高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差課件 新人教A版選修2-3.ppt

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2 3 2離散型隨機(jī)變量的方差 自主學(xué)習(xí)新知突破 1 理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差的概念和意義 2 能計(jì)算簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差 并能解決實(shí)際問(wèn)題 3 掌握方差的性質(zhì)以及兩點(diǎn)分布 二項(xiàng)分布的方差的求法 A B兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工零件 每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時(shí) 出次品的概率如下表 問(wèn)題1 試求E X1 E X2 提示1 E X1 0 0 7 1 0 2 2 0 06 3 0 04 0 44 E X2 0 0 8 1 0 06 2 0 04 3 0 10 0 44 問(wèn)題2 由E X1 和E X2 的值說(shuō)明了什么 提示2 E X1 E X2 問(wèn)題3 試想利用什么指標(biāo)可以比較加工質(zhì)量 提示3 樣本方差 1 方差的定義 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為 離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差的概念 則 xi E x 2描述了xi i 1 2 n 相對(duì)于均值E X 的偏離程度 而D X 為這些偏離程度的加權(quán)平均 刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E X 的平均偏離程度 稱D X 為隨機(jī)變量X的 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 1 當(dāng)a b為常數(shù)時(shí) 隨機(jī)變量Y aX b 則D Y D aX b a2D X 1 當(dāng)a 0時(shí) D Y D b 0 2 當(dāng)a 1時(shí) D Y D X b D X 3 當(dāng)b 0時(shí) D Y D aX a2D X 2 D X E X2 E X 2 離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì) 1 兩點(diǎn)分布的方差 若離散型隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布 則D X 2 二項(xiàng)分布的方差 若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n p的二項(xiàng)分布 即 則D X 兩點(diǎn)分布和二項(xiàng)分布的方差 p 1 p X B n p np 1 p 對(duì)隨機(jī)變量X的方差 標(biāo)準(zhǔn)差的理解 1 隨機(jī)變量X的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的 2 隨機(jī)變量X的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量X取值的穩(wěn)定性和波動(dòng) 集中與離散程度 3 D X 越小 穩(wěn)定性越高 波動(dòng)越小 4 標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位 所以在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用更廣泛 1 已知X B n p E X 2 D X 1 6 則n p的值分別為 A 100 0 8B 20 0 4C 10 0 2D 10 0 8解析 E X np 2 D X np 1 p 1 6 p 0 2 n 10 答案 C 3 已知隨機(jī)變量 的分布列為則D 解析 E 0 1 0 0 15 1 0 25 2 0 25 3 0 15 4 0 1 5 2 5 所以D 0 2 5 2 0 1 1 2 5 2 0 15 2 2 5 2 0 25 3 2 5 2 0 25 4 2 5 2 0 15 5 2 5 2 0 1 2 05 答案 2 05 4 編號(hào)為1 2 3的三位同學(xué)隨意入座編號(hào)為1 2 3的三個(gè)座位 每位同學(xué)一個(gè)座位 設(shè)與座位編號(hào)相同的學(xué)生的個(gè)數(shù)為 求D 合作探究課堂互動(dòng) 方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算 思路點(diǎn)撥 1 利用方差公式求解 首先求出均值E 然后利用D 定義求方差 2 由于E 是一個(gè)常數(shù) 所以D Y D 2 E 22D 規(guī)律方法 1 離散型隨機(jī)變量的方差的求法 1 明確隨機(jī)變量的取值及每個(gè)值的試驗(yàn)結(jié)果 