2017小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)精講 第一講 速算與巧算

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1、 第1講 速算與巧算 在進行加減運算時，為了又快又準確，除了要熟練地掌握計算法則外，還需要掌握一些巧算方法。加減法的巧算主要是“湊整”，就是將算式中的數(shù)分成若干組，使每組的運算結(jié)構(gòu)都是整十、整百、整千……的數(shù)，再將各組的結(jié)果求和。這種“化零為整”的思想是加減法巧算的基礎(chǔ)。 一、先講加法的巧算，加法具有以下兩個運算律： 加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變。即： a+b=b+a 其中，a,b各表示任意數(shù)字。例如，5+6=6+5 一般地，多個數(shù)相加，任意改變相加的順序，其和不變。例如， a+b+c+d=d+b+c+a=… 其中，a,

2、b,c,d各表示任意一數(shù)。 加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再加上第三個數(shù)，或者，先把后兩個數(shù)相加，再與第一個數(shù)相加，它們的和不變。即： a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c) 其中，a,b,c,各表示任意一數(shù)。例如： 4+9+7=（4+9）+7=4+（9+7） 一般地，多個數(shù)相加，可先對其中幾個數(shù)相加，再與其他數(shù)相加。把加法交換律和加法結(jié)合律綜合起來運用，就得到加法的一些巧算方法。 1、湊整法。 先把加在一起為整十、整百、整千……的加數(shù)加起來，然后再與其他的數(shù)相加。 例1：計算（1）23+54+18+47+82 （2） 1350+49+

3、68+51+32+1650 2、借數(shù)湊整法 有些題目直觀上湊數(shù)不明顯，這時可“借數(shù)”湊整。例如，計算976+85，可在85中借出24， 即把85拆分成24+61，這樣就可以先用976加上24，“湊”成1000，然后再加61。 例2：計算（1）57+64+238+46 （2）4993+3996+5997+848 二、減法和加減法混合運算的巧算。 加、減法有如下一些重要性質(zhì)： 1、在連減或加、減混合運算中，如果算式中沒有括號，那么計算時可以帶著運算符號“搬家”。例如： a-b-c=a-c-b,a-b+c=a+c-b 2、在加、減法混合運算中，去

4、 括號時，如果括號前面是“+”號，那么去掉括號后，括號內(nèi)的數(shù)的運算符號不變，如果括號前面是“-”號，那么去掉括號后，括號內(nèi)的數(shù)的運算符號“+”變?yōu)椤?”，“-”變?yōu)椤?”。例如： a+(b-c)=a+b-c a-(b+c)=a-b-c a-(b-c)=a-b+c 3、在加、減法混合運算中，添括號時，如果添加的括號前面是“+”號，那么括號內(nèi)的數(shù)原來的運算符號不變，如果添加的括號前面是“-”號，那么括號內(nèi)的數(shù)的原來的運算符號“+”變?yōu)椤?”，“-”變?yōu)椤?”。例如： a+b-c=a+（b-c） a-b+c=a-（b+c） a-b-c=a-（b+c） 靈活運用這些性質(zhì)，可得減法或加、

5、減混合運算的一些簡便方法。 三、分組湊整法 例3 計算 （1）875-364-236 （2）1847-1928+628-136-64 （3）1348-234-76+2234-48-24 例4 計算（1）512-382 （2）6854-876-97 （3）397-146+288-339 四、加法中的巧算 　　 1.什么叫“補數(shù)”？ 　　 兩個數(shù)相加，若能恰好湊成整十、整百、整千、整萬…，就把其中的一個數(shù)叫做另一個數(shù)的“補數(shù)”。 　　如：1+9=10，3+7=10，　　2+8=10，

