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1、
專題49 二項(xiàng)式定理
（1）能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.
（2）會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.
一、二項(xiàng)式定理
，這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開(kāi)式，共有n+1項(xiàng)，其中各項(xiàng)的系數(shù)叫做二項(xiàng)式系數(shù).
二項(xiàng)展開(kāi)式中的叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第項(xiàng)：.
注意：二項(xiàng)式系數(shù)是指，，…，，它是組合數(shù)，只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與a，b的值無(wú)關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而且也與a， b的值有關(guān)．如的展開(kāi)式中，第r＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是，而該項(xiàng)的系數(shù)是.當(dāng)然，某些特殊的二項(xiàng)展開(kāi)式如，各項(xiàng)的系數(shù)與二
2、項(xiàng)式系數(shù)是相等的．
二、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
（1）對(duì)稱性.與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等.事實(shí)上，這一性質(zhì)可直接由公式得到.
（2）增減性與最大值.當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的；當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸減小的，因此二項(xiàng)式系數(shù)在中間取得最大值.當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大.
（3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和.已知.令，則.也就是說(shuō)，的展開(kāi)式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和為.
（4）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，即.
三、必記結(jié)論
（1）是第k＋1項(xiàng)，而不是第k項(xiàng)．
（2）通項(xiàng)公式中a，b的位置不能顛倒．
（3）通
3、項(xiàng)公式中含有a，b，n，k，Tk＋1五個(gè)元素，只要知道其中四個(gè)就可以求出第五個(gè)，即“知四求一”.
考向一 二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)的應(yīng)用
求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題,實(shí)質(zhì)是考查通項(xiàng)的特點(diǎn),一般需要建立方程求k,再將k的值代回通項(xiàng)求解,注意k的取值范圍（）.
（1）第項(xiàng)：：此時(shí)k+1=m,直接代入通項(xiàng).
（2）常數(shù)項(xiàng)：即這項(xiàng)中不含“變?cè)?令通項(xiàng)中“變?cè)钡膬缰笖?shù)為0建立方程.
（3）有理項(xiàng)：令通項(xiàng)中“變?cè)钡膬缰笖?shù)為整數(shù)建立方程.
典例1 的展開(kāi)式中,的系數(shù)為
A．60 B．-60
C．240 D．-240
【答案】C
【解析】的展開(kāi)式中第項(xiàng)為,令r=4，可得的系數(shù)為
典例2
4、 若a=dx(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則二項(xiàng)式(x-)6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為
A．-160 B．160
C．20 D．-20
【答案】A
【解析】由題意得a=dx=ln?x=2,則二項(xiàng)式(x-)6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為第4項(xiàng),
所以其常數(shù)項(xiàng)為(-2)3=-160.
典例3 已知關(guān)于x的二項(xiàng)式(ax-)n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256,常數(shù)項(xiàng)為112,則a的值為
A．1 B．±1
C．2 D．±2
【答案】D
1．在二項(xiàng)式(x-)n的展開(kāi)式中恰好第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是
A．-56 B．-35
C．35 D．56
2．若(x2-a)(x
5、+)10的展開(kāi)式中x6的系數(shù)為30,則a等于
A． B．
C．1 D．2
3．已知在的展開(kāi)式中,第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).
(1)求;
(2)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng).
考向二 求二項(xiàng)式系數(shù)和或各項(xiàng)的系數(shù)和
二項(xiàng)式定理給出的是一個(gè)恒等式,對(duì)于a,b的一切值都成立.因此,可將a,b設(shè)定為一些特殊的值.在使用賦值法時(shí),令a,b等于多少時(shí), 應(yīng)視具體情況而定,一般取“1,或0”,有時(shí)也取其他值.
（1）形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可．
（2）對(duì)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系
6、數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可．
（3）若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，
奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝，
偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝.
