【備戰(zhàn)2020】高考數(shù)學(xué)全套知識點

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1、 高考數(shù)學(xué)全套知識點 1. 對于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“確定性、互異性、無序性” 。 如:集合 A x|y lg x , B y| y lg x , C (x, y)|y lg x , A 、 B、 C 中 元 素 各表示什么? 2. 進行集合的交、并、補運算時,不要忘記集合本身和空集 的特殊情況。 注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 如:集合 A x|x2 2x 3 0 , B x|ax 1 若

2、B A ,則實數(shù) a的值構(gòu)成的集合為 (答: , , 1 ) 1 0 3 3. 注意下列性質(zhì): ( 1)集合 a1 , a2 , , an 的所有子集的個數(shù)是 2 n ; ( 3)德摩根定律: CU A B CUA CUB ,CU A B CUA CUB 4. 你會用補集思想解決問題嗎?(排除法、間接法) 的取值范圍。 5. 可以判斷真假的語句叫做命題,邏輯連接詞有“或”

3、( ),“且” ( ) 和 “非” ( ). 若p q為真,當(dāng)且僅當(dāng) p、 q均為真 若p q為真,當(dāng)且僅當(dāng) p、 q至少有一個為真 若 p為真,當(dāng)且僅當(dāng) p為假 6. 命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么? (互為逆否關(guān)系的命題是等價命題。 ) 原命題與逆否命題同真、同假;逆命題與否命題同真同假。 7. 對映射的概念了解嗎?映射 f: A →B ,是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中與之對 應(yīng)元素的唯一性,哪幾種對應(yīng)能構(gòu)成映射? (一對一,多對一,允許 B 中有元素?zé)o原象

4、 ) 8. 函數(shù)的三要素是什么?如何比較兩個函數(shù)是否相同?(定義域、對應(yīng)法則、值域) 9. 求函數(shù)的定義域有哪些常見類型? 10. 如何求復(fù)合函數(shù)的定義域? 如:函數(shù) f (x)的定義域是 a, b , b a 0,則函數(shù) F(x ) f (x) f ( x)的定 義 域 是 _。 (答: a, a ) 11. 求一個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時,注明函數(shù)的定義域了嗎?

5、 12. 反函數(shù)存在的條件是什么? (一一對應(yīng)函數(shù)) 求反函數(shù)的步驟掌握了嗎? (①反解 x;②互換 x、y;③注明定義域) 1 x x 0 如:求函數(shù) f ( x) 2 x 的反函數(shù) x 0 (答: f 1 x 1 x 1 x ) ( ) x x 0 13. 反函數(shù)的性質(zhì)有哪些? ①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線 y=x 對稱; ②保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性;

6、 14. 如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性?(取值、作差、判正負(fù)) 如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性? ∴ ) 15. 如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性? 在區(qū)間 a, b 內(nèi),若總有 f '( x) 0則f ( x) 為增函數(shù)。(在個別點上導(dǎo)數(shù)等于 零,不影響函數(shù)的單調(diào)性),反之也對,若 f '( x ) 0呢? 值是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 由已知 f ( x) 在[1,

7、 ) 上為增函數(shù),則 a 1,即 a 3 3 ∴ a 的最大值為 3) 16. 函數(shù) f(x)具有奇偶性的必要(非充分)條件是什么?( f(x) 定義域關(guān)于原點對稱) 若f (  x)  f ( x) 總成立  f ( x) 為奇函數(shù)  函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱 若 f (  x)  f ( x )總成立  f ( x) 為偶函數(shù)  函數(shù)圖象關(guān)于  y軸對稱 注意如下結(jié)論: ( 1)在公共定義域內(nèi):

8、 兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù); 兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù); 一個偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。 17. 你熟悉周期函數(shù)的定義嗎? 函數(shù), T 是一個周期。) 如:

