高二數(shù)學(xué)選修1 拋物線的幾何性質(zhì)1 課件

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1、拋物線的幾何性質(zhì)拋物線的幾何性質(zhì) 前面我們已學(xué)過橢圓與雙曲線前面我們已學(xué)過橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)的幾何性質(zhì),它們都是通過標(biāo)準(zhǔn)方它們都是通過標(biāo)準(zhǔn)方程的形式研究的程的形式研究的,現(xiàn)在請大家想想現(xiàn)在請大家想想拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形、焦點(diǎn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形、焦點(diǎn)及準(zhǔn)線是什么及準(zhǔn)線是什么?一、復(fù)習(xí)回顧：圖圖 形形方方 程程焦焦 點(diǎn)點(diǎn)準(zhǔn)準(zhǔn) 線線lFyxOlFyxOlFyxOlFyxO2px 2px2py2py )0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pFy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）二、二、 練習(xí)練習(xí)：填空（頂

2、點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)：填空（頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上）軸上） 方程方程焦點(diǎn)焦點(diǎn)準(zhǔn)線準(zhǔn)線開口方向開口方向xy62yx420722 yx)0 ,(23F)0 , 1(F) 1 , 0(F), 0(87F23x1x1y87yxy42開口向開口向右右開口向開口向左左開口向開口向上上開口向開口向下下yox)0,2(pFP(x,y)一、一、拋物線拋物線的的幾何性質(zhì)幾何性質(zhì)拋物線在拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時(shí)，的值增大時(shí)，y也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。延伸。1、范圍范圍由拋物線由拋物線y2 =2px（p0）220pxy而而0p 0

3、 x 所以拋物線的范圍為所以拋物線的范圍為0 x ( , )x y關(guān)于關(guān)于x軸軸對稱對稱( ,)xy 由于點(diǎn)由于點(diǎn) 也滿也滿足足 ，故拋物線，故拋物線(p0)關(guān)于關(guān)于x軸軸對稱對稱.( ,)xyy2 = 2pxy2 = 2px2、對稱性、對稱性yox)0,2(pFP(x,y)定義：拋物線和它的軸的交點(diǎn)稱為拋物線定義：拋物線和它的軸的交點(diǎn)稱為拋物線的的頂點(diǎn)頂點(diǎn)。yox)0,2(pFP(x,y)由y2 = 2px （p0）當(dāng)當(dāng)y=0時(shí)時(shí),x=0, 因此拋物線的頂點(diǎn)頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）。注注:這與橢圓有四個頂點(diǎn)這與橢圓有四個頂點(diǎn),雙曲線有雙曲線有兩個頂點(diǎn)不同。兩個頂點(diǎn)不同。、頂點(diǎn)、頂點(diǎn)4、開口

4、方向、開口方向yox)0,2(pFP(x,y)拋物線拋物線y2 =2px（p0）的開）的開口方向向右。口方向向右。pyxpyxpxypxy22222222+X，x軸正半軸，向右軸正半軸，向右-X，x軸負(fù)半軸，向左軸負(fù)半軸，向左+y，y軸正半軸，向上軸正半軸，向上-y，y軸負(fù)半軸，向下軸負(fù)半軸，向下5、離心率離心率yox)0,2(pFP(x,y) 拋物線上的點(diǎn)與焦拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的點(diǎn)的距離距離和它到準(zhǔn)線的和它到準(zhǔn)線的距離距離 之比，叫做拋物線之比，叫做拋物線的離心率，由拋物線的的離心率，由拋物線的定義，可知定義，可知e=1。 下面請大家得出其余三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的幾何性質(zhì)。（二）歸納：拋物線（

5、二）歸納：拋物線的的幾何性質(zhì)幾何性質(zhì)圖圖 形形方程方程焦點(diǎn)焦點(diǎn)準(zhǔn)線準(zhǔn)線 范圍范圍 頂點(diǎn)頂點(diǎn) 對稱軸對稱軸elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2px 2py 2pyx0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x軸軸y軸軸1特點(diǎn)：特點(diǎn)：1.拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi)拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無雖然它可以無限延伸限延伸,但它沒有漸近線但它沒有漸近線;2.拋物線只有一條對稱軸拋物線只有一條對稱軸,沒有沒有對稱

