（江蘇專用）2018年高考數(shù)學總復習 必做03 二項式定理及其應(yīng)用試題（含解析）

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1、 專題3 二項式定理及其應(yīng)用 【三年高考】 1. 【2016年高考四川理數(shù)改編】設(shè)i為虛數(shù)單位，則的展開式中含x4的項為　　　?。? 【答案】－15x4 【解析】 試題分析：二項式展開的通項，令，得，則展開式中含的項為． 考點：二項展開式，復數(shù)的運算. 【名師點睛】本題考查二項式定理及復數(shù)的運算，復數(shù)的概念及運算也是高考的熱點，幾乎是每年必考內(nèi)容，屬于容易題.一般來說，掌握復數(shù)的基本概念及四則運算即可．二項式的展開式可以改為，則其通項為，即含的項為． 2．【2016年高考北京理數(shù)】在的展開式中，的系數(shù)為__________________.（用數(shù)字作答） 【答案】60. 【

2、解析】 試題分析：根據(jù)二項展開的通項公式可知，的系數(shù)為，故填：. 考點：二項式定理. 【名師點睛】1.所謂二項展開式的特定項，是指展開式中的某一項，如第項、常數(shù)項、有理項、字母指數(shù)為某些特殊值的項.求解時，先準確寫出通項，再把系數(shù)與字母分離出來(注意符號)，根據(jù)題目中所指定的字母的指數(shù)所具有的特征，列出方程或不等式來求解即可；2、求有理項時要注意運用整除的性質(zhì)，同時應(yīng)注意結(jié)合的范圍分析. 3.【2016高考新課標1卷】的展開式中,x3的系數(shù)是 .（用數(shù)字填寫答案） 【答案】 考點:二項式定理 【名師點睛】確定二項展開式指定項的系數(shù)通常是先寫出通項,再確定r的值

3、,從而確定指定項系數(shù). 4.【2016高考天津理數(shù)】的展開式中x2的系數(shù)為__________.(用數(shù)字作答) 【答案】 【解析】 試題分析：展開式通項為，令，，所以的．故答案為． 考點：二項式定理 【名師點睛】1.求特定項系數(shù)問題可以分兩步完成：第一步是根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項． 2．有理項是字母指數(shù)為整數(shù)的項．解此類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其為整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解． 5.【2016高考山東

4、理數(shù)】若（ax2+）5的展開式中x5的系數(shù)是—80，則實數(shù)a=_______. 【答案】-2 【解析】 試題分析：因為，所以由，因此 考點：二項式定理 【名師點睛】本題是二項式定理問題中的常見題型，二項展開式的通項公式，往往是考試的重點.本題難度不大，易于得分.能較好的考查考生的基本運算能力等. 6．【2015高考湖南，理6】已知的展開式中含的項的系數(shù)為30，則____________. 【答案】16 【解析】，令，可得. 7.【2015高考新課標1，理10】的展開式中，的系數(shù)為_________. 【答案】30 【解析】在的5個因式中，2個取因式中剩余的3個因式中1個

5、取，其余因式取y,故的系數(shù)為=30. 8.【2015高考湖北，理3】已知的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式 系數(shù)和為______________. 【答案】 【解析】因為的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，所以，解得， 所以二項式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為. 9.【2015高考新課標2，理15】的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則__________． 【答案】 【解析】由已知得，故的展開式中x的奇數(shù)次冪項分別為，，，，，其系數(shù)之和為，解得． 10.【2015高考上海，理11】在的展開式中，項的系數(shù)為 （結(jié)果用數(shù)值表示）．

6、 【答案】 【解析】因為，所以項只能在展開式中，即為，系數(shù)為 11.【2014高考湖北卷理第2題】若二項式的展開式中的系數(shù)是84，則實數(shù)_______. 【答案】1 【解析】因為，令，得， 所以，解得. 14. 【2014山東高考理第14題】 若的展開式中項的系數(shù)為20，則的最小值 . 【答案】 【解析】展開式的通項為，令得，所以，由得，從而，當且僅當時，的最小值為. 13. 【2014全國1高考理第13題】的展開式中的系數(shù)為________.（用數(shù)字填寫答案） 【答案】 14.【2014高考安徽卷理第13題】設(shè)是大于1的自然數(shù)，的展開式為.若點的位置如圖所