典例4 若(x2+1)(x-3)9=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3+…+a11(x-2)11,則a1+a2+…+a11的值為
A．0 B．-5
C．5 D．255
【答案】C
典例5 已知(1-2x)n的展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)的和是64,則n= ;若(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,則|a0|+
7、|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|= .?
【答案】6 729
【解析】由于二項(xiàng)式系數(shù)的和2n=64,所以n=6,
所以(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6,
所以|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=36=729.
典例6 在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中,
(1)若所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為,求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．
(2)若前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列,求展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和.
∴n=8,
在中，令x=1，得各項(xiàng)系數(shù)和為
4．若(x+)9的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為-672,則其所有項(xiàng)的系數(shù)和為 .
5．若(2x-1)6
8、=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a6(x-1)6,則a1+a3+a5= .(用數(shù)字作答)
考向三 整除問(wèn)題
利用二項(xiàng)式定理解決整除問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是要巧妙地構(gòu)造二項(xiàng)式，其基本思路是：要證明一個(gè)式子能被另一個(gè)式子整除，只要證明這個(gè)式子按二項(xiàng)式定理展開(kāi)后的各項(xiàng)均能被另一個(gè)式子整除即可.因此，一般要將被除式化為含相關(guān)除式的二項(xiàng)式，然后再展開(kāi).
典例7 利用二項(xiàng)式定理證明2n+2·3n+5n－4()能被25整除.
n＝1時(shí)，2n+2·3n＋5n－4＝25.
所以，當(dāng)時(shí)，2n+2·3n＋5n－4能被25整除.
6．被49除所得的余數(shù)是
A．-14 B．0
C
9、．14 D．35
1．(1+x)7的展開(kāi)式中x2的系數(shù)是
A．42 B．35
C．28 D．21
2．二項(xiàng)式的展開(kāi)式的第二項(xiàng)是
A．6x4 B．﹣6x4
C．12x4 D．﹣12x4
3．若實(shí)數(shù)a=2-,則a10-2a9+22a8-…+210=
A．32 B．-32
C． 1024 D．512
4．設(shè)二項(xiàng)式(x-)6的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為m,則dx的值為
A． B．
C． D．
5．已知x(x-)5的展開(kāi)式中含x4項(xiàng)的系數(shù)為30,則a=
A． B．-
C．-6 D．6
6．若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+
10、a5x5,則|a0?|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=
A．243 B．27
C．1 D．-1
7．在的展開(kāi)式中，各二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為
A．135 B．105
C．30 D．15
8．已知(+)5的展開(kāi)式的第三項(xiàng)為10,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象的大致形狀為
A B
C D
9．在(1-x)n=a0+a1x+a2x
11、2+a3x3+…+anxn中,若2a2+an-5=0,則自然數(shù)n的值是
A．10 B．9
C．8 D．7
10．若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12,則log2(a1+a3+a5+…+a11)等于
A．27 B．28
C．7 D．8
11．若(-x)n的展開(kāi)式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和為256,則(-x)n的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________.
12．的展開(kāi)式中的系數(shù)與的系數(shù)之和等于__________.
13．已知(x-m)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展開(kāi)式中x4的系數(shù)是-35,則a1+a2
12、+…+a7=__________.?
14．的二項(xiàng)式中不含的項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_________.
15．已知(+)n展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)的和與其各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為128,則n的值為_(kāi)_________.
16．(x2+2x-3y)5的展開(kāi)式中,x5y的系數(shù)為_(kāi)_________.
17．設(shè)(5x-)n的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M,二項(xiàng)式系數(shù)之和為N,若M-N=240,求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).
18．求8912除以11的余數(shù).
19．在二項(xiàng)式(2x-3y)9的展開(kāi)式中,求:
(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和;
(2)各項(xiàng)系數(shù)之和;
(3)
13、各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之和.
20．在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中,
(1)寫(xiě)出其中含的項(xiàng);
(2)如果第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,求的值.
