(江蘇專用)2018年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 必做題專題1 空間向量與立體幾何試題(含解析)理
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1、 專題1 空間向量與立體幾何 【三年高考】 1. 【2017江蘇高考,22】如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,. (1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值; (2)求二面角B-A1D-A的正弦值. 【答案】(1);(2). 【解析】試題分析:(1)先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系,進(jìn)而得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),求出直線A1B與AC1的方向向量,根據(jù)向量數(shù)量積求出方向向量夾角,最后根據(jù)異面直線所成角與方向向量夾角之間相等或互補(bǔ)可得夾角的余弦值;(2)根據(jù)建立的空間直角坐標(biāo)系,得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),求出各半平面的法向量,根據(jù)
2、向量數(shù)量積求出法向量的夾角,最后根據(jù)二面角與法向量夾角之間關(guān)系確定二面角的正弦值. 試題解析:在平面ABCD內(nèi),過(guò)點(diǎn)A作AEAD,交BC于點(diǎn)E. 因?yàn)锳A1平面ABCD,所以AA1AE,AA1AD. 如圖,以為正交基底,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz. 因?yàn)锳B=AD=2,AA1=,. 則. (1), 則. 因此異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為. 設(shè)二面角B-A1D-A的大小為,則. 因?yàn)椋裕? 因此二面角B-A1D-A的正弦值為. 【考點(diǎn)】空間向量、異面直線所成角及二面角 【名師點(diǎn)睛】利用法向量求解空間線面角、面面角的關(guān)鍵在于“四破”:①破“建系關(guān)”,
3、構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;②破“求坐標(biāo)關(guān)”,準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo);③破“求法向量關(guān)”,求出平面的法向量;④破“應(yīng)用公式關(guān)”. 2. 【2015江蘇高考,22】如圖,在四棱錐中,已知平面,且四邊形為直角梯形,, (1)求平面與平面所成二面角的余弦值; (2)點(diǎn)Q是線段BP上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線CQ與DP所成角最小時(shí),求線段BQ的長(zhǎng) P A B C D Q 【解析】以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則各點(diǎn)的坐標(biāo)為,,,. (1)因?yàn)槠矫?,所以是平面的一個(gè)法向量,.因?yàn)?,.設(shè)平面的法向量為,則,,即.令,解得,.所以是平面的一個(gè)法向量.從而,所以平面與平面所成二面角的余弦
4、值為. (2)因?yàn)?,設(shè)(),又,則,又,從而.設(shè),,則.當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),的最大值為.因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù),此時(shí)直線與所成角取得最小值.又因?yàn)?,所以? 3.【2017課標(biāo)1,理18】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且. (1)證明:平面PAB⊥平面PAD; (2)若PA=PD=AB=DC,,求二面角A-PB-C的余弦值. 【解析】 試題解析:(1)由已知,得AB⊥AP,CD⊥PD. 由于AB∥CD ,故AB⊥PD ,從而AB⊥平面PAD. 又AB 平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD. 由(1)及已知可得,,,. 所以,,,. 設(shè)是平面的法向量,則 ,即,
5、 可取. 設(shè)是平面的法向量,則 ,即, 可取. 則, 所以二面角的余弦值為. 【考點(diǎn)】面面垂直的證明,二面角平面角的求解 【名師點(diǎn)睛】高考對(duì)空間向量與立體幾何的考查主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:①求異面直線所成的角,關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的夾角;②求直線與平面所成的角,關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化直線的方向向量和平面的法向量的夾角;③求二面角,關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標(biāo)系和表示出所需點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵. 4.【2017課標(biāo)II,理19】如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD, E是PD的中點(diǎn)。 (1)證明:直線 平面PAB; (
6、2)點(diǎn)M在棱PC 上,且直線BM與底面ABCD所成角為 ,求二面角的余弦值。 【答案】(1)證明略; (2) 。 【解析】 試題解析: (1)取的中點(diǎn),連結(jié),。 因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以∥,,由得∥,又,所以。四邊形為平行四邊形,∥。 又平面,平面,故平面。 (2)由已知得,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,為單位長(zhǎng), 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 則,,,,,, 設(shè)則, 因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45°,而是底面ABCD的法向量, 所以, , 即。 ① 又M在棱PC上,設(shè),則 。 ② 【考點(diǎn)】 判定線面平行;面面角的向量求法 【
7、名師點(diǎn)睛】(1)求解本題要注意兩點(diǎn):一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角,二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算,要認(rèn)真細(xì)心,準(zhǔn)確計(jì)算。
(2)設(shè)m,n分別為平面α,β的法向量,則二面角θ與
8、弦值.
【答案】(1)證明略;
(2) .
【解析】
(2)
由題設(shè)及(1)知,兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S正方向,為單位長(zhǎng),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則
由題設(shè)知,四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的,從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的,即E為DB的中點(diǎn),得 .故
【考點(diǎn)】 二面角的平面角;面面角的向量求法
【名師點(diǎn)睛】(1)求解本題要注意兩點(diǎn):一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角,二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算,要認(rèn)真細(xì)心,準(zhǔn)確計(jì)算.