7、示，則. 【答案】 【解析】由圖易知，則，即，解得. 【2017年高考命題預(yù)測】 縱觀近幾年各地高考，我們可以發(fā)現(xiàn)對二項式定理的考查,重點是二項式定理的通項公式、二項式系數(shù)及項的系數(shù)；以考查基本概念、基礎(chǔ)知識為主，如系數(shù)和、求某項的系數(shù)、求常數(shù)項、求有理項、求所含參數(shù)的值或范圍等；難度不大，屬于中檔題和容易題，題型為選擇題或填空題．二項式定理是高考數(shù)學相對獨立的內(nèi)容，二項式定理的知識在高考中經(jīng)常以客觀題的形式出現(xiàn)，多為課本例題、習題遷移的改編題，難度不大，個別題有一定的難度,重點考查運用二項式定理去解決問題的能力和邏輯劃分，化歸轉(zhuǎn)化等思想方法.為此，只要我們把握住二項式定理及

8、其系數(shù)性質(zhì)，會把實際問題化歸為數(shù)學模型問題或方程問題去解決，就可順利獲解.預(yù)測2017年高考仍可能以二項式的通項,二項式系數(shù)，展開式系數(shù)為主，可單獨考查本節(jié)知識，也可出現(xiàn)與其他章節(jié)知識結(jié)合的小綜合.如可能與定積分結(jié)合出題，試題難度中等．復習建議:⑴ 運用二項式定理一定要牢記通項，注意與雖然相同，但具體到它們展開式的某一項時是不相同的，我們一定要注意順序問題.另外二項展開式的二項式系數(shù)與該項的(字母)系數(shù)是兩個不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分.⑵ 對于二項式系數(shù)問題，應(yīng)注意以下幾點：①求二項式所有項的系數(shù)和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母變量的值為1；②關(guān)于組合恒等式的證明，常采用

9、“構(gòu)造法”——構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造同一問題的兩種算法；③證明不等式時，應(yīng)注意運用放縮法.⑶ 求二項展開式中指定的項，通常是先根據(jù)已知條件求，再求，有時還需先求，再求，才能求出.⑷ 有些三項展開式問題可以變形為二項式問題加以解決；有時也可以通過組合解決，但要注意分類清楚，不重不漏.⑸ 對于二項式系數(shù)問題，首先要熟記二項式系數(shù)的性質(zhì)，其次要掌握賦值法，賦值法是解決二項式系數(shù)問題的一個重要手段.⑹ 近似計算要首先觀察精確度，然后選取展開式中若干項.⑺ 用二項式定理證明整除問題，一般將被除式變?yōu)橛嘘P(guān)除式的二項式的形式再展開，常采用“配湊法”“消去法”配合整除的有關(guān)知識來解決. 【2017年高考考點

10、定位】 本節(jié)內(nèi)容高考的重點就是利用二項式定理的通項公式、二項式系數(shù)及項的系數(shù)；以考查基本概念、基礎(chǔ)知識為主，如系數(shù)和、求某項的系數(shù)、求常數(shù)項、求有理項、求所含參數(shù)的值或范圍等，題型既有選擇題也有填空題，難度中等偏下，而小題目綜合化是這部分內(nèi)容的考查一種趨勢. 【考點】二項式定理 【備考知識梳理】 1. 二項式定理 ，這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做的二項展開式，其中的系數(shù) ()叫做二項式系數(shù)．式中的叫做二項展開式的通項，用表示，即展開式的第項；. 2．二項展開式形式上的特點：(1)項數(shù)為.(2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)，即與的指數(shù)的和為.(3)字母按降冪排