6、4+6=10，　　5+5=10。 　　又如：11+89=100，33＋67=100，　　22+78=100，44+56=100，　　55+45=100， 　　在上面算式中，1叫9的“補數(shù)”；89叫11的“補數(shù)”，11也叫89的“補數(shù)”.也就是說兩個數(shù)互為“補數(shù)”。 　　對于一個較大的數(shù)，如何能很快地算出它的“補數(shù)”來呢？一般來說，可以這樣“湊”數(shù)：從最高位湊起，使各位數(shù)字相加得9，到最后個位數(shù)字相加得10。 　　如： 87655→12345， 46802→53198，　　87362→12638，… 　　下面講利用“補數(shù)”巧算加法，通常稱為“湊整法”。 　　 2.互補數(shù)先加。

7、 例1 巧算下面各題： ①36+87+64 ②99+136＋101 　?、?1361＋972＋639＋28 　　解：①式=（36＋64）＋87 　　 =100＋87=187 　　 ②式=（99＋101）＋136 　　 =200+136=336 　　 ③式=（1361＋639）＋（972＋28） 　　 =2000+1000=3000 　　3.拆出補數(shù)來先加。 例2 ①188＋873 ②548＋996 ③9898＋203 　　解：①式=（188+12）+（873-12）（熟練之后，此步可略） 　?。?00+8

8、61=1061 　?、谑?（548-4）＋（996＋4） 　　=544+1000=1544 　?、凼?（9898＋102）＋（203-102） 　　=10000+101=10101 　　4.豎式運算中互補數(shù)先加。 　　如：　 五、減法中的巧算 　　1.把幾個互為“補數(shù)”的減數(shù)先加起來，再從被減數(shù)中減去。 　　例 3 ① 300-73-27 　　 ② 1000-90-80-20-10 　　解：①式= 300-（73＋ 27） 　　 = 300-100=200 　 ?、谑?1000-（90＋80＋20＋10） 　　 =1000-

9、200=800 　　2.先減去那些與被減數(shù)有相同尾數(shù)的減數(shù)。 　　例4① 4723-（723＋189） 　　 ② 2356-159-256 　　解：①式=4723-723-189 　　 =4000-189=3811 　　 ②式=2356-256-159 　　 =2100-159 　 　=1941 　　3.利用“補數(shù)”把接近整十、整百、整千…的數(shù)先變整，再運算（注意把多加的數(shù)再減去，把多減的數(shù)再加上）。 　　例 5 ①506-397 　　 ②323-189 　　 ③467＋997 　　 ④987

10、-178-222-390 　　解：①式=500＋6-400+3（把多減的 3再加上） 　　 =109 　?、谑?323-200+11（把多減的11再加上） 　　 =123+11＝134 　?、凼?467＋1000-3（把多加的3再減去） 　　 ＝1464 　?、苁?987-（178＋222）-390 　　 ＝987-400-400+10=197 六、加減混合式的巧算 　　1.去括號和添括號的法則 　　 在只有加減運算的算式里，如果括號前面是“＋”號，則不論去掉括號或添上括號，括號里面的運算符號都不變；如果括號前面是“-”號，則不論

11、去掉括號或添上括號，括號里面的運算符號都要改變，“+”變“-”，“-”變“+”，即： 　　a＋（b＋c＋d）＝a＋b＋c＋d 　　a -（b＋a＋d）＝a-b-c-d 　　a -（b-c）＝a-b+c 例6 ①100＋（10＋20＋30） 　?、?100-（10＋20+3O） 　?、?100-（30-10） 　　解：①式=100＋10＋20＋30 　　=160 　?、谑?100-10-20-30 　　=40 　　③式=100-30＋10 　?。?0 例7 計算下面各題： 　?、?100＋10＋20＋30 　?、?100-10-20-30 　?、?100-30＋1