(2)設(shè)m,n分別為平面α,β的法向量,則二面角θ與
9、|=|cos
10、,, 所以為所求二面角的平面角. 又,所以. 在中,由于, 由余弦定理得, 所以,因此為等邊三角形, 故所求的角為. 解法二: 以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,所在的直線為,,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 因此所求的角為. 【考點(diǎn)】1.垂直關(guān)系.2. 空間角的計(jì)算. 【名師點(diǎn)睛】此類題目是立體幾何中的常見問(wèn)題.解答本題,關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化,通過(guò)嚴(yán)密推理,明確角的構(gòu)成.立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題,往往可以利用幾何法、空間向量方法求解,應(yīng)根據(jù)題目條件,靈活選擇方法.本題能較好的考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力轉(zhuǎn)化與化歸思想及基
11、本運(yùn)算能力等. 7.【2017北京,理16】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD⊥平面ABCD,點(diǎn)M在線段PB上,PD//平面MAC,PA=PD=,AB=4. (I)求證:M為PB的中點(diǎn); (II)求二面角B-PD-A的大?。? (III)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值. 【答案】(Ⅰ)詳見解析:(Ⅱ) ;(Ⅲ) 【解析】 (III)由題意知,,. 設(shè)直線與平面所成角為,則. 所以直線與平面所成角的正弦值為. 【考點(diǎn)】1.線線,線面的位置關(guān)系;2.向量法. 【名師點(diǎn)睛】本題涉及到了立體幾何中的線面平行與垂直的判定與性質(zhì),
12、全面考查立體幾何中的證明與求解,意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力;利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題是一種成熟的方法,要注意建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系以及運(yùn)算的準(zhǔn)確性. 8.【2017天津,理17】如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,.點(diǎn)D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點(diǎn),M是線段AD的中點(diǎn),PA=AC=4,AB=2. (Ⅰ)求證:MN∥平面BDE; (Ⅱ)求二面角C-EM-N的正弦值; (Ⅲ)已知點(diǎn)H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為,求線段AH的長(zhǎng). 【答案】 (1)證明見解析(2) (3) 或 試題解析:如圖,以A為原點(diǎn),分別以,,方向?yàn)?/p>
13、x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0). (Ⅰ)證明:=(0,2,0),=(2,0,).設(shè),為平面BDE的法向量, 則,即.不妨設(shè),可得.又=(1,2,),可得. 因?yàn)槠矫鍮DE,所以MN//平面BDE. 【考點(diǎn)】直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角 【名師點(diǎn)睛】空間向量是解決空間幾何問(wèn)題的銳利武器,不論是求空間角、空間距離還是證明線面關(guān)系利用空間向量都很方便,利用向量夾角公式求異面直線所成的角又快又準(zhǔn),特別
14、是借助平面的法向量求線面角,二面角或點(diǎn)到平面的距離都很容易. 9.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】如圖,菱形的對(duì)角線與交于點(diǎn),,點(diǎn)分別在上,,交于點(diǎn).將沿折到位置,. (Ⅰ)證明:平面; (Ⅱ)求二面角的正弦值. 【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ). 【解析】 試題分析:(Ⅰ)證,再證,最后證;(Ⅱ)用向量法求解. 試題解析:(I)由已知得,,又由得,故. 因此,從而.由,得. 由得.所以,. 于是,, 故. 又,而, 所以. (II)如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系, 則,,,,,,,.設(shè)是平面的法向量,則,即, 所以可以取.設(shè)
15、是平面的法向量,則, 即, 所以可以取.于是, . 因此二面角的正弦值是. 考點(diǎn):線面垂直的判定、二面角. 【名師點(diǎn)睛】證明直線和平面垂直的常用方法有:①判定定理;②a∥b,a⊥α?b⊥α;③α∥β,a⊥α?a⊥β;④面面垂直的性質(zhì).線面垂直的性質(zhì),常用來(lái)證明線線垂直. 求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量,然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角. 10.【2016高考山東理數(shù)】在如圖所示的圓臺(tái)中,AC是下底面圓O的直徑,EF是上底面圓O的直徑,F(xiàn)B是圓臺(tái)的一條母線. (I)已知G,H分別為EC,
16、FB的中點(diǎn),求證:GH∥平面ABC; (II)已知EF=FB=AC=,AB=BC.求二面角的余弦值. 【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ) 【解析】 試題分析:(Ⅰ)根據(jù)線線、面面平行可得與直線GH與平面ABC平行;(Ⅱ)立體幾何中的角與距離的計(jì)算問(wèn)題,往往可以利用幾何法、空間向量方法求解,其中解法一建立空間直角坐標(biāo)系求解;解法二則是找到為二面角的平面角直接求解. 試題解析: (I)證明:設(shè)的中點(diǎn)為,連接, 在,因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以 又所以 在中,因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以, 又,所以平面平面, 因?yàn)槠矫?,所以平? (II)解法一: 連接,則平面, 又且是圓的直徑,所以
17、以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 由題意得,,過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn), 所以 可得 故. 設(shè)是平面的一個(gè)法向量. 由 可得 可得平面的一個(gè)法向量 因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量 所以. 所以二面角的余弦值為. 解法二: 連接,過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn), 則有, 又平面, 所以FM⊥平面ABC, 可得 過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),連接, 可得, 從而為二面角的平面角. 又,是圓的直徑, 所以 從而,可得 所以二面角的余弦值為. 考點(diǎn):1.平行關(guān)系;2. 異面直線所成角的計(jì)算. 【名師點(diǎn)睛】此類題目是立體幾何中的常見問(wèn)題.解答本題,關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面