11、列，從第一項開始，次數(shù)由逐項減1直到零；字母按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到.(4)二項式的系數(shù)從，，一直到，. 3. 二項式系數(shù)的性質(zhì)：(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即，，，.(2)增減性與最大值：二項式系數(shù)，當時，二項式系數(shù)是遞增的；由對稱性知：當時，二項式系數(shù)是遞減的．當是偶數(shù)時，中間的一項取得最大值．當是奇數(shù)時，中間兩項 和相等，且同時取得最大值．(3)各二項式系數(shù)的和：的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于，即，二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即， 4.注意:（1）．分清是第項，而不是第項.(2)．在通項公式中，含有

12、、、、、、這六個參數(shù)，只有、、、是獨立的，在未知、的情況下，用通項公式解題，一般都需要首先將通式轉(zhuǎn)化為方程（組）求出、,然后代入通項公式求解.(3)．求二項展開式中的一些特殊項，如系數(shù)最大項，常數(shù)項等，通常都是先利用通項公式由題意列方程，求出，再求所需的某項；有時則需先求,計算時要注意和的取值范圍以及 它們之間的大小關(guān)系. (4) 在中，就是該項的二項式系數(shù)，它與，的值無關(guān)；而項的系數(shù)是指化簡后字母外的數(shù)． 5．二項式的應(yīng)用:（1）求某些多項式系數(shù)的和；（2）證明一些簡單的組合恒等式；（3）證明整除性,①求數(shù)的末位；②數(shù)的整除性及求系數(shù)；③簡單多項式的整除問題；（4）近似計算.當充分小時，我

13、們常用下列公式估計近似值：①；②；（5）證明不等式. 【規(guī)律方法技巧】 1.在應(yīng)用通項公式時，要注意以下幾點：①它表示二項展開式的任意項，只要與確定，該項就隨之確定； ②是展開式中的第項，而不是第項；③公式中，，的指數(shù)和為且，不能隨便顛倒位置； ④ 對二項式展開式的通項公式要特別注意符號問題．⑤在二項式定理的應(yīng)用中，“賦值思想”是一種重要方法，是處理組合數(shù)問題、系數(shù)問題的經(jīng)典方法． 2. 二項定理問題的處理方法和技巧:⑴運用二項式定理一定要牢記通項，注意與雖然相同，但具體到它們展開式的某一項時是不同的，一定要注意順序問題，另外二項展開式的二項式系數(shù)與該項的(字母)系數(shù)是兩個不同的

14、概念，前者只指，而后者是字母外的部分．前者只與和有關(guān)，恒為正，后者還與，有關(guān)，可正可負． ⑵ 對于二項式系數(shù)問題，應(yīng)注意以下幾點：①求二項式所有項的系數(shù)和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母變量的值為1；②關(guān)于組合恒等式的證明，常采用“構(gòu)造法”——構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造同一問題的兩種算法；③證明不等式時，應(yīng)注意運用放縮法.⑶ 求二項展開式中指定的項，通常是先根據(jù)已知條件求，再求，有時還需先求，再求，才能求出.⑷ 有些三項展開式問題可以變形為二項式問題加以解決；有時也可以通過組合解決，但要注意分類清楚，不重不漏.⑸ 對于二項式系數(shù)問題，首先要熟記二項式系數(shù)的性質(zhì)，其次要掌握賦值法，賦值法是解決二項式系

15、數(shù)問題的一個重要手段.⑹ 近似計算要首先觀察精確度，然后選取展開式中若干項.⑺ 用二項式定理證明整除問題，一般將被除式變?yōu)橛嘘P(guān)除式的二項式的形式再展開，常采用“配湊法”“消去法”配合整除的有關(guān)知識來解決. 多項式乘法的進位規(guī)則:在求系數(shù)過程中,盡量先化簡，降底數(shù)的運算級別,盡量化成加減運算，在運算過程可以適當注意令值法的運用，例如求常數(shù)項，可令.在二項式的展開式中，要注意項的系數(shù)和二項式系數(shù)的區(qū)別. 3. 排列組合在二項展開式中的應(yīng)用：展開式可以由次數(shù)、項數(shù)和系數(shù)來確定．(1)次數(shù)的確定：從個相同的中各取一個(或)乘起來，可以構(gòu)成展開式中的一項，展開式中項的形式是，其中.(2)項數(shù)的確定：

