高三數(shù)學一輪復習 第十章 計數(shù)原理與概率、隨機變量及其分布 第五節(jié) 幾何概型課件 理

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1、理數(shù)課標版第五節(jié)幾何概型1.幾何概型的定義幾何概型的定義如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱幾何概型.教材研讀教材研讀2.幾何概型的特點幾何概型的特點(1)無限性:試驗中所有可能出現(xiàn)的結果(基本事件)有無限多個.(2)等可能性:試驗結果在每一個區(qū)域內均勻分布.3.幾何概型的概率公式幾何概型的概率公式P(A)=.()()A構成事件 的區(qū)域長度 面積或體積試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度 面積或體積1.已知函數(shù)f(x)=x2-2x-3,x-1,4,則f(x)為增函數(shù)的概率為()A.B.C.D.15253545考點突破考點突破答案答

2、案 Cf(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,x-1,4,f(x)在1,4上是增函數(shù).f(x)為增函數(shù)的概率為P=.4 14( 1) 352.若將一個質點隨機投入如圖所示的長方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,則質點落在以AB為直徑的半圓內的概率是()A.B.C.D.答案答案 B概率為P=.故選B.2468SS半圓矩形21122 143.(2016課標全國,8,5分)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn),紅燈持續(xù)時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈,則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A.B.C.D.答案答案 B行人在紅燈亮起的25秒內到達該路口,即滿足至少需要等待1

3、5秒才出現(xiàn)綠燈,根據(jù)幾何概型的概率公式知所求事件的概率P=,故選B.71058383102540584.如圖所示,邊長為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域,在正方形中隨機撒一粒豆子,它落在陰影區(qū)域內的概率為,則陰影區(qū)域的面積為.答案答案解析解析設陰影區(qū)域的面積為S,則由題意知=,所以S=.23834S23835.在長為3m的線段AB上任取一點P,則點P與線段AB兩端點的距離都大于1m的概率等于.答案答案 解析解析將線段AB平均分成3段,如圖.設中間的兩點分別為C,D,當點P在線段CD上(不包括兩端點)時,符合題意,線段CD的長度為1m,所求概率P=.1313考點一與長度有關的幾何概型考點一

4、與長度有關的幾何概型典例典例1(1)(2015重慶,15,5分)在區(qū)間0,5上隨機地選擇一個數(shù)p,則方程x2+2px+3p-2=0有兩個負根的概率為;(2)(2016山東,14,5分)在-1,1上隨機地取一個數(shù)k,則事件“直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為.答案答案(1)(2)解析解析(1)要使方程x2+2px+3p-2=0有兩個負根,必有解得p1或p2,2334241280,20,320,pppp23考點突破考點突破結合p0,5得p2,5,2,13故所求概率為=.(2)直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交的充要條件為3,解之得-k2,解得k2,又k-3,3,所以k

5、-3,0)(2,3,故所求概率P=.121323344623考點二與面積有關的幾何概型考點二與面積有關的幾何概型典例典例2(1)(2016黑龍江實驗中學期末)已知線段AB的長為10,在線段AB上隨機取兩個點C、D,則CD2的概率為()A.B.C.D.(2)(2016課標全國,10,5分)從區(qū)間0,1隨機抽取2n個數(shù)x1,x2,xn,y1,y2,yn,構成n個數(shù)對(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個,則用隨機模擬的方法得到的圓周率的近似值為()A.B.C.D.答案答案(1)D(2)C解析解析(1)設CA=x,DA=y,則x,y0,10,CD=|CA

6、-DA|=|x-y|.254542516254nm2nm4mn2mn由題意知點(x,y)形成的區(qū)域是邊長為10的正方形及其內部,其面積為S=1010,而滿足CD2的區(qū)域如圖中陰影部分所示,其面積為S1=288=64,則CD2的概率為P=.12641001625(2)如圖,數(shù)對(xi,yi)(i=1,2,n)表示的點落在邊長為1的正方形OABC內(包括邊界),兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對表示的點落在半徑為1的四分之一圓(陰影部分)內,則由幾何概型的概率公式可得=.故選C.mn21414mn方法技巧方法技巧與面積有關的幾何概型問題的求解策略求解與面積有關的幾何概型問題的關鍵是弄清某事件對應的面積,必要

7、時要根據(jù)題意構造兩個變量,把變量看成點的坐標,找到全部試驗結果構成的平面圖形,進而求解.2-1(2016安徽江淮十校第一次聯(lián)考)設不等式組所表示的區(qū)域為M,函數(shù)y=的圖象與x軸所圍成的區(qū)域為N,向M內隨機投一個點,則該點落在N內的概率為()A.B.C.D.2,2,0 xyxyy 21x24816答案答案 B如圖,不等式組表示的區(qū)域為ABC及其內部,函數(shù)y=的圖象與x軸所圍成的區(qū)域為陰影部分,易知區(qū)域M的面積為2,區(qū)域N的面積為,由幾何概型的概率公式知所求概率為=.2,2,0 xyxyy 21x22242-2 (2015福建,13,4分)如圖,點A的坐標為(1,0),點C的坐標為(2,4),函數(shù)

8、f(x)=x2.若在矩形ABCD內隨機取一點,則此點取自陰影部分的概率等于.答案答案解析解析由題圖可知S陰影=S矩形ABCD-x2dx=14-=4-=,則所求事件的概率P=.5122133x21813353ABCDSS陰影矩形534512考點二與面積有關的幾何概型考點二與面積有關的幾何概型典例典例3(1)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點O為底面ABCD的中心,在正方體ABCD-A1B1C1D1內隨機取一點P,則點P到點O的距離大于1的概率為()A.B.1-C.D.1-(2)已知正棱錐S-ABC的底面邊長為4,高為3,在正棱錐內任取一點P,使得VP-ABCVS-ABC的概率為(

9、)A.B.C.D.1212661234781214答案答案(1)B(2)B解析解析(1)點P到點O的距離大于1的點位于以O為球心,以1為半徑的半球的外部.記點P到點O的距離大于1為事件A,則P(A)=1-.(2)如圖,由題意知,當點P在三棱錐的中截面以下時,滿足VP-ABCVS-ABC,故使得VP-ABCVS-ABC的概率P=1-=.333142123212121231278方法技巧方法技巧與體積有關的幾何概型問題求法的關鍵點對于與體積有關的幾何概型問題,關鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間),對于某些較復雜的事件也可利用其對立事件去求.3-1(2017沈陽二十中月考)一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示,點M是AB的中點,一只蝴蝶在幾何體ADF-BCE內自由飛翔,則它飛入幾何體F-AMCD內的概率為()A.B.C.D.答案答案 D因為VF-AMCD=S四邊形AMCDDF=a3,VADF-BCE=a3,34231312131412所以蝴蝶飛入幾何體F-AMCD內的概率為=.331412aa12