12、0 　　解：①式=100＋（10+20+30） 　　=100＋60=160 　?、谑?100-（10＋20+30） 　　＝100-60=40 　?、凼?100-（30-10） 　　=100-20=80 　　2.帶符號“搬家” 例8 計算 325＋46-125＋54 　　解：原式=325-125＋46+54 　　＝（325-125）+（46＋54） 　　=200+100＝300 　　注意：每個數(shù)前面的運算符號是這個數(shù)的符號.如+46，-125，+54.而325前面雖然沒有符號，應(yīng)看作是+325。 　　3.兩個數(shù)相同而符號相反的數(shù)可以直接“抵消”掉 例9 計算9+2-9

13、＋3 　　解：原式=9-9＋2+3=5 　　4.找“基準數(shù)”法 　　幾個比較接近于某一整數(shù)的數(shù)相加時，選這個整數(shù)為“基準數(shù)”。 例10 計算 78+76＋83＋82+77＋80＋79＋85 　?。?40 　七、乘法中的巧算 　　 1.兩數(shù)的乘積是整十、整百、整千的，要先乘.為此，要牢記下面這三個特殊的等式： 　　 5×2=10 　　25×4=100 　　125×8=1000 例1 計算①123×4×25 　?、?125×2×8×25×5×4 　　解：①式=123×（4×25） 　　=123×100＝12300 　?、谑?（125×8）×（25×4

14、）×（5×2） 　　=1000×100×10=1000000 　　 2.分解因數(shù)，湊整先乘。 　　例 2計算① 24×25 　　② 56×125 　?、?125×5×32×5 　　解：①式=6×（4×25） 　　=6×100=600 　　②式=7×8×125=7×（8×125） 　　=7×1000=7000 　?、凼?125×5×4×8×5=（125×8）×（5×5×4） =1000×100=100000 　　3.應(yīng)用乘法分配律。 　　 例3 計算① 175×34＋175×66 　?、?7×12+67×35＋67×52+6 　　解：①式=175×（34

15、+66） 　　=175×100=17500 　?、谑?67×（12＋35＋52＋1） 　　＝ 67×100＝6700 　?。ㄔ街凶詈笠豁?7可看成 67×1） 　　例4 計算① 123×101 ② 123×99 　　解：①式=123×（100＋1）=123×100＋123 　　＝12300＋123=12423 　?、谑?123×（100-1） =12300-123=12177 　　4.幾種特殊因數(shù)的巧算。 例5 一個數(shù)×10，數(shù)后添0； 　　 一個數(shù)×100，數(shù)后添00； 　　 一個數(shù)×1000，數(shù)后添000； 　　以此類推。 　　如：15×

16、10=150 　　 15×100=1500 　　 15×1000＝15000 例6 一個數(shù)×9，數(shù)后添0，再減此數(shù)； 　　 一個數(shù)×99，數(shù)后添00，再減此數(shù)； 　　 一個數(shù)×999，數(shù)后添000，再減此數(shù)； … 　　以此類推。 　　如：12×9＝120-12＝108 　　12×99＝1200－12＝1188 　　12×999＝12000-12=11988 例7 一個偶數(shù)乘以5，可以除以2添上0。 　　如：6×5＝30 　　16×5＝80 　　116×5=580。 例8 一個數(shù)乘以11，“兩頭一拉，中間相加”。 　　如 2222×11＝24

17、442 例9 一個偶數(shù)乘以15，“加半添0”. 　　24×15 　?。剑?4+12）×10 　　＝360 　　因為 　　24×15 　?。?24×（10+5） 　?。?4×（10＋10÷2） 　　=24×10+24×10÷2（乘法分配律） 　?。?4×10+24÷2×10（帶符號搬家） 　?。剑?4+24÷2）×10（乘法分配律） 例10 個位為5的兩位數(shù)的自乘：十位數(shù)字×（十位數(shù)字加1）×100+25 　　如15×15=1×（1+1）×100+25=225 　　25×25=2×（2+1）×100+25=625 　　35×35=3×（3+1）×10