9、 18. 你掌握常用的圖象變換了嗎? f ( x) 與f ( x) 的圖象關(guān)于 y軸 對稱 f ( x) 與 f ( x)的圖象關(guān)于 x軸 對稱 f ( x) 與 f ( x) 的圖象關(guān)于 原點 對稱 f ( x) 與 f 1 (x) 的圖象關(guān)于 直線 y x 對稱 f ( x) 與f (2a x)的圖象關(guān)于 直線x a 對稱 f ( x) 與 f (2a x)的圖象關(guān)于 點 (a, 0) 對稱 將 y f ( x) 圖象 左移

10、 a( a 0) 個單位 y f (x a) 右移 a( a 0) 個單位 y f (x a) 上移 b( b 0) 個單位 y f (x a) b 下移 b( b 0) 個單位 y f (x a) b 注意如下“翻折”變換: y y=log 2x O 1 x 19. 你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎?

11、 ( 1)一次函數(shù): y kx b k 0 ( 2)反比例函數(shù): y k k 0 推廣為 y k k 0 是中心 O'( a, b) 的雙曲線。 x b x a (3)二次函數(shù) y ax 2 bx c a 0 b 2 4ac b 2 a x 4a 圖象為拋物線 2a 應(yīng)用:①“三個二次” (二次函數(shù)、二次方程、二次不等式)的關(guān)系——二次方程

12、 ②求閉區(qū)間[ m, n]上的最值。 ③求區(qū)間定(動) ,對稱軸動(定)的最值問題。 ④一元二次方程根的分布問題。 0 如:二次方程  ax2  bx  c  0的兩根都大于  k  b  k 2a f ( k )  0 由圖象記性質(zhì)! (注意底數(shù)的限定! )

13、 ( 6)“對勾函數(shù)” y x k k 0 x 利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么? 20. 你在基本運算上常出現(xiàn)錯誤嗎? log a M log a M log a N, log a n M 1 log a M N n

14、 21. 如何解抽象函數(shù)問題?(賦值法、結(jié)構(gòu)變換法) ( 2) x R,f ( x) 滿足 f (xy ) f (x ) f ( y) ,證明 f ( x )是偶函數(shù)。 22. 掌握求函數(shù)值域的常用方法了嗎? (二次函數(shù)法(配方法) ,反函數(shù)法,換元法,均值定理法,判別式法,利用函數(shù)單調(diào)性法,導(dǎo)數(shù)法等。 ) 如求下列函數(shù)的最值:

15、 23. 你記得弧度的定義嗎?能寫出圓心角為α,半徑為 R 的弧長公式和扇形面積公式 嗎? 24. 熟記三角函數(shù)的定義,單位圓中三角函數(shù)線的定義 又如:求函數(shù) y 1 2 cos x 的定義域和值域。 2 (∵ 1 2 cos x ) 1 2 sinx 0 2 ∴ sin x 2 ,如圖: 2

16、 25. 你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象嗎?并由圖象寫出單調(diào)區(qū)間、對稱點、對稱軸嗎? y sin x的增區(qū)間為 2k , 2k 2 k Z 2 減區(qū)間為 2k , 2k 3 k Z 2 2 圖象的對稱

17、點為 k , 0 ,對稱軸為 x k k Z 2 y cosx的增區(qū)間為 2k , 2k k Z 減區(qū)間為 2k , 2 k 2 k Z 圖象的對稱點為 k , 0 ,對稱軸為 x k k Z 2 y tan x 的增區(qū)間為 k , k k Z 2 2 26. 正弦型函數(shù) y = Asin x + 的圖象和性質(zhì)要熟記。 或y A cos x (1)振幅 |A |,周期 T 2 | |

18、 若 f x 0 A ,則 x x0 為對稱軸。 若f x 0 0,則 x 0 , 0 為對稱點,反之也對。 ( 2 )五點作圖:令 x 依次為 0, , , 3 , 2 ,求出 與 ,依點 ( x,y)作 2 2 x y 圖象。 ( 3)根據(jù)圖象求解析式。(求 A、 、 值)

19、 解條件組求 、 值 正切型函數(shù) y A tan x ,T | | 27. 在三角函數(shù)中求一個角時要注意兩個方面——先求出某一個三角函數(shù)值,再判定角的范圍。 28. 在解含有正、余弦函數(shù)的問題時,你注意(到)運用函數(shù)的有界性了嗎? 29. 熟練掌握三角函數(shù)圖象變換了嗎?(平移變換、伸縮變換) 平移公式: (1)點 P( x, y) a ( h