16、滿足條件的共組． 即將展開共項，合并同類項后共項．(3)系數(shù)的確定：展開式中含()項的系數(shù)為 (即個，個的排列數(shù))因此展開式中的通項是： (),這種方法比數(shù)學歸納法推導二項式定理更具一般性和創(chuàng)造性，不僅可二項展開，也可三項展開，四項展開等． 4. 求幾個二項式積的展開式中某項的系數(shù)或特定項時，一般要根據(jù)這幾個二項式的結(jié)構(gòu)特征進行分類搭配，分類時一般以一個二項式逐項分類，分析其他二項式應(yīng)滿足的條件，然后再求解結(jié)果． 5. “賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如、 ()的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令即可；對形如 ()的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令即可

17、．“賦值法”是求二項展開式系數(shù)問題常用的方法，注意取值要有利于問題的解決，可以取一個值或幾個值，也可以取幾組值，解題易出現(xiàn)漏項等情況，應(yīng)引起注意．例：若，則展開式中各項系數(shù)之和為，奇數(shù)項系數(shù)之和為，偶數(shù)項系數(shù)之和為，令，可得． 6. 求展開式系數(shù)最大項：如求 ()的展開式系數(shù)最大的項，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開式各項系數(shù)分別為，且第項系數(shù)最大，應(yīng)用從而解出k來，即得． 7. (1)利用二項式定理解決整除問題時，關(guān)鍵是進行合理地變形構(gòu)造二項式，應(yīng)注意：要證明一個式子能被另一個式子整除，只要證明這個式子按二項式定理展開后的各項均能被另一個式子整除即可． (2)求余數(shù)問題時，應(yīng)明確被除式與

18、除式 ()，商式與余式的關(guān)系及余式的范圍． (3)展開式中常數(shù)項、有理項的特征是通項中未知數(shù)的指數(shù)分別為零和整數(shù)．解決這類問題時，先要合并通項中同一字母的指數(shù)，再根據(jù)上述特征進行分析． (4)有關(guān)求二項展開式中的項、系數(shù)、參數(shù)值或取值范圍等，一般要利用通項公式，運用方程思想進行求值，通過解不等式(組)求取值范圍． 【考點針對訓練】 1.已知的展開式的前三項的系數(shù)成等差數(shù)列； （1）求展開式中所有的有理項； （2）求展開式中系數(shù)的絕對值最大的項。 【答案】。（1）．（2） 【解析】 試題分析：根據(jù)已知條件展開式的前三項的系數(shù)成等差數(shù)列可以求出的值，⑴求展開式中所有的項

19、，將有理項選出；⑵通過判斷系數(shù)絕對值最大的兩項分別為第項．． ⑵展開式中系數(shù)的絕對值最大的項為同理則其系數(shù)的絕對值的最大項為和． 2.求的展開式中的常數(shù)項，其中是除以的余數(shù)． 【答案】 【解析】 試題分析：由是除以的余數(shù)求了出，再由二項展開式的通項求常數(shù)項即可． 試題解析：除以的余數(shù)是，所以． 設(shè)是展開式中的常數(shù)項， 則 令得，所以． 所以展開式中的常數(shù)項為． 【兩年模擬詳解析】 1.已知二項展開式中，第4項的二項式系數(shù)與第3項的二項式系數(shù)的比為8：3 （1）求n的值； （2）求展開式中項的系數(shù) （3）計算式子的值． 【答案】（1）；（2）180；（3）1

20、. 【解析】 試題分析： 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點，通過給二項式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題．第一問，直接利用條件可得，求得n的值；第二問，在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于3，求出r的值，即可求得展開式中x3項的系數(shù)．第三問，在二項展開式中，令x=1，可得式子的值． （3）由二項式定理可得， 所以令x=1得. 2．已知． （1）求的值 （2）求 （3）求． 【答案】（1）（2）0（3） 【解析】 試題分析：（1）求時利用二項式定理的展開式通項公式，取x的次數(shù)為2時求對應(yīng)的系數(shù)；求（2）（