18、0+25=1225 　　45×45=4×（4+1）×100+25=2025 　　55×55=5×（5+1）×100+25=3025 　　65×65＝6×（6+1）×100+25=4225 　　75×75=7×（7+1）×100+25＝5625 　　85×85=8×（8+1）×100+25=7225 　　95×95＝9×（9+1）×100＋25＝9025 　　還有一些其他特殊因數(shù)相乘的簡便算法，有興趣的同學(xué)可參看《算得快》一書。 　　八、除法及乘除混合運算中的巧算 　　 1.在除法中，利用商不變的性質(zhì)巧算 　　商不變的性質(zhì)是：被除數(shù)和除數(shù)同時乘以或除以相同的數(shù)（零除外）

19、，商不變.利用這個性質(zhì)巧算，使除數(shù)變?yōu)檎?、整百、整千的?shù)，再除。 例11 計算①110÷5②3300÷25 　?、?44000÷125 　　解：①110÷5=（110×2）÷（5×2） 　?。?20÷10=22 　?、?300÷25＝（3300×4）÷（25×4） 　?。?3200÷100＝132 　?、?44000÷125=（44000×8）÷（125×8） 　?。?52000÷1000＝352 　　2.在乘除混合運算中，乘數(shù)和除數(shù)都可以帶符號“搬家”。 例12 864×27÷54 　　＝864÷54×27 　　=16×27 　　=432 　　 3.當

20、n個數(shù)都除以同一個數(shù)后再加減時，可以將它們先加減之后再除以這個數(shù)。 　　 例13① 13÷9＋5÷9 ②21÷5-6÷5 　?、?090÷24-482÷24 　?、?87÷12-63÷12-52÷12 　　解：①13÷9+5÷9=（13＋5）÷9 　　=18÷9＝2 　?、?1÷5-6÷5＝（21-6）÷5 　?。?5÷5=3 　?、?090÷24-482÷24＝（2090-482）÷24 　?。?608÷24＝67 　?、?87÷12-63÷12-52÷12 　?。剑?87-63-52）÷12 ＝72÷12=6 4.在乘除混合運算中“去括號”或添“括號”的方法

21、： 如果“括號”前面是乘號，去掉“括號”后，原“括號”內(nèi)的符號不變；如果“括號”前面是除號，去掉“括號”后，原“括號”內(nèi)的乘號變成除號，原除號就要變成乘號，添括號的方法與去括號類似。 　　即a×（b÷c）=a×b÷c 從左往右看是去括號， 　　a÷（b×c）＝a÷b÷c 從右往左看是添括號。 　　a÷（b÷c）＝a÷b×c 例14 ①1320×500÷250 　　②4000÷125÷8 　?、?600÷（28÷6） 　　④372÷162×54 　?、?997×729÷（81×81） 　　解：① 1320×500÷250＝1320×（500÷250） 　　=1320×2

22、＝2640 　?、?000÷125÷8＝4000÷（125×8） 　　＝4000÷1000＝4 　?、?600÷（28÷6）=5600÷28×6 　　=200×6=1200 　　④372÷162×54=372÷（162÷54） 　?。?72÷3＝124 　?、?997×729÷（81×81）＝2997×729÷81÷81 　?。剑?997÷81）×（729÷81）＝37×9 ＝333 要求：1.掌握用“湊整”的方法進行簡單的計算 2.根據(jù)減法的性質(zhì)，簡化運算。 1. 幾個數(shù)相加，利用移位湊整的方法，將加數(shù)中能湊成整十，整百，整千等的數(shù)交換順序