18、關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化,通過(guò)嚴(yán)密推理,給出規(guī)范的證明.立體幾何中的角與距離的計(jì)算問(wèn)題,往往可以利用幾何法、空間向量方法求解,應(yīng)根據(jù)題目條件,靈活選擇方法.本題能較好的考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力轉(zhuǎn)化與化歸思想及基本運(yùn)算能力等. 11.【2016高考天津理數(shù)】(本小題滿分13分) 如圖,正方形ABCD的中心為O,四邊形OBEF為矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,點(diǎn)G為AB的中點(diǎn),AB=BE=2. (I)求證:EG∥平面ADF; (II)求二面角O-EF-C的正弦值; (III)設(shè)H為線段AF上的點(diǎn),且AH=HF,求直線BH和平面CEF所成角的正弦值. 【答案】(Ⅰ)詳見解析(Ⅱ)
19、(Ⅲ) 【解析】 試題分析:(Ⅰ)利用空間向量證明線面平行,關(guān)鍵是求出面的法向量,利用法向量與直線方向向量垂直進(jìn)行論證(Ⅱ)利用空間向量求二面角,關(guān)鍵是求出面的法向量,再利用向量數(shù)量積求出法向量夾角,最后根據(jù)向量夾角與二面角相等或互補(bǔ)關(guān)系求正弦值(Ⅲ)利用空間向量證明線面平行,關(guān)鍵是求出面的法向量,再利用向量數(shù)量積求出法向量夾角,最后根據(jù)向量夾角與線面角互余關(guān)系求正弦值 試題解析:依題意,,如圖,以為點(diǎn),分別以的方向?yàn)檩S,軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,依題意可得,. (I)證明:依題意,.設(shè)為平面的法向量,則,即 .不妨設(shè),可得,又,可得,又因?yàn)橹本€,所以. (II)解:易證
20、,為平面的一個(gè)法向量.依題意,.設(shè)為平面的法向量,則,即 .不妨設(shè),可得. 因此有,于是,所以,二面角的正弦值為. (III)解:由,得.因?yàn)?,所以,進(jìn)而有,從而,因此.所以,直線和平面所成角的正弦值為. 考點(diǎn):利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題 12.【2016年高考北京理數(shù)】(本小題14分) 如圖,在四棱錐中,平面平面,,,, ,,. (1)求證:平面; (2)求直線與平面所成角的正弦值; (3)在棱上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,求的值;若不存在,說(shuō)明理由. 【答案】(1)見解析;(2);(3)存在, 【解析】 試題分析:(1)由面面垂直性質(zhì)定理知AB⊥平面;根據(jù)線
21、面垂直性質(zhì)定理可知,再由線面垂直判定定理可知平面;(2)取的中點(diǎn),連結(jié),,以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法可求出直線與平面所成角的正弦值;(3)假設(shè)存在,根據(jù)A,P,M三點(diǎn)共線,設(shè),根據(jù)平面,即,求的值,即可求出的值. 試題解析:(1)因?yàn)槠矫嫫矫妫? 所以平面,所以, 又因?yàn)?,所以平面? (2)取的中點(diǎn),連結(jié),, 因?yàn)?,所? 又因?yàn)槠矫?,平面平面? 所以平面. 因?yàn)槠矫?,所? 因?yàn)?,所? 如圖建立空間直角坐標(biāo)系,由題意得, . 設(shè)平面的法向量為,則 即 令,則. 所以. 又,所以. 所以直線與平面所成角的正弦值為. (3)設(shè)是棱上一點(diǎn),
22、則存在使得. 因此點(diǎn). 因?yàn)槠矫?,所以平面?dāng)且僅當(dāng), 即,解得. 所以在棱上存在點(diǎn)使得平面,此時(shí). 考點(diǎn):1.空間垂直判定與性質(zhì);2.異面直線所成角的計(jì)算;3.空間向量的運(yùn)用. 【名師點(diǎn)睛】平面與平面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用:當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí),常作的輔助線是在其中一個(gè)面內(nèi)作交線的垂線,把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直,進(jìn)而可以證明線線垂直(必要時(shí)可以通過(guò)平面幾何的知識(shí)證明垂直關(guān)系),構(gòu)造(尋找)二面角的平面角或得到點(diǎn)到面的距離等. 13.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】如圖,四棱錐中,地面,,,,為線段上一點(diǎn),,為的中點(diǎn). (I)證明平面; (II)求直線與平面所成角的正弦值. 【答案】(
23、Ⅰ)見解析;(Ⅱ). 【解析】 試題分析:(Ⅰ)取的中點(diǎn),然后結(jié)合條件中的數(shù)據(jù)證明四邊形為平行四邊形,從而得到,由此結(jié)合線面平行的判斷定理可證;(Ⅱ)以為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,然后通過(guò)求直線的方向向量與平面法向量的夾角來(lái)處理與平面所成角. 試題解析:(Ⅰ)由已知得,取的中點(diǎn),連接,由為中點(diǎn)知,. 又,故,四邊形為平行四邊形,于是. 因?yàn)槠矫?,平面,所以平? (Ⅱ)取的中點(diǎn),連結(jié),由得,從而,且. 以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 由題意知,,,,, ,,. 設(shè)為平面的法向量,則,即,可取, 于是. 考點(diǎn):1、
24、空間直線與平面間的平行與垂直關(guān)系;2、棱錐的體積. 【技巧點(diǎn)撥】(1)證明立體幾何中的平行關(guān)系,常常是通過(guò)線線平行來(lái)實(shí)現(xiàn),而線線平行常常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關(guān)系來(lái)推證;(2)求解空間中的角和距離常??赏ㄟ^(guò)建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量中的夾角與距離來(lái)處理. 14.【2016高考浙江理數(shù)】(本題滿分15分)如圖,在三棱臺(tái)中,平面平面 ,,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (I)求證:EF⊥平面ACFD; (II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值. 【答案】(I)證明見解析;(II). 【解析】 試題分析:(I)先證,再證,進(jìn)而可證平面;(
25、II)方法一:先找二面角的平面角,再在中計(jì)算,即可得二面角的平面角的余弦值;方法二:先建立空間直角坐標(biāo)系,再計(jì)算平面和平面的法向量,進(jìn)而可得二面角的平面角的余弦值. 試題解析:(I)延長(zhǎng),,相交于一點(diǎn),如圖所示. 因?yàn)槠矫嫫矫?,且,所以? 平面,因此, . 又因?yàn)?,,,所? 為等邊三角形,且為的中點(diǎn),則 . 所以平面. (II)方法一: 過(guò)點(diǎn)作,連結(jié). 因?yàn)槠矫妫?,則平面,所以. 所以,是二面角的平面角. 在中,,,得. 在中,,,得. 所以,二面角的平面角的余弦值為. 方法二: 如圖,延長(zhǎng),,相交于一點(diǎn),則為等邊三角形. 取的中點(diǎn),則,又平面平面,