20、, k ) x' x h P' ( x' , y' ),則 y k 平移至 y' (2)曲線 f (x,y) 0沿向量 a ( h,k )平移后的方程為 f (x h,y k) 0 如:函數(shù) y 2 sin 2x 1 的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到 y sin x 的 圖象? 4 30. 熟練掌握同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式了嗎? “ k· ”化為 的三角函數(shù)——“奇變,偶不變,符號看象限”, “奇”

21、、“偶” 2 指 k 取奇、偶數(shù)。 如: cos 9 tan 7 sin 21 4 6 又如:函數(shù)  y  sin  tan  ,則 y的值為 cos cot A. 正值或負(fù)值  B. 負(fù)值  C. 非負(fù)值  D. 正值 31. 熟練掌握兩角和、差、倍、 降冪公式 及其逆向應(yīng)用了嗎?理解公式之間的聯(lián)系: 應(yīng)用以上公式對三角函數(shù)式化簡。 (

22、化簡要求: 項數(shù)最少、 函數(shù)種類最少, 分母中不含 三角函數(shù),能求值,盡可能求值。 ) 具體方法: (1)角的變換:如 , 2 2 2 ( 2)名的變換:化弦或化切 ( 3)次數(shù)的變換:升、降冪公式 ( 4)形的變換:統(tǒng)一函數(shù)形式,注意運用代數(shù)運算。 如:已知 sin cos 1, tan 2 ,求 tan 2 的值。 1 cos2 3 (由已知得: sin cos cos ,∴ 1 2 sin2 2sin 1 tan 2 tan

23、tan 2 1 1 3 2 ∴ tan2tan · tan 2 1 ) 1 tan 8 1 · 3 2 32. 正、余弦定理的各種表達(dá)形式你還記得嗎?如何實現(xiàn)邊、角轉(zhuǎn)化,而解斜三角形? (應(yīng)用:已知兩邊一夾角求第三邊;已知三邊求角。 ) a b a 2R sin A 正弦定理: c 2R sin B sin A sin B 2Rb sin C 2R sin C c ( 1)求角 C;

24、 (( 1)由已知式得: 1 cos A B 2 cos2 C 1 1 ( 2)由正弦定理及  a2  b2  1 c 2 得: 2 33. 用反三角函數(shù)表示角時要注意角的范圍。 反正弦:

25、arcsin x , , x 1,1 2 2 反余弦: arccosx 0, ,x 1,1 反正切: arctan x , 2 , x R 2 34. 不等式的性質(zhì)有哪些? 答案: C 35. 利用均值不等式: a b 2 a 2 b 2 , ; a b ; 求最值時,你是否注 2ab a b R 2 ab ab 2

26、 意到“ a, b R ”且“等號成立”時的條件,積 ( ab 或和 a b 其中之一為定 值?(一正、 ) ( ) 二定、三相等) 注意如下結(jié)論: 當(dāng)且僅當(dāng) a b時等號成立。 如:若 x 0, 2 3x 4 的最大值為 x 當(dāng)且僅當(dāng) 3x 4 ,又 x 0,∴ x 2 3 時, y max 243) x

27、 3 (∵ 2 x 22 y 2 2 x 2 y 2 21 ,∴最小值為 2 2) 36. 不等式證明的基本方法都掌握了嗎? (比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等) 并注意簡單放縮法的應(yīng)用。 37. 解分式不等式 f (x) a a 0 的一般步驟是什么? g(x) (移項通分,分子分母因式分解, x 的系數(shù)變?yōu)? 1,穿軸法解得結(jié)果。 ) 38. 用“穿

28、軸法”解高次不等式——“奇穿,偶切” ,從最大根的右上方開始 39. 解含有參數(shù)的不等式要注意對字母參數(shù)的討論 40. 對含有兩個絕對值的不等式如何去解? (找零點,分段討論,去掉絕對值符號,最后取各段的并集。) 例如:解不等式 |x 3| x 1 1 1 (解集為 x|x ) 41. 會用不等式 |a| |b| |a b| | a| | b|證明較簡單的不等問題 如:設(shè) f (x ) x2 x 13,實數(shù) a滿足 | x a| 1

