已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項公式. 【解析】取倒數(shù) ∴ 【點評】（1）形如遞推式，考慮函數(shù)倒數(shù)關(guān)系有 型.（2）對于形如 的也可以在方程的兩邊同時除以，再構(gòu)造等差數(shù)列. 【反饋檢測6】 已知數(shù)列{}中，其中，且當(dāng)時，，求通項公式. 類型六 構(gòu)造法六

6、使用情景 已知 解題步驟 一般利用取對數(shù)構(gòu)造等比數(shù)列. 【例7】若數(shù)列{}中，=3且（是正整數(shù)），求它的通項公式是. 【反饋檢測7】已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式. 【反饋檢測8】設(shè)數(shù)列的各項都是正數(shù)，為數(shù)列的前n項和，且對任意.都有 ,,. (e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828……） (1)求數(shù)列、的通項公式； (2)求數(shù)列的前項和； (3)試探究是否存在整數(shù)，使得對于任意，不等式恒成立？若 存在，求出的值；若不存在，請說明理由. 高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第37講： 數(shù)列通項的求法二（構(gòu)造法）參考答案 【反饋

7、檢測1答案】= 【反饋檢測2答案】 【反饋檢測2詳細解析】 ①式可化為： ② 比較系數(shù)可得：=-6，，② 式為 是一個等比數(shù)列，首項，公比為.∴ 即 故. 【反饋檢測3答案】 【反饋檢測3詳細解析】在原等式兩邊同除以，得 【反饋檢測4答案】（1）=5；（2）=. 【反饋檢測5答案】 【反饋檢測5詳細解析】①式可化為： 比較系數(shù)得=-3或=-2，不妨取=-2.①式可化為： 則是一個等比數(shù)列，首項=2-2（-1）=4，公比為3. ∴.利用上題結(jié)果有：. 【反饋檢測6答案】 【反饋檢測6詳細

8、解析】將兩邊取倒數(shù)得：，這說明是一個等差數(shù)列，首項是，公差為2，所以，即. 【反饋檢測7答案】 【變式演練7詳細解析】因為，所以.在式兩邊取常用對數(shù)得 ① 設(shè) ② 所以數(shù)列是以為首項，以5為公比的等比數(shù)列，則，因此 則. 【反饋檢測8答案】（1），；（2）；（3）時，原 不等式恒成立. （2）由（1）知，， 所以，③ ，④ 由③-④得， 所以. （3） 由，得， 由可得， 即使得對于任意且，不等式恒成立等價于使得對于任意且，不等式恒成立. . （或用導(dǎo)數(shù)求在上的最大值.） 解得,所以當(dāng)時，取最小值，最小值為, 所以時，原不等式恒成立. 11