21、3）中奇數(shù)項和偶數(shù)項系數(shù)和時分別令，將得到的兩式整理即可求得 試題解析：（1） （2）， （3） 3．若展開式中第二、三、四項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列． （1）求n的值及展開式中二項式系數(shù)最大的項． （2）此展開式中是否有常數(shù)項，為什么？ 【答案】（1） n = 7 ，， （2） 無常數(shù)項 【解析】 試題分析：首先求得二項式定理的展開式通項，得到第二、三、四項的二項式系數(shù)，列出等式關(guān)系求得值，二項式系數(shù)最大的項為中間的一項或兩項，常數(shù)項即通項中的次數(shù)為零的項 試題解析：（1）解：由展開式中第二、三、四項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，得 2=+ 解之得n = 7 由于n

22、=7為奇數(shù)，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為中間兩項，它們分別是 （2）由 （0≤r≤7） 令=0得r=，（舍去） 所以無常數(shù)項 4．已知的展開式中，只有第六項的二項式系數(shù)最大． （Ⅰ）求該展開式中所有有理項的項數(shù)； （Ⅱ）求該展開式中系數(shù)最大的項． 【答案】（1）6；（2）． 【解析】 試題分析：（1）先由只有第六項的二項式系數(shù)最大求出，再利用通項進行求解；（2）設(shè)第項的系數(shù)最大，利用進行求解． 試題解析：（Ⅰ）由題意可知：，． ， 要求該展開式中的有理項，只需令， ，所有有理項的項數(shù)為6項． （Ⅱ）設(shè)第項的系數(shù)最大， 則，即， 解得：，，得．

23、 展開式中的系數(shù)最大的項為． 5．已知展開式中各項的系數(shù)之和比各項的二項式系數(shù)之和大． （1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項； （2）求展開式中系數(shù)最大的項． 【答案】（1），（2） 【解析】 試題分析：（1）本題考察的是二項式定理的相關(guān)知識點，要求二項式系數(shù)最大項，首先要確定的值，然后就能確定展開式中二項式系數(shù)最大的項。易錯點主要在分不清各項系數(shù)之和與二項式系數(shù)之和的差別。 （2）本題考察的是求展開式中的系數(shù)最大項，設(shè)第項系數(shù)最大，只需建立兩個不等式，求出的取值范圍，再根據(jù)就可以求出的值，最后根據(jù)二項式定理展開式的公式即可寫出相應(yīng)的系數(shù)最大的項。 試題解析：由

24、題意， ， （1）展開式中二項式系數(shù)最大的項是，； （2）由解得為所求的系數(shù)最大的項。 考點：（1）二項式定理（2）二項式系數(shù)的性質(zhì) 6．解下列方程： 【答案】14 【解析】 試題分析：本題主要考察組合數(shù)公式的應(yīng)用，根據(jù)公式就可以把所給方程化簡成簡單方程，就可以解出答案。本題易錯點在記錯公式，從而導致化簡出錯，本題中的上下標較多 ，化簡時要多加注意。 試題解析：得 7．在的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列。 （Ⅰ）求展開式中含有的項的系數(shù)； （Ⅱ）求展開式中的有理項。 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；； 【解析】 試題分析：（Ⅰ）首先將前三項的系數(shù)寫出，然后因為是

25、等差數(shù)列，所以列出關(guān)于n的式子，求解n,按通項公式列項，判定當r為何值是，會出現(xiàn)含的項；（Ⅱ）同樣寫，有理項指為整數(shù)，． 試題解析：解：的展開式中前三項的系數(shù)分別為；；，由題意知 或（舍去） （Ⅰ）設(shè)展開式中含有的項為； 則，含有的項為第5項，它的系數(shù)為 （Ⅱ）設(shè)展開式中第項為有理項，則 當時對應(yīng)的項為有理項，有理項分別為：；； 8．設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，，公比q是的展開式中的第二項（按x的降冪排列）． （1）用n、x表示通項an與前n項和Sn； （2）若An+1＝S1＋S2＋…＋Sn＋Sn+1，用n、x表示An+1． 【答案】（1） ，；（2） ． 【解析】 試題