23、，先進行湊整，然后再與其他一些加數(shù)相加，得出結(jié)果。 2. 在加減混合算式與連減算式中，將減數(shù)先結(jié)合起來，集中一次相減，可簡化運算。 3. 幾個相近的數(shù)相加，可以選擇其中一個數(shù)，最好是整十，整百等的數(shù)為“基準數(shù)”。再把大于基準數(shù)的數(shù)寫成基準數(shù)與一個數(shù)的和，小于基準數(shù)的數(shù)寫成基準數(shù)與一個數(shù)的差，將加法改為乘法計算。 4. 幾個數(shù)相加減時，如果不能直接“湊整”，就可以利用加整減零，減整加零或變更被減數(shù)。） 例題1 計算 （1）3326+303 （2）574+498 方法一：先看做整十，整百，整千的數(shù)進行計算。 （1）3326+303

24、 （2）574+498 =3326+300+3 =574+500-2 =3626+3 =1074-2 =3629 =1072 方法二：根據(jù)“和”的變化規(guī)律：一個加數(shù)增加多少，另一個加數(shù)就減少多少，那么和不變，來進行簡算。 （1）3326+303 （2）574+498 =（3326+3）+（303-3 ） =（574-2）+（498+2） =3329+300

25、 =572+500 =3629 =1072 特別注意：在計算時，將接近整十，整百，整千的數(shù)看成整十，整百，整千的數(shù)進行計算，然后根據(jù)和不變的規(guī)律，多加的要減掉，少加的要補上。 例題2 計算 487+321+113+479 方法：487和113，321和479分別可以湊成整百數(shù)。我們可以通過交換位置的方法，487+113得600，321+479得800. 487+321+113+479 =（487+113）+（321+479） =

26、600+800=1400 特別注意：這道題要運用湊整的思路，將487和113，321和479分別湊成整百數(shù)，便于計算。注意：先算的要加括號。 例題3 計算 9998+998+98+8 方法：本題可采用湊整的方法，將9998，998，98分別湊成10000，1000，100.而湊成這些數(shù)可從8里面借用。 9998+998+98+8 =（9998+2）+（998+2）+（98+2）+2 = __________________________(接下來你們來試一下) =———————————— 特別注意: 對于接近整百，整千的

27、數(shù)，應(yīng)先將其湊成整數(shù)，然后再將多加的數(shù)從后面去掉。 例題4計算 674+367-174 方法：根據(jù)帶符號“搬家”的規(guī)則，把能湊整的數(shù)先進行計算。 674+367-174 =674-174+367 =500+367 =867 特別注意：為了湊數(shù)，有時需要帶符號“搬家”，這樣會使計算簡便。 #待定 例題5計算 874-（379+274）+579 方法：在做這道題時，可以先將874-（379+274）改寫成連減的形式，即874-379-274。然后根據(jù)帶符號“搬家”的規(guī)則，先算能湊整的數(shù)。 874-（379+274）+579 =

28、 （改成連減的形式） = （帶符號“搬家”，先算能湊整的數(shù)） = 特別注意：通常情況下，根據(jù)減法的性質(zhì)，可以把減去兩個數(shù)的和改寫成連減的形式，再把能湊整的數(shù)先進行計算。 速算與巧算 小結(jié) 知識點 重點 難點 1. 加法的簡便運算. (1) A+B=B+A; (2) (A+B)+C=A+(B+C); 2. 減法的簡便運算. (1)A-B-C=A-(B+C); (2)A-B+C=A-(B-C). 加減法同級運算，括號外面是減號的，添上或去掉括號，括號里的符號：加號要變成減號、減號要變成加號。當所有括

29、號都去掉后，可以將數(shù)與前面的符號一起移動，第一個數(shù)前面為加號。 3. 乘法的簡便運算。 （1） A×B=B×A; （2） A×B×C=A×B×C; （3） (A±B)×C=A×C±B×C; 4. 除法的簡便運算. (1) A÷B÷C=A÷(B×C); (2) A÷B×C=A÷(B÷C); (3) A÷B=(A×C)÷(B×C) 乘除法同級運算，括號外面是除號的，添上或去掉括號，括號里的符號：乘號要變成除號、除號要變成乘號。當所有括號都去掉后,可以將數(shù)與前面的符號一起移動，第一個數(shù)前面為乘號。 例題精講 例1 25+53+75+78+47=? 例