29、 證明: (按不等號方向放縮) 42. 不等式恒成立問題,常用的處理方式是什么?(可轉(zhuǎn)化為最值問題,或“△”問題) 如: a f (x )恒成立 a f ( x) 的最小值 a f ( x) 恒成立 a f ( x) 的最大值 a f ( x) 能成立 a f ( x) 的最小值 例如:對于一切實數(shù) x,若 x 3 x 2 a恒成立,則 a的取值范圍是 (設(shè) u x 3 x 2 ,它表示數(shù)軸上到兩

30、定點 2和 3距離之和 43. 等差數(shù)列的定義與性質(zhì) 定義: an 1 a n d ( d為常數(shù) ), a n a1 n 1 d 等差中項: x, A , y成等差數(shù)列 2A x y 前 n項和 Sn a1 an n n n 1 d 2 na1 2 性質(zhì): a n 是等差數(shù)列 ( 2 )數(shù)列 a2 n 1 , a 2 n , ka n b 仍為等差數(shù)列;

31、 ( 3)若三個數(shù)成等差數(shù)列,可設(shè)為 a d, a, a d; ( 4)若 a n , bn 是等差數(shù)列 Sn , Tn 為前 n項和,則 a m S2 m 1 ; b m T2 m 1 ( 5) a n 為等差數(shù)列 S n an2 bn( a, b為常數(shù),是關(guān)于 n的常數(shù)項為 0 的二 次函數(shù)) Sn 的最值可求二次函數(shù) Sn an2 bn的最值;或者求出 an 中的正、負(fù)分界 項,即: 當(dāng)a1 0,d 0,解不等式組 an 0 可得 Sn 達(dá)到最大值時的 n

32、值。 an 1 0 當(dāng) a 1 0 , d ,由 a n 0 可得 Sn 達(dá)到最小值時的 值。 0 0 n a n 1 如:等差數(shù)列 an , Sn 18, an an 1 a n 2 3, S3 1,則 n 44. 等比數(shù)列的定義與性質(zhì) 等比中項: x、G、y成等比數(shù)列 G

33、 2 xy,或 Gxy na1 (q 1) 前 n項和: Sna1 1 q n (要注意 ! ) (q 1) 1 q 性質(zhì): a n 是等比數(shù)列 ( 2) Sn , S2 n Sn , S3 n S2 n 仍為等比數(shù)列 45.由 Sn 求 an 時應(yīng)注意什么? ( n 1時, a1 S1, n 2時, a n Sn Sn 1) 46. 你熟悉求數(shù)列通項公式的常用方法嗎? 例如:( 1)求差(商)法 如: an 滿足 1 a1

34、 12 a2 1n an 2n 5 1 2 2 2 解: n 2 時, 1 a1 1 a2 1 an 1 2n 1 5 2 2 2 2 2n 1 [練習(xí)] 數(shù)列 an 滿足 Sn Sn 1 5 an 1 ,a1 4,求 an 3 (注意到 an 1 Sn 1 Sn 代入得: Sn 1 4 Sn 又 S1

35、 4 ,∴ Sn 是等比數(shù)列, Sn 4 n n 2時, an Sn Sn 1 3· 4 n 1 ( 2)疊乘法 例如:數(shù)列 an 中, a1 3, an 1 n ,求 an an n 1 解: ( 3)等差型遞推公式 由an an 1 f (n) ,a1 a0 ,求 an ,用迭加法 n 2時, a 2  a1  f (2 ) a 3  a2

36、 f (3)  兩邊相加,得: an  an 1  f ( n) [練習(xí)] 數(shù)列 an , a1 1,a n 3n 1 a n 1 n 2 ,求 an ( 4)等比型遞推公式 an  ca n 1  d c、 d為常數(shù),  c  0, c  1, d  0 可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列,設(shè)  an  x  c an