26、分析：（1）根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可求得的值,根據(jù)二項展開式的通項可求得的值,從而可求得．（2）用倒序相加法及組合數(shù)的性質(zhì)可求得． （2）當時，， ① 又∵，② 由，①＋②，得， ∴． 當時，， ． ∴． 9．已知二項式（N*）展開式中，前三項的二項式系數(shù)和是，求：（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）展開式中的常數(shù)項． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）前三項二項式系數(shù)分別為,由題意根據(jù)組合數(shù)的運算可求得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知,根據(jù)二項式的展開式,令的系數(shù)為0可求得的值,從而可求得其常數(shù)項． 10．（1）

27、若的展開式中，的系數(shù)是的系數(shù)的倍，求； （2）已知的展開式中, 的系數(shù)是的系數(shù)與的系數(shù)的等差中項,求； （3）已知的展開式中,二項式系數(shù)最大的項的值等于,求. 【答案】（1）n=8；（2）（3） 【解析】 試題分析：不必將所有式子進行展開，本題只需要通過對二項式定理的理解求出各項的系數(shù)，根據(jù)各小題所給條件（其中包括融入了有關(guān)等差數(shù)列的應(yīng)用，級數(shù)展開最大項的選擇等），列出相應(yīng)的方程，并解出方程解即本題答案，在解方程時要注意多解的適用性，舍掉不必要的解。 試題解析：（1）的二項式系數(shù)是，的二項式系數(shù)是.依題意有 （2）依題意，得 即 （3）依

28、題意得 即 解得，或 所以. 11．已知的展開式中，前三項系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列 （1）證明展開式中沒有常數(shù)項； （2）求展開式中的所有有理項； 【答案】（1）詳見解析; （2）． 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)二項展開式的通項求得前三項系數(shù),根據(jù)題意,由等差中項可求得關(guān)于的方程,從而可求得的值．因為此展開式至少有3項故．再根據(jù)二項展開式的通項求第項,令的冪指數(shù)為0求,當且時說明此展開式有常數(shù)項,否則說明此展開式無常數(shù)項．（2）由（1）可知,當且僅當為整數(shù)時為有理項,又因為且,所以可得的值,從而可得其有理項． （2）為有理項，當且僅當為整數(shù)， ，即展開式中有

29、理項共有三項，它們是 ． 12．已知:（,n為常數(shù)）． （1）求； （2）我們知道二項式的展開式．若該等式兩邊對x求導得：=,令x=1，可得=．利用此方法解答以下問題： ①求； ②求． 【答案】（1）；（2）①；② 【解析】 試題分析：（1）利用賦值法，令即可；（2）①由題目給出的條件可知，需要對已知的式子進行兩邊求導，再利用賦值法令即可；②因為本題中出現(xiàn)了平方，所以需要兩邊先同時乘以x,再求導賦值即可． 試題解析：（1）即為的各項系數(shù)的絕對值之和且絕對值之和為正數(shù)，令x=-1,則=； （2）對等式兩邊求導得： ．令x=1得=2n．]

30、 （3） 將兩邊同乘x得 ，兩邊再對x求導： ，令x=1得= 13．設(shè)． （1）若數(shù)列的各項均為1，求證：； （2）若對任意大于等于2的正整數(shù)，都有恒成立，試證明數(shù)列是等差數(shù)列． 【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析． 【解析】 試題分析：（1）由二項式定理得，令，即可得，所以得證； （2）使用數(shù)學歸納法即可證明． 試題解析：（1）因數(shù)列滿足各項為1，即， 由，令， 則，即． （2）當時，，即，所以數(shù)列的前3項成等差數(shù)列． 假設(shè)當時，由，可得數(shù)列的前項成等差數(shù)列， 因?qū)θ我獯笥诘扔?的正整數(shù)，都有恒成立，所以成立， 所以， 兩式相減得， ， 因，