30、2 91+90+88+92+93+84+85+95+97=? 例3 9999+4+97+998+95+7=? 例4 1200-856-144=? 例5 7869-(234+869)=? 例6 1943-(132-57)=? 例7 459+78-259+22=? 例8 936+(296-636)-596=? 例9 3333330000-5769=? 例10 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11-12+13-14+15=? 例11 (125

31、×78)×8=? 例12 (125+78)×8=? 例13 250×64×125×9=? 例14 950÷25=? 例15 8442÷(21×67)=? 例16 7600÷(38÷25)=? 例17 291÷50+9÷50=? 例18 999×222+333×334=? 例19 765×963963-765765×963=? 例20 2239+239×999=? 例21 760÷(38÷125)×80=?

32、 例22 (2001+2000×2002)÷(2001×2002-1)=? 例23 (1234+2341+3421+4123)÷5=? 例題精講（答案） 例1 25+53+75+78+47=? 解 原式=(25+75)+(53+47)+78=100+100+78=278 例2 91+90+88+92+93+84+85+95+97=? 解 原式=90×9+(1+0-2+2+3-6-5+5+7)=810+5=815 例3 9999+4+97+998+95+7=? 解 原式=(9999+1)+(97+3

33、)+(998+2)+(95+5)=10000+100+1000+100=11200 例4 1200-856-144=? 解 原式=1200-(856+144)=1200-1000=200 例5 7869-(234+869)=? 解 原式=7869-234-869=7869-869-234=7000-234=6766 例6 1943-(132-57)=? 解 原式=1943-132+57=1943+57-132=2000-132=1868 例7 459+78-259+22=? 解 原式=(459-2590)+(78+22)=200+100=300 例

34、8 936+(296-636)-596=? 解 原式=936+296-636-596=936-636-596+296=(936-636)-(596-296)=300-300=0 例9 3333330000-5769=? 解 原式=3333300000+(30000-5769)=3333300000+24231=3333324231 例10 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11-12+13-14+15=? 解 原式=1+(3-2)+(5-4)+(7-6)+(9-8)+(11-10)+(13-12)+(15-14)=8 例11 (125×78)×8=?

35、解 原式=125×78×8=125×8×78=1000×78=78000 例12 (125+78)×8=? 解 原式=125×8+78×8=1000+624=1624 例13 250×64×125×9=? 解 原式=(250×4)×(125×8)×(9×2)=1000×1000×18=18000000 例14 950÷25=? 解 原式=(950×4)÷(25×4)=3800÷100=38 例15 8442÷(21×67)=? 解 原式=8442÷21÷67=402÷67=6 例16 7600÷(38÷25)=? 解 原式=7600÷38×25

36、=200×25=5000 例17 291÷50+9÷50=? 解 原式=(291+9)÷50=300÷50=6 例18 999×222+333×334=? 解 原式=333×3×222+333×334=333×666+333×334=333×(666+334)=333×1000=333000 例19 765×963963-765765×963=? 解 原式=765×963×1001-765×1001×963=0 例20 2239+239×999=? 解 原式=2000+239+239×999=2000+239×(1+999)=2000+239000=24

37、1000 例21 760÷(38÷125)×80=? 解 原式=760÷38×125×80=(760÷38)×(125×80)=20×10000=200000 例22 (2001+2000×2002)÷(2001×2002-1)=? 解 原式=[2001+2000×(2001+1)]÷(2001×2002-1) =(2001+2000×2001+2000)÷(2001×2002-1) =(2001×2001+2000)÷(2001×2002-1) =(2001×2001+2001-1)÷(2001×2002-1) =(2001×2002-1)÷(2001×2002-1) =1 例23 (1234+2341+3421+4123)÷5=? 解 原式=1111×(1+2+3+4)÷5=1111×10÷5=2222