21．已知a>0,b>0,m≠0,n≠0,若二項(xiàng)式(axm+bxn)12的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)恰好是常數(shù)項(xiàng),且2m+n=0,求的取值范圍.
1．（2016四川理科）設(shè)i為虛數(shù)單位，則的展開(kāi)式中含x4的項(xiàng)為
A．－15x4 B．15x4
C．－20i x4 D．20i x4
2．（2017新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ理科）展開(kāi)式中的系數(shù)為
A．15 B．20
C．30
14、D．35
3．（2017新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ理科）的展開(kāi)式中的系數(shù)為
A． B．
C．40 D．80
4．（2017浙江理科）已知多項(xiàng)式，則=________，=________．
5．（2017山東理科）已知的展開(kāi)式中含有項(xiàng)的系數(shù)是，則 .
6．（2016新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ理科）的展開(kāi)式中，x3的系數(shù)是 .（用數(shù)字填寫(xiě)答案）
變式拓展
1．【答案】A
2．【答案】D
【解析】依題意,注意到(x+)10的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是Tr+1=·x10-r·()r=·x10-2r,
(x+)10的展開(kāi)式中含x4(當(dāng)r=3時(shí)),x6(當(dāng)r=2時(shí))
15、項(xiàng)的系數(shù)分別為,,
因此由題意得-a=120-45a=30,
由此解得a=2,故選D．
3．【解析】(1)
=.
由第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)得時(shí),,即得.
(2)由已知得,則有.
,，
即得展開(kāi)式中的有理項(xiàng)為.
4．【答案】-1
【解析】(x+)9的展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr+1=·x9-r·()r=·x9-3r·ar,
令9-3r=0,得r=3,
故·a3=-672,得a=-2.
令x=1,則(x+)9=(1-2)9=-1,
故(x+)9的所有項(xiàng)的系數(shù)和為-1.
5．【答案】364
6．【答案】B
【解析】由題可得，=++，
所以被49整除，所以余數(shù)為0.故選B．
考點(diǎn)
16、沖關(guān)
1．【答案】D
【解析】(1+x)7的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r+1=xr,
令r=2,得x2的系數(shù)為=21.
2．【答案】D
【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,
令,可得展開(kāi)式的第二項(xiàng)為=.選D．
3．【答案】A
【解析】因?yàn)?a-2)10=a10-2a9+22a8-…+210,a=2-,
所以a10-2a9+22a8-…+210=(-)10=32.
4．【答案】C
【解析】二項(xiàng)式(x-)6的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為m=x2(-)4=15,
所以dx=3xdx=cos 3x=cos-(cos 0)=,故選C．
5．【答案】C
6．【答案】D
【解析】由題意得|a0|
17、-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5=(1-2)5=-1.
7．【答案】A
【解析】因?yàn)樵诘恼归_(kāi)式中，各二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，即2n=64，所以n=6，
二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，
令，
則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為
8．【答案】D
【解析】由題意得()5-2()2=10,故xy=1(x>0),得y=(x>0).故選D．
9．【答案】C
10．【答案】C
【解析】令x=-1,得a0+a1+a2+…+a12=28,
令x=-3,得a0-a1+a2-a3+…+a12=0,
將所得兩式作差得2(a1+a3+…+a11)=28,
所以a1
18、+a3+…+a11=27,
所以log2(a1+a3+…+a11)=7.
11．【答案】70
【解析】依題意得 2n=256,解得n=8,
所以Tr+1=()8-r·(-x)r=(-1)rx2r-8,
令2r-8=0,則r=4,
所以T5=(-1)4=70,
所以(-x)n的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為70.
12．【答案】
【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為
的系數(shù)與的系數(shù)之和等于.
故填.
13．【答案】1
14．【答案】
【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)為,
令,
的二項(xiàng)式中不含的項(xiàng)的系數(shù)為.
15．【答案】7
【解析】令x=1,得(+)n的展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)的和為(1+3)n=
19、4n,
又(+)n的展開(kāi)式中的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n, 所以=128,所以2n=128,解得n=7.