2 求出隨機(jī)變量各取值對(duì)應(yīng)的概率 3 寫出隨機(jī)變量的分布列 4 利用離散型隨機(jī)變量的均值公式E X x1p1 x2p2 xnpn求出X的數(shù)學(xué)期望 5 代入公式D X x1 E X 2 p1 x2 E X 2 p2 xn E X 2 pn 求出X的方差 2 注意隨機(jī)變量aX b的方差可用D aX b a2D X 求解 兩點(diǎn)分布和二項(xiàng)分布的方差 某人投彈擊中目標(biāo)的概率為p 0 8 1 求投彈一次 命中次數(shù)X的均值和方差 2 求重復(fù)10次投彈時(shí) 擊中次數(shù)Y的均值和方差 思路點(diǎn)撥 投彈一次的命中次數(shù)X服從兩點(diǎn)分布 而重復(fù)10次投彈可以認(rèn)為是10次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 擊中次數(shù)Y服從二項(xiàng)分布 規(guī)律方法 正確認(rèn)識(shí)二項(xiàng)分布及在解題中的應(yīng)用 1 在解決有關(guān)均值和方差問(wèn)題時(shí) 同學(xué)們要認(rèn)真審題 如果題目中離散型隨機(jī)變量符合二項(xiàng)分布 就應(yīng)直接利用二項(xiàng)分布求期望和方差 以簡(jiǎn)化問(wèn)題的解答過(guò)程 2 對(duì)于二項(xiàng)分布公式E X np和D X np 1 p 要熟練掌握 特別提醒 求隨機(jī)變量的期望 方差時(shí) 首先要分析隨機(jī)變量是否符合特殊分布 符合的要用相應(yīng)的公式求解 方差的應(yīng)用 甲 乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境 且野生動(dòng)物的種類和數(shù)量也大致相等 而兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別為 甲保護(hù)區(qū) 乙保護(hù)區(qū) 試評(píng)定這兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平 思路點(diǎn)撥 從均值和方差角度去評(píng)定 并根據(jù)實(shí)際情況去分析 規(guī)律方法 關(guān)于均值與方差的說(shuō)明均值僅體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平 但有時(shí)僅知道均值大小還是不夠的 比如 兩個(gè)隨機(jī)變量的均值相等了 還需要知道隨機(jī)變量的取值如何在均值周圍變化 即計(jì)算其方差 或是標(biāo)準(zhǔn)差 方差大說(shuō)明隨機(jī)變量取值分散性大 方差小說(shuō)明隨機(jī)變量取值分散性小或者說(shuō)取值比較集中 穩(wěn)定 3 甲 乙兩射手在同一條件下進(jìn)行射擊 射手甲擊中環(huán)數(shù)8 9 10的概率分別為0 2 0 6 0 2 射手乙擊中環(huán)數(shù)8 9 10的概率分別為0 4 0 2 0 4 用擊中環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差比較兩名射手的射擊水平 解析 設(shè)甲 乙兩射手擊中環(huán)數(shù)分別為 1 2 E 1 8 0 2 9 0 6 10 0 2 9 D 1 8 9 2 0 2 9 9 2 0 6 10 9 2 0 2 0 4 同理有E 2 9 D 2 0 8 由上可知E 1 E 2 D 1 D 2 所以 在射擊之前 可以預(yù)測(cè)甲 乙兩名射手所得的平均環(huán)數(shù)很接近 均在9環(huán)左右 但甲所得環(huán)數(shù)較集中 而乙得環(huán)數(shù)較分散 求實(shí)際問(wèn)題的期望和方差 設(shè)在12個(gè)同類型的零件中有2個(gè)次品 抽取3次進(jìn)行檢驗(yàn) 每次抽取一個(gè) 并且取出不再放回 若以 表示取出次品的個(gè)數(shù) 求 的分布列 期望值及方差 思路點(diǎn)撥 要求 的分布列 必須先確定隨機(jī)變量 的可能取的所有值 進(jìn)而求出 取每一個(gè)值時(shí)的概率 然后借助均值和方差的定義求出均值和方差 規(guī)律方法 解答此類問(wèn)題要注意以下幾個(gè)問(wèn)題 1 準(zhǔn)確表達(dá)出有關(guān)隨機(jī)變量的分布列 完成此環(huán)節(jié)的難點(diǎn)是弄清隨機(jī)變量各取值的含義 用參數(shù)表示有關(guān)量 2 熟練應(yīng)用均值 方差的計(jì)算公式和性質(zhì) 1 應(yīng)用公式關(guān)鍵是先明確公式中有關(guān)量的含義 再?gòu)念}目條件中尋找它的取值 2 對(duì)于兩點(diǎn)分布 二項(xiàng)分布等特殊分布列要注意求均值 方差特定結(jié)論的應(yīng)用 4 袋中有20個(gè)大小相同的球 其中記上0號(hào)的有10個(gè) 記上n號(hào)的有n個(gè) n 1 2 3 4 現(xiàn)從袋中任取一球 表示所取球的標(biāo)號(hào) 求 的分布列 期望和方差 設(shè) 是一個(gè)離散型隨機(jī)變量 其分布列如下