37、 1  x ∴ a n d 是首項為 d , 為公比的等比數(shù)列 1 a1 c c c 1 [練習(xí)] 數(shù)列 an 滿足 a1 9 , 3an 1 a n 4,求 an n 1 (an 8 4 1 ) 3 ( 5)倒數(shù)法 例如: a1 1, an 1 2an ,求 an a n 2

38、 由已知得: 1 an 2 1 1 an 1 2an 2 an 1 為等差數(shù)列, 1 ,公差為 1 an a1 1 2 47. 你熟悉求數(shù)列前 n 項和的常用方法嗎? 例如:( 1)裂項法: 把數(shù)列各項拆成兩項或多項之和, 使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項。 an d  n 1 k 1 ak ak 1 解:

39、 [練習(xí)] 1 1 1 1 1 2 3 1 2 1 2 3n ( 2)錯位相減法: 若 a n 為等差數(shù)列, b n 為等比數(shù)列,求數(shù)列 a n b n (差比數(shù)列)前 n項 和,可由 S n qSn 求 S n ,其中 q為 b n 的公比。 ( 3)倒序相加法:把數(shù)列的各項順序倒寫,再與原來順序的數(shù)列相加。 Sn a1

40、 a2 a n 1 an 相加 Sn a n an 1 a2 a1 [練習(xí)] 2 1 (由 f (x) f 1 x 2 x x2 1 1 x 1 x2 1 2 1 x 2 1 x2 1 x ∴原式 f (1) f (2) f 1 f ( 3) f 1 f (4) f 1 2 3 4

41、 48. 你知道儲蓄、貸款問題嗎?△零存整取儲蓄(單利)本利和計算模型: 若每期存入本金 p 元,每期利率為 r, n 期后,本利和為: △若按復(fù)利,如貸款問題——按揭貸款的每期還款計算模型(按揭貸款——分期等額 歸還本息的借款種類) 若貸款(向銀行借款) p 元,采用分期等額還款方式,從借款日算起,一期(如一年) 后為第一次還款日,如此下去,第 n 次還清。如果每期利率為 r(按復(fù)利),那么每期應(yīng)還 x 元,滿足

42、 p——貸款數(shù), r——利率, n——還款期數(shù) 49. 解排列、組合問題的依據(jù)是:分類相加,分步相乘,有序排列,無序組合。 (mi 為各類辦法中的方法數(shù)) 分步計數(shù)原理: N m1 · m2 mn ( mi 為各步驟中的方法數(shù)) ( 2)排列:從  n 個不同元素中,任取  m( m≤ n)個元素,按照一定的  順序 排成一 列,叫做從  n個不同元素中取出  m個元素的一個排列,所有排列的個數(shù)記為  A mn .

43、 ( 3)組合:從 n 個不同元素中任取 m( m≤ n)個元素并組成一組,叫做從 n 個不 規(guī)定: C 0n 1 ( 4)組合數(shù)性質(zhì): 50. 解排列與組合問題的規(guī)律是: 相鄰問題捆綁法;相間隔問題插空法;定位問題優(yōu)先法;多元問題分類法;至多至少 問題間接法;相同元素分組可采用隔板法,數(shù)量不大時可以逐一排出結(jié)果。 如:學(xué)號為 1, 2, 3, 4 的四名學(xué)生的考試成績

44、則這四位同學(xué)考試成績的所有可能情況是( ) A. 24 B. 15 C. 12 D. 10 解析:可分成兩類: (1)中間兩個分?jǐn)?shù)不相等, ( 2)中間兩個分?jǐn)?shù)相等 相同兩數(shù)分別取 90, 91,92,對應(yīng)的排列可以數(shù)出來,分別有 3, 4, 3 種,∴有 10 種。 ∴共有 5+ 10=15(種)情況 51. 二項式定理 C nr 為二項式系數(shù)(區(qū)別于該項的系數(shù)) 性質(zhì): ( 1)對稱性:

45、Cnr Cnn r r 0, 1, 2, , n ( 2)系數(shù)和: Cn0 C1n C nn 2n ( 3)最值: n 為偶數(shù)時, n+ 1 為奇數(shù),中間一項的二項式系數(shù)最大且為第 n n 1 項,二項式系數(shù)為 Cn2 ;n為奇數(shù)時, (n 1) 為偶數(shù),中間兩項的二項式 2 n 1 n 1 系數(shù)最大即第 n 1 項及第 n 1 1項,其二項式系數(shù)為 C n2 C n 2 2 2 如:在二項式 11 (用數(shù)字 表示) x 1 的展開式中,系數(shù)最小的項系數(shù)為

46、 ∴共有 12項,中間兩項系數(shù)的絕對值最大,且為第 12 或第 7項 6 2 由C11rx11 r ( 1)r ,∴取 r 5即第 6項系數(shù)為負(fù)值為最小: 又如: 1 2004 a0 a1 x a2 x2 a 2004 x 2004 x R ,則 2 x a0 a1a0 a2 a0 a3 a0 a2004 令 x 1,得: a0 a2a2004 1 ∴原式 2003a0 a0 a1 a2004 2003 1 1 2004

47、) 52. 你對隨機事件之間的關(guān)系熟悉嗎? (1)必然事件 ,P ) 1,不可能事件 , P( ) 0 (2 )包含關(guān)系: A B ,“ A 發(fā)生必導(dǎo)致 B發(fā)生”稱 B包含 A。 A B ( 3)事件的和(并): A B或 A B“ A與 B至少有一個發(fā)生”叫做 A與 B 的 和(并)。 ( 4 )事件的積(交): A ·B 或A B“ A與 B同時發(fā)生”叫做 A 與 B的積。 ( 5)互斥事件(互不

48、相容事件) :“ A 與 B 不能同時發(fā)生”叫做 A 、 B 互斥。 ( 6)對立事件(互逆事件) : “A 不發(fā)生”叫做 A 發(fā)生的對立(逆)事件, A A A , A A ( 7)獨立事件: A 發(fā)生與否對 B 發(fā)生的概率沒有影響,這樣的兩個事件叫做相互獨立事件。 A 與B獨立, A與 B,A與B,A與 B也相互獨立。 53. 對某一事件概率的求法: 分清所求的是: ( 1)等可能事件的概

49、率(常采用排列組合的方法,即 P(A ) A 包含的等可能結(jié)果 m 一次試驗的等可能結(jié)果的總數(shù) n ( 2)若 A 、B互斥,則 P A B P(A ) P(B) (3)若 A、B相互獨立,則 P A· B PA ·PB ( 4)P(A ) 1 P(A ) ( 5)如果在一次試驗中 A 發(fā)生的概率是 p,那么在 n 次獨立重復(fù)試驗中 A 恰好發(fā)生 如:設(shè) 10 件產(chǎn)品中有 4 件次品, 6 件正品,求下列事件的概率。 ( 1)從中任取 2 件都是次品; (

50、2)從中任取 5 件恰有 2 件次品; ( 3)從中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品; 解析: 有放回地抽取 3 次(每次抽 1 件),∴ n= 103 而至少有 2 件次品為“恰有 2 次品”和“三件都是次品” C32· 42 · 6 43 44 ∴P3 3 125 10 ( 4)從中依次取 5 件恰有 2 件次品。解析: ∵一件一件抽?。ㄓ许樞颍? 分清( 1)、( 2)是組合問題, ( 3)是可重復(fù)排列問題,

51、(4)是無重復(fù)排列問題。 54. 抽樣方法主要有:簡單隨機抽樣(抽簽法、隨機數(shù)表法)常常用于總體個數(shù)較少時,它的特征是從總體中逐個抽??;系統(tǒng)抽樣,常用于總體個數(shù)較多時,它的主要特征是均衡成若干部分,每部分只取一個;分層抽樣,主要特征是分層按比例抽樣,主要用于總體中有明顯差異,它們的共同特征是每個個體被抽到的概率相等,體現(xiàn)了抽樣的客觀性和平等性。 55. 對總體分布的估計——用樣本的頻率作為總體的概率,用樣本的期望(平均值)和方差去估計總體的期望和方差。 要熟悉樣本頻率直方圖的作法: ( 2)決定組距和組數(shù); ( 3)決定分點;