6、中心對稱中心;3.拋物線只有一個頂點(diǎn)、拋物線只有一個頂點(diǎn)、一個焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線一個焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線;4.拋物線的離心率是確定的拋物線的離心率是確定的,為為1;思考思考：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對拋物線開口的影響對拋物線開口的影響.yox)0,2(pFP(x,y)補(bǔ)充補(bǔ)充（1）通徑：）通徑：通過焦點(diǎn)且垂直對稱軸的直線，通過焦點(diǎn)且垂直對稱軸的直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)，連接這與拋物線相交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的通徑通徑。|PF|=x0+p/2xOyFP通徑的長度通徑的長度：2PP越大越大,開口越開闊開口越開闊（2）焦半徑：）焦半徑： 連接拋物線任意一點(diǎn)與

7、焦點(diǎn)的連接拋物線任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的線段叫做拋物線的線段叫做拋物線的焦半徑焦半徑。焦半徑公式：焦半徑公式：),(00yx（標(biāo)準(zhǔn)方程中（標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的幾何意義）的幾何意義）利用拋物線的利用拋物線的頂點(diǎn)頂點(diǎn)、通徑的兩個、通徑的兩個端點(diǎn)端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫出可較準(zhǔn)確畫出反映拋物線基本特征的草圖。反映拋物線基本特征的草圖。例例：已知拋物線關(guān)于：已知拋物線關(guān)于X X軸對稱，它的頂點(diǎn)軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)M M（，），求（，），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程，并用描點(diǎn)法畫出圖形它的標(biāo)準(zhǔn)方程，并用描點(diǎn)法畫出圖形。因?yàn)閽佄锞€關(guān)于因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，

8、并且經(jīng)過點(diǎn)標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)M M（，）（，），2 2解：解：所以設(shè)方程為：所以設(shè)方程為：)0(22ppxy又因?yàn)辄c(diǎn)又因?yàn)辄c(diǎn)M M在拋物線上在拋物線上：所以：所以：2( 2 2)22p2p因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：24yx（三）、（三）、例題講解：例題講解：2 224yx作圖：作圖：(1)列表列表（在第一象限內(nèi)列表）（在第一象限內(nèi)列表）x01234y(2)描點(diǎn)描點(diǎn)：022.83.54(3)連線連線：11xyO課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：求適合下列條件的拋物線的方程：求適合下列條件的拋物線的方程：（1）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F F為（為（0 0，5 5）; ;（2）頂

9、點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于x x軸對稱軸對稱, ,并且并且經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)M(5,-4).M(5,-4).20 xy2165yx2例例1、探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一、探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，已知燈部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，已知燈口圓的直徑為口圓的直徑為60cm,燈深燈深40cm，求拋物線，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)的位置。的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)的位置。FyxO解：如圖所示，在探照燈的軸截解：如圖所示，在探照燈的軸截面所在平面建立直角坐標(biāo)系，使面所在平面建立直角坐標(biāo)系，使反光鏡的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，反光鏡的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，x軸軸垂直于燈口直徑。垂直于燈口直徑。

10、AB 設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是：由已知條件可得點(diǎn)由已知條件可得點(diǎn)A的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是（40，30），代入方程可得），代入方程可得230240p22(0)ypx p454p所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為焦點(diǎn)坐標(biāo)為焦點(diǎn)坐標(biāo)為2252yx45(,0)8(三）、課堂練習(xí)：三）、課堂練習(xí)： 1、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為軸為x軸，焦點(diǎn)在直線軸，焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上，那上，那么拋物線通徑長是么拋物線通徑長是 . 2、一個正三角形的三個頂點(diǎn)，都在拋、一個正三角形的三個頂點(diǎn)，都在拋物線物線 上，其中一個頂點(diǎn)為坐標(biāo)上，其中一個頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則這個三角形的面積為原點(diǎn)，則這個三角形的面積為 。24yx1648 3例例2 2：已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對：已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為稱軸為 相交的公共相交的公共弦等于弦等于 ，求這條拋物線的方程，求這條拋物線的方程 4,22 yxx且與圓軸32解：設(shè)所求的拋物線方程為 或 pxy22