26、所以,平面. 以點(diǎn)為原點(diǎn),分別以射線,的方向?yàn)?,的正方向? 建立空間直角坐標(biāo)系. 由題意得 ,,, ,,. 因此, ,,. 設(shè)平面的法向量為,平面的法向量為. 由,得,取; 由,得,?。? 于是,. 所以,二面角的平面角的余弦值為. 考點(diǎn):1、線面垂直;2、二面角. 【方法點(diǎn)睛】解題時(shí)一定要注意二面角的平面角是銳角還是鈍角,否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.證明線面垂直的關(guān)鍵是證明線線垂直,證明線線垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三線合一”和菱形、正方形的對(duì)角線. 15.【2016年高考四川理數(shù)】(本小題滿分12分) 如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,AD
27、C=PAB=90°,BC=CD=AD,E為邊AD的中點(diǎn),異面直線PA與CD所成的角為90°. (Ⅰ)在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線CM∥平面PBE,并說(shuō)明理由; (Ⅱ)若二面角P-CD-A的大小為45°,求直線PA與平面PCE所成角的正弦值. 【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ). 【解析】 試題分析:(Ⅰ)探索線面平行,根據(jù)是線面平行的判定定理,先證明線線平行,再得線面平行,而這可以利用已知的平行,易得CD∥EB;從而知為DC和AB的交點(diǎn);(Ⅱ)求線面角,可以先找到這個(gè)角,即作出直線在平面內(nèi)的射影,再在三角形中解出,也可以利用已知圖形中的垂直建立空間直角坐標(biāo)系,用向量法求出線面角
28、(通過(guò)平面的法向量與直線的方向向量的夾角來(lái)求得). 試題解析:(Ⅰ)在梯形ABCD中,AB與CD不平行. 延長(zhǎng)AB,DC,相交于點(diǎn)M(M∈平面PAB),點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn).理由如下: 由已知,BC∥ED,且BC=ED. 所以四邊形BCDE是平行四邊形.,所以CD∥EB 從而CM∥EB. 又EB平面PBE,CM平面PBE, 所以CM∥平面PBE. (說(shuō)明:延長(zhǎng)AP至點(diǎn)N,使得AP=PN,則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn)) (Ⅱ)方法一: 由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PAAD=A, 所以CD⊥平面PAD. 從而CD⊥PD. 所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角
29、. 所以∠PDA=45°. 設(shè)BC=1,則在Rt△PAD中,PA=AD=2. 過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CE,交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接PH. 易知PA⊥平面ABCD, 從而PA⊥CE. 于是CE⊥平面PAH. 所以平面PCE⊥平面PAH. 過(guò)A作AQ⊥PH于Q,則AQ⊥平面PCE. 所以∠APH是PA與平面PCE所成的角. 在Rt△AEH中,∠AEH=45°,AE=1, 所以AH=. 在Rt△PAH中,PH== , 所以sin∠APH= =. 方法二: 由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PAAD=A, 所以CD⊥平面PAD. 于是CD⊥PD. 從而∠PDA是二面角P
30、-CD-A的平面角. 所以∠PDA=45°. 由PA⊥AB,可得PA⊥平面ABCD. 設(shè)BC=1,則在Rt△PAD中,PA=AD=2. 作Ay⊥AD,以A為原點(diǎn),以 ,的方向分別為x軸,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0), 所以=(1,0,-2),=(1,1,0),=(0,0,2) 設(shè)平面PCE的法向量為n=(x,y,z), 由 得 設(shè)x=2,解得n=(2,-2,1). 設(shè)直線PA與平面PCE所成角為α,則sinα= = . 所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為 . 考點(diǎn):
31、線線平行、線面平行、向量法. 【名師點(diǎn)睛】本題考查線面平行、線線平行、向量法等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、分析問(wèn)題的能力、計(jì)算能力.證明線面平行時(shí),可根據(jù)判定定理的條件在平面內(nèi)找一條平行線,而這條平行線一般是由過(guò)面外的直線的一個(gè)平面與此平面相交而得,證明時(shí)注意定理的另外兩個(gè)條件(線在面內(nèi),線在面外)要寫全,否則會(huì)被扣分,求線面角(以及其他角),一種方法可根據(jù)定義作出這個(gè)角(注意還要證明),然后通過(guò)解三角形求出這個(gè)角.另一種方法建立空間直角坐標(biāo)系,用向量法求角,這種方法主要是計(jì)算,不需要“作角、證明”,關(guān)鍵是記住相應(yīng)公式即可. 16.【2015高考四川,理14】如圖,四邊形ABCD和ADPQ
32、均為正方形,它們所在的平面互相垂直,動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上,E、F分別為AB、BC的中點(diǎn).設(shè)異面直線EM與AF所成的角為,則的最大值為 . 【答案】 【解析】建立坐標(biāo)系如圖所示.設(shè),則.設(shè),則,由于異面直線所成角的范圍為,所以. 令,則,當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以,當(dāng)時(shí),取得最大值. 【2018年高考命題預(yù)測(cè)】 縱觀2017各地高考試題,高考對(duì)立體幾何的考查,可以發(fā)現(xiàn)均以規(guī)則幾何體為背景,這樣建立空間直角坐標(biāo)系較為容易,考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力、空間想象能力以及基本運(yùn)算能力. 從高考試題來(lái)看,空間向量的坐標(biāo)及運(yùn)算,空間向量的應(yīng)用,重點(diǎn)考查空間向量的應(yīng)用求夾角、求距離.課本淡化了利
33、用空間關(guān)系找角、求距離這方面內(nèi)容的講解,而是加大了向量在這方面內(nèi)容應(yīng)用的講解,因此作為立體幾何的解答題,用向量方法處理有關(guān)夾角和距離將是主要方法,在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加大這方面的訓(xùn)練力度,題型上空間的夾角和距離主要以主觀題形式考查,但有時(shí)選擇題、填空題也涉及,難度中等偏高,從高考試題來(lái)看,利用空間向量證明平行與垂直,以及求空間角是高考的熱點(diǎn),題型主要為解答題,難度屬于中等,主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,以及向量的平行與垂直的充要條件,如何用向量法解決空間角問(wèn)題等,同時(shí)注重考查學(xué)生的空間想象能力、運(yùn)算能力.立體幾何題型一般是一個(gè)解答題,1至2個(gè)填空或選擇題.解答題一般與棱柱和棱錐相關(guān),主要考查線線關(guān)系、線面關(guān)系
34、和面面關(guān)系,其重點(diǎn)是考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力,其解題方法一般都有二種以上,并且一般都能用空間向量來(lái)求解.立體幾何側(cè)重考查學(xué)生的空間概念、邏輯思維能力、空間想象能力及運(yùn)算能力?,近幾年凡涉及空間向量應(yīng)用于立體幾何的高考試題,都著重考查應(yīng)用空間向量求異面直線所成的角、二面角,證明線線平行、線面平行和證明異面直線垂直和線面垂直等基本問(wèn)題.預(yù)測(cè)2017年高考,可能以錐體為幾何背景,第一問(wèn)以線面平行,面面平行為主要考查點(diǎn),第二問(wèn)可能給出一個(gè)角,計(jì)算角的問(wèn)題,常見的是異面直線所成的角,直線與平面所成的角,平面與平面所成的二面角,這類試題有一定的難度和需要一定的解題技巧,通常要把它們轉(zhuǎn)化為相交直線所成