31、 所以， 即， 由假設(shè)可知也成等差數(shù)列，從而數(shù)列的前項成等差數(shù)列． 綜上所述，若對任意恒成立，則數(shù)列是等差數(shù)列． 14．已知． ⑴求及； ⑵試比較與的大小，并說明理由． 【答案】（1），；（2）當時，；當或時，；當時，． 【解析】 試題分析：（1）本題是二項式定理的應(yīng)用，求二項展開式中的系數(shù)，一般用賦值法，本題中令可得，令可得；（2）由（1）知題意就是要比較與的大小，它們都是增函數(shù)，但從增速上看，當較大時，增速較大，取特殊值觀察結(jié)論，分別取，猜想當時有，可試用數(shù)學歸納法證明. ①由上述過程可知，當時，結(jié)論成立． ②假設(shè)當時結(jié)論成立，即， 兩邊同乘以，得， 而

32、， 所以， 即時結(jié)論也成立． 由①②可知，當時，成立． 綜上所述，當時，；當或時，； 當時，． 15．設(shè)且對于二項式 （1）當時，分別將該二項式表示為的形式； （2）求證：存在使得等式與同時成立． 【答案】（1），； （2）見解析． 【解析】 試題分析：（1）由二項式定理展開整理即可；（2）分為奇偶數(shù)討論，用待定系數(shù)法求之． 試題解析：（1）當n=3時，， ． 2分 當n=4時，， ． （2）證明：由二項式定理得， 若為奇數(shù)，則 ， 分析各項指數(shù)的奇偶性易知，可將上式表示為 的形式，其中， 也即，其

33、中，，， 若為偶數(shù)，則 類似地，可將上式表示為的形式，其中， 也即，其中，，． 所以存在，使得等式． 同理可得可表示為， 從而有， 綜上可知結(jié)論成立． 16．已知展開式中各項的二項式系數(shù)和比各項的系數(shù)和大256； （Ⅰ）求展開式中的所有無理項的系數(shù)和； （Ⅱ）求展開式中系數(shù)最大的項． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 試題分析：首先由已知得到，寫出二項展開式的通項公式（Ⅰ）由通項公式易知當時，為無理項，故無理項的系數(shù)和為 （Ⅱ）考慮展開式的奇數(shù)，

34、可知當時，系數(shù)最大 試題解析：由題意展開式中各項的二項式系數(shù)和為，令可得到各項的系數(shù)和為，則由條件得，則 ，則的第項為 （1）由通項公式易知當時，為無理項 故無理項的系數(shù)和為 （2）當時，系數(shù)為；當時，系數(shù)為 當時，系數(shù)最大，故系數(shù)最大的項為 17．在數(shù)學上，常用符號來表示算式，如記=，其中，. （1）若，，，…，成等差數(shù)列，且，求證：； （2）若，，記，且不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍. 【答案】（1）詳見解析（2） 【解析】 試題分析：（1）利用，將和項轉(zhuǎn)化為符合二項式展開定理條件，本題也可利用倒序相加法求和（2）本題

35、關(guān)鍵在于求和及，對于，可利用賦值法求偶數(shù)項的系數(shù)和得到；對于，則需構(gòu)造符合二項式展開定理條件，進行求和，最后根據(jù)恒成立，利用變量分離法，求最值得參數(shù)取值范圍. 試題解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的通項公式為，其中為公差 則 因為 所以 所以=. 注：第（1）問也可以用倒序相加法證明. （2）令，則 令，則， 所以 根據(jù)已知條件可知， ， 所以 將、代入不等式得， 當為偶數(shù)時，，所以； 當為奇數(shù)，，