16．【答案】-480
【解析】方法一：,其展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr+1=(-3y)r，r=0,1,2,3,4,5,欲求的展開(kāi)式中x5y的系數(shù),只需令r=1,則(-3y)1展開(kāi)式中,x5y的系數(shù)為-323=-480.
方法二：要得到x5y的系數(shù),第一步,從5個(gè)小括號(hào)(x2+2x-3y)中取一個(gè)二次項(xiàng)x2；第二步,從余下四個(gè)小括號(hào)(x2+2x-3y)中取三個(gè)一次項(xiàng)2x；第三步,從余下一個(gè)小括號(hào)(x2+2x-3y)中取一個(gè)一次項(xiàng)-3y，即×23×(-3)=-480.
17．【解析】依題意得,M
20、=4n=(2n)2,N=2n,于是有(2n)2-2n=240,(2n+15)(2n-16)=0,
∴2n=16=24,解得n=4.
要使二項(xiàng)式系數(shù)最大,則k=2,
故展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)3=(5x)2·(-)2=150x3.
18．【解析】8912＝(1＋88)12.
由于上式除第一項(xiàng)外，各項(xiàng)都能被88整除，也就都能被11整除，
故8912除以11的余數(shù)是1.
20．【解析】(1)展開(kāi)式的通項(xiàng),
令10-k=2得k=6.
∴含的項(xiàng)是==.
(2)∵=，∴3r-1=r+1或 3r-1+r+1=10,
∴r=1或r=（舍去）.
∴r=1.
又a>0,b>
21、0,則,所以.
直通高考
1．【答案】A
【解析】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，則，故展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，故選A．
【名師點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算也是高考的熱點(diǎn)，幾乎是每年必考的內(nèi)容，屬于容易題.一般來(lái)說(shuō)，掌握復(fù)數(shù)的基本概念及四則運(yùn)算即可．二項(xiàng)式可以寫(xiě)為，則其通項(xiàng)為，則含的項(xiàng)為．
2．【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，故的系數(shù)為，選C．
【名師點(diǎn)睛】對(duì)于兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的問(wèn)題，用第一個(gè)二項(xiàng)式中的每項(xiàng)乘以第二個(gè)二項(xiàng)式的每項(xiàng)，分析含的項(xiàng)共有幾項(xiàng)，進(jìn)行相加即可.這類問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)主要是未能分析清楚構(gòu)成這一項(xiàng)的具體情況，尤其是兩個(gè)
22、二項(xiàng)展開(kāi)式中的不同.
3．【答案】C
故選C．
【名師點(diǎn)睛】（1）二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問(wèn)題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng).
（2）求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡(jiǎn)或利用分類加法計(jì)數(shù)原理討論求解.
4．【答案】16，4
【解析】由二項(xiàng)式展開(kāi)式可得通項(xiàng)公式為：，分別取和可得，取，可得．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題． 二項(xiàng)展開(kāi)式定理的
23、問(wèn)題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）；（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．
5．【答案】
【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，得，解得．
【名師點(diǎn)睛】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，確定二項(xiàng)式系數(shù)或確定二項(xiàng)展開(kāi)式中的指定項(xiàng)，是二項(xiàng)式定理問(wèn)題中的基本問(wèn)題，往往要綜合運(yùn)用二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)的性質(zhì)、二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)求解. 本題能較好地考查考生的思維能力、基本計(jì)算能力等.
6．【答案】
【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為(，1，2，…，5)，令得，所以的系數(shù)是.
【名師點(diǎn)睛】確定二項(xiàng)展開(kāi)式指定項(xiàng)的系數(shù)通常是先寫(xiě)出通項(xiàng),再確定r的值,從而確定指定項(xiàng)系數(shù).
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2018年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)一遍過(guò) 專題49 二項(xiàng)式定理 理