35、的角;求距離,試題中常見的是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離,點(diǎn)到直線的距離,點(diǎn)到平面的距離,直線與直線的距離,直線到平面的距離,要特別注意解決此類問(wèn)題的轉(zhuǎn)化方法,有可能求點(diǎn)的位置或設(shè)置一個(gè)探索性命題,突出考查空間想象能力和邏輯推理能力,以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.復(fù)習(xí)建議:空間圖形中的角與距離,先根據(jù)定義找出或作出所求的角與距離,然后通過(guò)解三角形等方法求值,注意“作、證、算”的有機(jī)統(tǒng)一.解題時(shí)注意各種角的范圍.異面直線所成角的范圍是0°<θ≤90°,其方法是平移法和補(bǔ)形法;直線與平面所成角的范圍是0°≤θ≤90°,其解法是作垂線、找射影;二面角0°≤θ≤180°.平面圖形的翻折與空間圖形的展開問(wèn)題,要對(duì)照
36、翻折(或展開)前后兩個(gè)圖形,分清哪些元素的位置(或數(shù)量)關(guān)系改變了,哪些沒(méi)有改變. 【2018年高考考點(diǎn)定位】 對(duì)立體幾何中的向量方法部分,主要以解答題的方式進(jìn)行考查,而且偏重在第二問(wèn)或者第三問(wèn)中使用這個(gè)方法,考查的重點(diǎn)是使用空間向量的方法進(jìn)行空間角和距離等問(wèn)題的計(jì)算,把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算問(wèn)題. 【考點(diǎn)1】空間向量 【備考知識(shí)梳理】 1.空間向量的概念 向量:在空間,我們把具有大小和方向的量叫做向量.如位移、速度、力等 相等向量:長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 表示方法:用有向線段表示,并且同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等的向量. 說(shuō)明:①由
37、相等向量的概念可知,一個(gè)向量在空間平移到任何位置,仍與原來(lái)的向量相等,用同向且等長(zhǎng)的有向線段表示;②平面向量?jī)H限于研究同一平面內(nèi)的平移,而空間向量研究的是空間的平移. 2.向量運(yùn)算和運(yùn)算率 ,, 加法交換律:加法結(jié)合律:數(shù)乘分配律: 說(shuō)明:①引導(dǎo)學(xué)生利用右圖驗(yàn)證加法交換率,然后推廣到首尾相接的若干向量之和;②向量加法的平行四邊形法則在空間仍成立 3.平行向量(共線向量):如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,則這些向量叫做共線向量或平行向量.平行于記作∥. 注意:當(dāng)我們說(shuō)、共線時(shí),對(duì)應(yīng)的有向線段所在直線可能是同一直線,也可能是平行直線;當(dāng)我們說(shuō)、平行時(shí),也具有同樣的意
38、義. 共線向量定理:對(duì)空間任意兩個(gè)向量(≠)、,∥的充要條件是存在實(shí)數(shù)使= 注:⑴上述定理包含兩個(gè)方面:①性質(zhì)定理:若∥(≠0),則有=,其中是唯一確定的實(shí)數(shù).②判斷定理:若存在唯一實(shí)數(shù),使=(≠0),則有∥(若用此結(jié)論判斷、所在直線平行,還需(或)上有一點(diǎn)不在(或)上). ⑵對(duì)于確定的和,=表示空間與平行或共線,長(zhǎng)度為 ||,當(dāng)>0時(shí)與同向,當(dāng)<0時(shí)與反向的所有向量 ⑶若直線l∥,,P為l上任一點(diǎn),O為空間任一點(diǎn),下面根據(jù)上述定理來(lái)推導(dǎo)的表達(dá)式. 推論:如果?l為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線,那么對(duì)任一點(diǎn)O,點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,滿足等式 ①
39、 其中向量叫做直線l的方向向量 在l上取,則①式可化為 ② 當(dāng)時(shí),點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn),則 ③ ①或②叫做空間直線的向量參數(shù)表示式,③是線段AB的中點(diǎn)公式. 4.向量與平面平行:如果表示向量的有向線段所在直線與平面平行或在平面內(nèi),我們就說(shuō)向量平行于平面,記作∥.注意:向量∥與直線a∥的聯(lián)系與區(qū)別. 共面向量:我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量 共面向量定理 如果兩個(gè)向量、不共線,則向量與向量、共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x、y,使① 注:與共線向量定理一樣,此定理包含性質(zhì)和判定兩個(gè)方面. 推論:空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)?/p>
40、數(shù)對(duì)x、y,使 ④ 或?qū)臻g任一定點(diǎn)O,有⑤ 在平面MAB內(nèi),點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)對(duì)()是唯一的.①式叫做平面MAB的向量表示式 又∵代入⑤,整理得 ⑥ 由于對(duì)于空間任意一點(diǎn)P,只要滿足等式④、⑤、⑥之一(它們只是形式不同的同一等式),點(diǎn)P就在平面MAB內(nèi);對(duì)于平面MAB內(nèi)的任意一點(diǎn)P,都滿足等式④、⑤、⑥,所以等式④、⑤、⑥都是由不共線的兩個(gè)向量、(或不共線三點(diǎn)M、A、B)確定的空間平面的向量參數(shù)方程,也是M、A、B、P四點(diǎn)共面的充要條件 5.空間向量基本定理:如果三個(gè)向量、、不共面,那么對(duì)空間任一向量,存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組,使 說(shuō)明:⑴由上述定理知,如果三個(gè)
41、向量、、不共面,那么所有空間向量所組成的集合就是,這個(gè)集合可看作由向量、、生成的,所以我們把{,,}叫做空間的一個(gè)基底,,,都叫做基向量;⑵空間任意三個(gè)不共面向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底;⑶一個(gè)基底是指一個(gè)向量組,一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量,二者是相關(guān)聯(lián)的不同的概念;⑷由于可視為與任意非零向量共線.與任意兩個(gè)非零向量共面,所以,三個(gè)向量不共面就隱含著它們都不是. 推論:設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn),則對(duì)空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組,使 6.?dāng)?shù)量積 (1)夾角:已知兩個(gè)非零向量、,在空間任取一點(diǎn)O,作,,則角∠AOB叫做向量與的夾角,記作 A B O
42、 (4) A B O (3) A B O (1) O A B (2) 說(shuō)明:⑴規(guī)定0≤≤,因而=; ⑵如果=,則稱與互相垂直,記作⊥; ⑶在表示兩個(gè)向量的夾角時(shí),要使有向線段的起點(diǎn)重合,注意圖(3)、(4)中的兩個(gè)向量的夾角不同, 圖(3)中∠AOB=, 圖(4)中∠AOB=, 從而有==. (2)向量的模:表示向量的有向線段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模. (3)向量的數(shù)量積:叫做向量、的數(shù)量積,記作.即=, 向量: A B l