36、所以； 綜上所述，所以實數(shù)的取值范圍是. 18．已知數(shù)列通項公式為，其中為常數(shù)，且，．等式，其中為實常數(shù)． （1）若，求的值； （2）若，且，求實數(shù)的值． 【答案】（1）6143；（2）2； 【解析】 試題分析：（1）由二項式定理求出的通項，再利用分組求和法、二項式系數(shù)的性質(zhì)、倒序相加法求和；（2）對所給等式的左邊先分組，而后利用二項式定理求和而將方程進行化簡，再利用方程所對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性以及估算求解方程； 試題解析：（1） 比較可知； 而時, 所以， 設(shè)， 也可以寫成，

37、相加得即，所以． （2）當時，，結(jié)合（1）中結(jié)論可知 ② =，即 ③， 因為②為關(guān)于的遞增的式子，所以關(guān)于的方程最多只有一解，而觀察③可知，有一解，綜上可知：． 19．已知數(shù)列通項公式為，其中為常數(shù)，且，．等式，其中為實常數(shù)． （1）若，求的值； （2）若，且，求實數(shù)的值． 【答案】（1）6143；（2） 【解析】 試題分析：（1）由二項式定理易知 比較可知而此時所以設(shè) ，利用倒序相加法可得所以 （2）當時，，結(jié)合（2）中結(jié)論可知② =，因為②為關(guān)于的遞增的式子，所以關(guān)于的方程最多只有一解，而觀察③可知，有一解，綜上可知：． 試題解析：（1） 比較可知；

38、 而時, 所以， 設(shè)，也可以寫成 ，相加得即，所以． 20．已知（其中） （1）求及； （2）試比較與的大小，并說明理由． 【答案】（1），（2）當時，； 當時，；當時， ---7分 【解析】 試題分析：（1）賦值法求二項展開式的項的系數(shù)：令，則，令， 則，∴；（2）要比較與的大小，即比較：與的 大小，這需先歸納：當時，；當時，； 當時，；再猜想當時，，最后用數(shù)學歸納法證明，關(guān)鍵將時的式子與情形建立關(guān)系： 試題解析：解：（Ⅰ）令，則，令， 則，∴

39、； （Ⅱ）要比較與的大小，即比較：與的大小，---1分 當時，；當時，； 當時，； 猜想：當時，，下面用數(shù)學歸納法證明： 由上述過程可知， 時結(jié)論成立， 假設(shè)當時結(jié)論成立，即， 兩邊同乘以3 得： 而 ∴ 即時結(jié)論也成立， ∴當時，成立. 綜上得，當時，； 當時，；當時， 【一年原創(chuàng)真預(yù)測】 1. 已知的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列． （1）求的值； （2）求展開式中系數(shù)最大的項． 【答案】（1）8；（2）， 【解析】 試題分析：（1）利用二項展開式的通項公式求出展開式前三項的系數(shù)，列出方程求出；（2）設(shè)出系數(shù)最大的項，根據(jù)最大的系數(shù)大

40、于等于它前一項的系數(shù)同時大于等于它后一項的系數(shù)，列出不等式組求出，進而求出系數(shù)最大的項． 【入選理由】本題考查二項式定理等基礎(chǔ)知識，意在考查基本運算能力，二項展開式的通項公式的運用是高考考查的重點內(nèi)容，一般用以求展開式中的特定項，以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，本題系數(shù)字母的值，立意新穎，考查全面，故押此題. 2. 已知數(shù)列為，表示，． ⑴若數(shù)列為等比數(shù)列，求； ⑵若數(shù)列為等差數(shù)列，求. 【答案】（1）， （2）. 試題解析：⑴，所以； ⑵，， 因為， 兩邊同乘以，則有， 兩邊求導，左邊， 右邊， 即（*）， 對（*）式兩邊再求導，得 取，則有 所以. 【入選理由】本題考查二項式定理，數(shù)列中的等差數(shù)列和導數(shù)等基礎(chǔ)知識，意在考查分析問題、解決問題的能力、基本運算能力及推理能力，本題是由一道高考題演化而來，它與數(shù)列、函數(shù)交匯命題，立意新穎、考查全面，綜合性較強,難度中等，符合高考的方向，故押此題. - 32 -