52、 ( 4)列頻率分布表; ( 5)畫頻率直方圖。 頻率 其中,頻率 小長方形的面積 組距× 組距 樣本平均值: x 1 x1 x 2 x n n 樣本方差: S2 1 x1 2 x 2 2 2 x x x n x n 如:從 10 名女生與 5 名男生中選 6 名學(xué)生參加比賽, 如果按性別分層隨機抽樣, 則組 成此參賽隊的概率為 ____________ 。

53、 56. 你對向量的有關(guān)概念清楚嗎? ( 1)向量——既有大小又有方向的量。 ( 2 )向量的?!邢蚓€段的長度, |a| (3)單位向量 |a 0 | a 1, a 0 |a| (4)零向量 0, 0 0 | | ( )相等的向量 長度相等 a b 5 方向相同 在此規(guī)定下向量可以在平面(或空間)平行移動而不改變。 ( 6)并線向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。規(guī)定零向量與任意向量平行。 b ∥ a

54、(b 0 ) 存在唯一實數(shù) ,使 b a ( 7)向量的加、減法如圖: ( 8)平面向量基本定理(向量的分解定理) 的一組基底。 ( 9)向量的坐標(biāo)表示 i , j 是一對互相垂直的單位向量,則有且只有一對實數(shù) x, y,使得 a x i y j ,稱 ( x,y )為向量 a 的坐標(biāo),記作: a x ,y ,即為向量的坐標(biāo) 表示。

55、 57. 平面向量的數(shù)量積 (1) a · b |a|·| b|cos 叫做向量 a 與 b 的數(shù)量積(或內(nèi)積)。 數(shù)量積的幾何意義: a · b 等于 | a| 與 b 在 a 的方向上的射影 | b|cos 的乘積。 ( 2)數(shù)量積的運算法則 注意:數(shù)量積不滿足結(jié)合律 ( a · b)· c a · (b ·

56、c) ( 3)重要性質(zhì):設(shè) a x 1, y1 , b x 2 , y 2 ② a ∥ b a · b | a|·|b|或 a · b |a|·|b| a b ( b 0, 惟一確定) [練習(xí)] (1)已知正方形 ABCD ,邊長為 1, AB a , BC b , AC c ,則 答案: ( 2)若向量 a x,1 , b 4, x ,當(dāng) x 時 a 與 b 共線且方向相同 答案: 2

57、 ( 3)已知 a 、 b 均為單位向量,它們的夾角為 60o ,那么 |a 3b| 答案: 58. 線段的定比分點 設(shè)P1 x 1 , y1 ,P2 x2 ,y 2 ,分點 P x,y ,設(shè) P1、P2 是直線 l 上兩點, P點在 l 上且不同于 P1、P2 ,若存在一實數(shù) ,使 P1P PP2 ,則 叫做 P分有向線段 P1 P2 所成的比( 0,P在線段 P1 P2 內(nèi), 0,P在 P1 P2 外),且 如: ABC,A x1 ,y1

58、 ,B x2 ,y2 ,C x3 ,y3 則 ABC 重心 G的坐標(biāo)是 x1 x 2 x 3 , y1 y2 y 3 3 3 ※ . 你能分清三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心及其性質(zhì)嗎? 59. 立體幾何中平行、垂直關(guān)系證明的思路清楚嗎? 平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化: 線∥線 線∥面 面∥面 判定 線⊥線 線⊥面 面⊥面 性質(zhì) 線∥線 線⊥面 面∥面 線面平行的判定: a∥b, b 面 , a a∥面 a b

59、 線面平行的性質(zhì): 三垂線定理(及逆定理) : PA⊥面 , AO 為PO在 內(nèi)射影, a 面 ,則 線面垂直: 面面垂直: a⊥面 , a 面 ⊥ 面 ⊥面 , l,a , a⊥ l a⊥ a⊥面 , b⊥面 a∥b 面 ⊥a,面 ⊥ a ∥