43、(4)性質(zhì)與運(yùn)算率 ⑴,⑵⊥=0,⑶ (4),(5)=,(6) 7.空間向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算 (1)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算 設(shè),,則①; ②;③. (2)共線與垂直的坐標(biāo)表示 設(shè),, 則, (均為非零向量). (3)模、夾角和距離公式 設(shè),,則,. 設(shè),則. 【規(guī)律方法技巧】 1.將四點(diǎn)共面問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為三個(gè)向量共面問(wèn)題,利用共面向量定理來(lái)解決. 2.利用向量共線說(shuō)明兩線平行時(shí)注意說(shuō)明四點(diǎn)不共線,否則不一定正確. 3. 立體幾何中的向量方法 (1)直線的方向向量與平面的法向量的確定 ①直線的方向向量:是空間一直線,是直線上任意兩點(diǎn),則稱為直線的方向向量,與平行的
44、任意非零向量也是直線的方向向量. ②平面的法向量可利用方程組求出:設(shè)是平面內(nèi)兩不共線向量,為平面的法向量,則求法向量的方程組為. 4.易錯(cuò)點(diǎn):(1)共線向量定理中∥?存在實(shí)數(shù)使=易忽視≠0.(3)共面向量定理中,注意有序?qū)崝?shù)對(duì)()是唯一存在的.(3)一個(gè)平面的法向量有無(wú)數(shù)個(gè),但要注意它們是共線向量,不要誤為是共面向量. 5.如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系:根據(jù)幾何體本身的幾何性質(zhì),恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系最為關(guān)鍵,如果坐標(biāo)系引入的恰當(dāng),合理,即能夠容易確定點(diǎn)的坐標(biāo),需要總結(jié)一些建系方法.常見建系方法: (1)借助三條兩兩相交且垂直的棱為坐標(biāo)軸,如正方體,長(zhǎng)方體等規(guī)則幾何體,一般選擇三條線為三個(gè)坐標(biāo)
45、軸,如圖1、2; (2)借助面面垂直的性質(zhì)定理建系,若題目中出現(xiàn)側(cè)面和底面垂線的條件,一般利用此條件添加輔助線,確定z軸,如圖3; (3)借助棱錐的高線建系等.對(duì)于正棱錐,利用定點(diǎn)在底面的射影為底面的中心,可確定z軸,然后在底面確定互相垂直的直線分別為x,y軸.如圖4. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1.一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),畫該四面體直觀圖. 【答案】見解析. 【解析】由已知可作出示意圖. 2. 有以下命題:①如果向量、與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底,那么、的關(guān)系是不共線;②為空間四點(diǎn),且向
46、量,,不構(gòu)成空間的一個(gè)基底,那么點(diǎn)一定共面;③已知向量,,是空間的一個(gè)基底,則向量也是空間的一個(gè)基底.其中正確的命題是____. 【答案】②③ 【解析】 對(duì)于①,“如果向量、與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底,那么、的關(guān)系一定是共線”,所以①錯(cuò)誤.②③正確. 【考點(diǎn)2】空間角,距離的求法 【備考知識(shí)梳理】 1.空間的角 (1)異面直線所成的角 如圖,已知兩條異面直線,經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)作直線.則把與所成的銳角(或直角)叫做異面直線與所成的角(或夾角).異面直線所成的角的范圍是. (2)平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角. ①直線垂直于平面
47、,則它們所成的角是直角;②直線和平面平行,或在平面內(nèi),則它們所成的角是的角.直線與平面所成角的范圍是. (3)二面角的平面角 如圖在二面角的棱上任取一點(diǎn),以點(diǎn)為垂足,在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱的射線和,則叫做二面角的平面角.二面角的范圍是. (4)等角定理 如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行,并且方向相同,那么這兩個(gè)角相等. 推論:如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等. 2.空間向量與空間角的關(guān)系 (1)設(shè)異面直線和的方向向量分別為和,則與的夾角滿足. (2)設(shè)直線的方向向量和平面的法向量分別為,則直線與平面的夾角滿足.
48、 (3)求二面角的大小 (ⅰ)如圖①,是二面角的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線,則二面角的大?。? (ⅱ)如圖②③,分別是二面角的兩個(gè)半平面的法向量,則二面角的大小滿足或. 3.空間距離: (1)兩條異面直線的距離 兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長(zhǎng)度,叫做兩條異面直線的距離;常有求法①先證線段為異面直線的公垂線段,然后求出的長(zhǎng)即可.②找或作出過(guò)且與平行的平面,則直線到平面的距離就是異面直線間的距離.③找或作出分別過(guò)且與,分別平行的平面,則這兩平面間的距離就是異面直線間的距離.④根據(jù)異面直線間的距離公式EF =(“±”符號(hào)由實(shí)際情況選定)求距離. a b E F
49、 (2)點(diǎn)到平面的距離 點(diǎn)P到直線的距離為點(diǎn)P到直線的垂線段的長(zhǎng),常先找或作直線所在平面的垂線,得垂足為A,過(guò)A作的垂線,垂足為B連PB,則由三垂線定理可得線段PB即為點(diǎn)P到直線的距離.在直角三角形PAB中求出PB的長(zhǎng)即可.常用求法①作出點(diǎn)P到平面的垂線后求出垂線段的長(zhǎng);②轉(zhuǎn)移法,如果平面的斜線上兩點(diǎn)A,B到斜足C的距離AB,AC的比為,則點(diǎn)A,B到平面的距離之比也為.特別地,AB=AC時(shí),點(diǎn)A,B到平面的距離相等;③體積法 (3)直線與平面的距離:一條直線和一個(gè)平面平行,這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離,叫做這條直線和平面的距離; (4)平行平面間的距離:兩個(gè)平行平面的公垂線段的長(zhǎng)度
50、,叫做兩個(gè)平行平面的距離. 【規(guī)律方法技巧】 1.空間中各種角包括:異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角. (1)異面直線所成的角的范圍是.求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過(guò)平行移動(dòng)直線,把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決 具體步驟如下:①利用定義構(gòu)造角,可固定一條,平移另一條,或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置,頂點(diǎn)選擇在特殊的位置上;②證明作出的角即為所求的角;③利用三角形來(lái)求角; ④補(bǔ)形法:將空間圖形補(bǔ)成熟悉的、完整的幾何體,這樣有利于找到兩條異面直線所成的角θ. (2)直線與平面所成的角的范圍是.求線面角方法: ①利用面面垂直性質(zhì)定理,巧定垂足:由面面垂直的性質(zhì)定
51、理,可以得到線面垂直,這就為線面角中的垂足的確定提供了捷徑. ②利用三棱錐的等體積,省去垂足, 在構(gòu)成線面角的直角三角形中,其中垂線段尤為關(guān)鍵.確定垂足,是常規(guī)方法.可是如果垂足位置不好確定,此時(shí)可以利用求點(diǎn)面距常用方法---等體積法.從而不用確定垂足的位置,照樣可以求出線面角.因?yàn)榇咕€段的長(zhǎng)度實(shí)際就是點(diǎn)面距h,利用三棱錐的等體積,只需求出h,然后利用進(jìn)行求解. ③妙用公式,直接得到線面角 課本習(xí)題出現(xiàn)過(guò)這個(gè)公式:,如圖所示:.其中為直線AB與平面所成的線面角.這個(gè)公式在求解一些選擇填空題時(shí),可直接應(yīng)用.但是一定要注意三個(gè)角的位置,不能張冠李戴. ④萬(wàn)能方法,空間向量求解不用找角
52、設(shè)AB是平面的斜線,BO是平面的垂線,AB與平面所成的角,向量與的夾角,則. 注:斜線和平面所成的角,是它和平面內(nèi)任何一條直線所成的一切角中的最小角,即若θ為線面角,α為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角,則有; D B A C (3)確定點(diǎn)的射影位置有以下幾種方法: ①斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影必在斜線在平面的射影上; ②如果一個(gè)角所在的平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等,那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上;如果一條直線與一個(gè)角的兩邊的夾角相等,那么這一條直線在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上; ③兩個(gè)平面相互垂直,一個(gè)平面上的點(diǎn)在另一個(gè)平面上的射影一定落在這兩個(gè)平
53、面的交線上; ④利用某些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì),確定頂點(diǎn)在底面上的射影的位置: a.如果側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所成的角相等,那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的外心; b. 如果頂點(diǎn)到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等,那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心); c. 如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對(duì)棱互相垂直,那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的垂心; (4)二面角的范圍,解題時(shí)要注意圖形的位置和題目的要求.求二面角的方法: ①直接法.直接法求二面角大小的步驟是:一作(找)、二證、三計(jì)算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并證明這個(gè)角就是所求二面角的平面角,然后再計(jì)
54、算這個(gè)角的大小. 用直接法求二面角的大小,其關(guān)鍵是確定表示二面角大小的平面角.而確定其平面角,可從以下幾個(gè)方面著手:①利用三垂線定理(或三垂線定理的逆定理)確定平面角,自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一面引垂線,再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)(即垂足),斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角,即為二面角的平面角;;②利用與二面角的棱垂直的平面確定平面角, 自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面,截二面角得兩條射線,這兩條射線所成的角就是二面角的平面角;③利用定義確定平面角, 在棱上任取一點(diǎn),過(guò)這點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)分別引棱的垂線,這兩條射線所成的角,就是二面角的平面角; ②射影面積法.利用射影面積公式= ;
55、此方法常用于無(wú)棱二面角大小的計(jì)算;對(duì)于無(wú)棱二面角問(wèn)題還有一條途徑是設(shè)法作出它的棱,作法有“平移法”“延伸平面法”等. ③空間向量法:法一: 是二面角的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線,則二面角的大小. 法二:設(shè),是二面角的兩個(gè)半平面的法向量,其方向一個(gè)指向內(nèi)側(cè),另一個(gè)指向外側(cè)(同等異補(bǔ)),則二面角的平面角或. 2. 求距離的關(guān)鍵是化歸.即空間距離向平面距離化歸,具體方法如下: (1)求空間中兩點(diǎn)間的距離,一般轉(zhuǎn)化為解直角三角形或斜三角形. (2)求點(diǎn)到直線的距離和點(diǎn)到平面的距離,一般轉(zhuǎn)化為求直角三角形斜邊上的高;或利用三棱錐的底面與頂點(diǎn)的輪換性轉(zhuǎn)化為三棱錐的高,即用體積法. (3)求距離
56、的一般方法和步驟:應(yīng)用各種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系和“平行移動(dòng)”的思想方法,把所求的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距或點(diǎn)面距求之,其一般步驟是:①找出或作出表示有關(guān)距離的線段;②證明它符合定義;③歸到解某個(gè)三角形.若表示距離的線段不容易找出或作出,可用體積等積法計(jì)算求之.異面直線上兩點(diǎn)間距離公式,如果兩條異面直線a 、b 所成的角為q ,它們的公垂線AA′的長(zhǎng)度為d ,在a 上有線段A′E =m ,b 上有線段AF =n ,那么EF =(“±”符號(hào)由實(shí)際情況選定) 3.求空間中線面的夾角或距離需注意以下幾點(diǎn): ①注意根據(jù)定義找出或作出所求的成角或距離,一般情況下,力求明確所求角或距離的位置. ②作線面
57、角的方法除平移外,補(bǔ)形也是常用的方法之一;求線面角的關(guān)鍵是尋找兩“足”(斜足與垂足),而垂足的尋找通常用到面面垂直的性質(zhì)定理. ③求二面角高考中每年必考,復(fù)習(xí)時(shí)必須高度重視.二面角的平角的常用作法有三種: 根據(jù)定義或圖形特征作;根據(jù)三垂線定理(或其逆定理)作,難點(diǎn)在于找到面的垂線.解決辦法,先找面面垂直,利用面面垂直的性質(zhì)定理即可找到面的垂線;作棱的垂面.作二面角的平面角應(yīng)把握先找后作的原則.此外在解答題中一般不用公式“= ”求二面角否則要適當(dāng)扣分. ④求點(diǎn)到平面的距離常用方法是直接法與間接法,利用直接法求距離需找到點(diǎn)在面內(nèi)的射影,此時(shí)??紤]面面垂直的性質(zhì)定理與幾何圖形的特殊性質(zhì).而間接
58、法中常用的是等積法及轉(zhuǎn)移法. ⑤求角與距離的關(guān)鍵是將空間的角與距離靈活轉(zhuǎn)化為平面上的角與距離,然后將所求量置于一個(gè)三角形中,通過(guò)解三角形最終求得所需的角與距離. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1.已知平行六面體ABCD - A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°,則異面直線AC1與A1D所成角的余弦值_____________. 【答案】 【解析】設(shè)向量 ,則,, . 2.在梯形中,,,,,如圖把沿翻折,使得平面平面. (Ⅰ)求證:平面; (Ⅱ)若點(diǎn)為線段中點(diǎn),求點(diǎn)到平面的距離. 【解析】(Ⅰ)證明:因?yàn)?,,,所以,,,