60、 60. 三類角的定義及求法 ( 1)異面直線所成的角θ, 0°<θ≤ 90° ( 2)直線與平面所成的角θ, 0°≤θ≤ 90° ( 3)二面角:二面角 l 的平面角 , 0o 180o (三垂線定理法: A∈α

61、作或證 AB ⊥β于 B,作 BO⊥棱于 O,連 AO ,則 AO ⊥棱 l, ∴∠ AOB 為所求。) 三類角的求法: ①找出或作出有關(guān)的角。 ②證明其符合定義,并指出所求作的角。 ③計算大小(解直角三角形,或用余弦定理) 。 [練習(xí)] ( 1)如圖, OA 為α的斜線 OB 為其在α內(nèi)射影, OC 為α內(nèi)過 O 點任一直線。 ( 為線面成角,∠ AOC = ,∠ BOC = ) ( 2)如圖,正四棱柱 AB

62、CD — A 1B1C1D 1 中對角線 BD 1= 8, BD 1 與側(cè)面 B1BCC1 所成的為 30°。 ①求 BD 1 和底面 ABCD 所成的角;②求異面直線 BD 1 和 AD 所成的角;③求二面角 C1— BD 1— B 1 的大小。 ( 3)如圖 ABCD 為菱形,∠ DAB = 60°, PD⊥面 ABCD ,且 PD= AD ,求面 PAB 與面 PCD 所成的銳二面角的大小。

63、 (∵ AB ∥ DC,P 為面 PAB 與面 PCD 的公共點,作 PF∥ AB ,則 PF 為面 PCD 與面 PAB 的交線 ) 61. 空間有幾種距離?如何求距離? 點與點,點與線,點與面,線與線,線與面,面與面間距離。 將空間距離轉(zhuǎn)化為兩點的距離,構(gòu)造三角形,解三角形求線段的長(如:三垂線定理 法,或者用等積轉(zhuǎn)化法) 。 如:正方形 ABCD — A 1B 1C1D1 中,棱長為 a,則: ( 1)點 C 到面 AB 1C1 的距離為 ________

64、___; ( 2)點 B 到面 ACB 1 的距離為 ____________ ; ( 3)直線 A 1D 1 到面 AB 1C1 的距離為 ____________; ( 4)面 AB 1C 與面 A 1DC1 的距離為 ____________; ( 5)點 B 到直線 A1 C1 的距離為 _____________。 62. 你是否準(zhǔn)確理解正棱柱、正棱錐的定義并掌握它們的性質(zhì)?正棱柱——底面為正多邊形的直棱柱 正棱錐——底面是正多邊形,頂點

65、在底面的射影是底面的中心。 正棱錐的計算集中在四個直角三角形中: Rt SOB, Rt SOE, Rt BOE和 Rt SBE 它們各包含哪些元素? S正棱錐側(cè) 1 C· h' ( C——底面周長, h' 為斜高) 2 V錐 1 底面積×高 3 63. 球有哪些性質(zhì)? (1)球心和截面圓心的連線垂直于截面 r R 2 d 2 ( 2)球面上兩點的距離是經(jīng)過這兩點的大圓的劣弧長。為此,要找球心角! (

66、3)如圖,θ為緯度角,它是線面成角;α為經(jīng)度角,它是面面成角。 (4)S球 4 R2,V球 4 R 3 3 ( 5)球內(nèi)接長方體的對角線是球的直徑。正四面體的外接球半徑 R 與內(nèi)切球半徑 r 之比為 R: r= 3: 1。 如:一正四面體的棱長均為 2 ,四個頂點都在同一球面上,則此球的表面 積 為 ( ) A . 3 B. 4 C. 3 3 D. 6 答案: A 64. 熟記下列公式了嗎? (1) l 直線的傾斜角 0, , k tan y2 y 1 ,x 1 x 2 x2 x 1 2 P1 x 1 , y1 , P2 x 2 , y 2 是 l 上兩點,直線 l 的方向向量 a 1, k ( 2)直線方程: 點斜式: y y 0 k x x 0 ( k存在) 斜截式: y kx b

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