59、,所以.因?yàn)槠矫嫫矫?平面平面,所以平面. (Ⅱ)由(Ⅰ)知.以點(diǎn)為原點(diǎn),所在的直線為軸,所在直線為軸,如圖建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,,.所以,,.設(shè)平面的法向量為,則且,所以令,得平面的一個(gè)法向量為 ,所以點(diǎn)到平面的距離為. 【考點(diǎn)3】空間向量的應(yīng)用 【備考知識(shí)梳理】 1. 直線的方向向量:是空間一直線,是直線上任意兩點(diǎn),則稱為直線的方向向量,與平行的任意非零向量也是直線的方向向量. 2. 如何確定平面的法向量 (1)首先觀察是否與存在于面垂直的法向量,若有可直接確定,若不存在,轉(zhuǎn)化為待定系數(shù)法; (2)待定系數(shù)法:由于法向量沒(méi)有規(guī)定長(zhǎng)度,僅規(guī)定了方向,所以有一個(gè)自由度,
60、于是可把法向量的某個(gè)坐標(biāo)設(shè)為1,再求另兩個(gè)坐標(biāo).由于平面法向量是垂直于平面的向量,所以取平面的兩條相交向量,設(shè)由解方程組求得. 【規(guī)律方法技巧】 1.用向量證明空間中的平行關(guān)系 ①設(shè)直線和的方向向量分別為和,則∥ (或與重合)? ∥. ②設(shè)直線的方向向量為,與平面共面的兩個(gè)不共線向量和,則∥或??存在兩個(gè)實(shí)數(shù),使. ③設(shè)直線的方向向量為,平面的法向量為,則l∥α或l?α?⊥. ④設(shè)平面和的法向量分別為,,則α∥β?∥. 2.用向量證明空間中的垂直關(guān)系 ①設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為和,則l1⊥l2?⊥?.=0. ②設(shè)直線l的方向向量為,平面的法向量為,則⊥?∥ ③設(shè)平面
61、和的法向量分別為和,則α⊥β?⊥?·=0. 3.用法向量球距離: (1)用法向量求異面直線間的距離:如右圖所示,a、b是兩異面直線,是a和b 的法向量,點(diǎn)E∈a,F(xiàn)∈b,則異面直線 a與b之間的距離是 ; (2)用法向量求點(diǎn)到平面的距離 如右圖所示,已知AB是平面α的 一條斜線,為平面α的法向量,則 A到平面α的距離為; A B C α (3)用法向量求直線到平面間的距離 首先必須確定直線與平面平行,然后將直線到平面的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直線上一點(diǎn)到平面的距離問(wèn)題 (4)用法向量求兩平行平面間的距離 首先必須確定兩個(gè)平面是否平行,這時(shí)可以在一個(gè)平面上任取一點(diǎn),將兩平面
62、間的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離問(wèn)題. 4. 用法向量求角 (1)用法向量求二面角 如圖,有兩個(gè)平面α與β,分別作這兩個(gè)平面的法向量與,則平面α與β所成的角跟法向量與所成的角相等或互補(bǔ),所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角. α β (2)法向量求直線與平面所成的角 要求直線a與平面α所成的角θ,先求這個(gè)平面α的法向量與直線a的夾角的余弦,易知θ=或者. 5.利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求解問(wèn)題的方法:用空間向量解決立體幾何中的平行或共線問(wèn)題一般用向量共線定理;求兩點(diǎn)間距離或某一線段的長(zhǎng)度,一般用向量的模來(lái)解決;解決垂直問(wèn)題一般可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零;求異面直線所成的角,
63、一般可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角,但要注意兩種角的范圍不同,最后應(yīng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 6.易誤警示:利用平面的法向量求二面角的大小時(shí),當(dāng)求出兩半平面α、β的法向量n1,n2時(shí),要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向,從而確定二面角與向量n1,n2的夾角是相等,還是互補(bǔ),這是利用向量求二面角的難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn). 異面直線所成角范圍是(0°,90°],若異面直線a,b的方向向量為m,n,異面直線a,b所成角為θ,則cos θ=|cos〈m,n〉|.解題過(guò)程是:(1)建系;(2)求點(diǎn)坐標(biāo);(3)表示向量;(4)計(jì)算. (1)異面直線的夾角與向量的夾角有所不同,應(yīng)注意思考它們的區(qū)別與聯(lián)系. (2)直線與平面的夾
64、角可以轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角,由于向量方向的變化,所以要注意它們的區(qū)別與聯(lián)系. 求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量,然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1.如圖,在多面體ABCDEF中,正方形與梯形所在平面互相垂直,已知,,. A B F E D C N M (Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求直線與平面所成的角的正弦值. 【解析】(Ⅰ)在梯形中,取CD中點(diǎn)H,連接BH,因?yàn)?,,所以四邊形ADHB為正方形,又,,所以,所以,又平面平面ABCD,平面平面
65、ABCD,所以平面ABCD ,,又,故平面 A B F E D C N M x y z H (Ⅱ)由(Ⅰ)知平面ABCD,,所以DE,DA,DC兩兩垂直.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系,則,,,,,, ,設(shè)為平面BMC的法向量,則,即,可取, 又,所以 ,直線與平面所成的角的正弦值為 . 2.如圖,在中,已知在上,且又平面. (Ⅰ)求證:⊥平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值. 【解析】(Ⅰ)設(shè), 由平面,知⊥平面.從而,在中為直角三角形,故 ,又,又平面平面,平面,故∵∴平面 (Ⅱ)以所在射線分別為軸,建立直角坐標(biāo)系如圖
66、,則由(Ⅰ)知,, ,由(Ⅰ)知平面是平面的一個(gè)法向量, 設(shè)平面的法向量為,令,則, ,由圖可知,二面角的余弦值為. 【兩年模擬詳解析】 1. 【2017年第一次全國(guó)大聯(lián)考江蘇卷】如圖,在四棱錐中,棱兩兩垂直,且長(zhǎng)度均為1, (1)若,求直線與平面所成角的正弦值; (2)若二面角的大小為,求實(shí)數(shù)的值. 【解析】(1)以為一組基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 因?yàn)?,所以? 依題意,, 所以, 平面的一個(gè)法向量為,則,所以, 取得 所以, 所以直線與平面所成角的正弦值為. (2)依題意,,, 設(shè)平面的一個(gè)法向量, 則,即,取得, 設(shè)平面的一個(gè)法向量 則,即,取得, 所以, 解得或. 因?yàn)?,所? 2. 【2017年高考原創(chuàng)押題預(yù)測(cè)卷03(江蘇卷)】在四棱錐中,直線兩兩垂直,且. (Ⅰ)求異面直線與所成角的余弦值; (Ⅱ)求鈍二面角的大小. A P B C D 【解析】不妨設(shè),以分別為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 則P(0,0,2),A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,2,
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