高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 計(jì)數(shù)原理與概率 第62講 離散型隨機(jī)變量的均值與方差課件

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1、計(jì)數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布第第 九九 章章第第6262講離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布講離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布考綱要求考情分析命題趨勢(shì)1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問題2利用實(shí)際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.2017全國(guó)卷，192016山東卷，192016福建卷，161.正態(tài)分布主要通過正態(tài)分布的密度函數(shù)圖象及性質(zhì)進(jìn)行考查2離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差一般與排列、組合及古典概型、幾何概型、二項(xiàng)分布及幾何分布相結(jié)合，以實(shí)際問題為背景進(jìn)行考查.分值：512分板板 塊塊

2、 一一板板 塊塊 二二板板 塊塊 三三欄目導(dǎo)航 1離散型隨機(jī)變量的均值與方差 一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值稱E(X)_為隨機(jī)變量X的均值或_，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的_x1p1x2p2xipixnpn 數(shù)學(xué)期望 平均水平 平均偏離程度 標(biāo)準(zhǔn)差 aE(X)b a2D(X) p p(1p) np np(1p) 上方 x x 1 當(dāng)一定時(shí)，曲線的位置由確定，曲線隨著_的變化沿x軸平移，如圖甲所示； 當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定，_，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；_，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示 越小 越大 (3)正態(tài)

3、分布的定義及表示 一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b(ab)，隨機(jī)變量X滿足P(aXb)_，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作_ (4)正態(tài)分布在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值 P(X)_； P(2X2)_； P(3X3)_.XN(，2) 0.682 6 0.954 4 0.997 4 1思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”) (1)期望值就是算術(shù)平均數(shù)，與概率無(wú)關(guān)() (2)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機(jī)變量() (3)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量平均程度越小() (4)在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的

4、概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是0.7.() A 3設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x10的均值和方差分別為1和4，若yixia(a為非零常數(shù)，i1,2，10)，則y1，y2，y10的均值和方差分別為() A1a,4B1a,4aC1,4D1,4aA 5投擲兩枚骰子，當(dāng)至少一枚5點(diǎn)或一枚6點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，則在10次試驗(yàn)中成功次數(shù)的均值為_. 離散型隨機(jī)變量的均值與方差的常見類型及解題策略 (1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差可依題設(shè)條件求出離散型隨機(jī)變量的概率分布列，然后利用均值、方差公式直接求解 (2)由已知均值或方差求參數(shù)值可依據(jù)條件利用均值、方差公式得出含有參數(shù)的方程，解方程即

5、可求出參數(shù)值 (3)由已知條件，作出對(duì)兩種方案的判斷可依據(jù)均值、方差的意義，對(duì)實(shí)際問題作出判斷一離散型隨機(jī)變量的均值、方差 【例1】 (2018湖北部分重點(diǎn)中學(xué)起點(diǎn)考試)隨著網(wǎng)絡(luò)營(yíng)銷和電子商務(wù)的興起，人們的購(gòu)物方式更具多樣化某調(diào)查機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取10名購(gòu)物者進(jìn)行采訪，5名男性購(gòu)物者中有3名傾向于選擇網(wǎng)購(gòu)，2名傾向于選擇實(shí)體店，5名女性購(gòu)物者有2名傾向于選擇網(wǎng)購(gòu)，3名傾向于選擇實(shí)體店 (1)若從10名購(gòu)物者中隨機(jī)抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名傾向于選擇實(shí)體店的概率； (2)若從這10名購(gòu)物者中隨機(jī)抽取3名，設(shè)X表示抽到傾向于選擇網(wǎng)購(gòu)的男性購(gòu)物者的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望二均值與方差的實(shí)際

6、應(yīng)用 隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)一般先比較均值，若均值相同，再用方差來(lái)決定 【例3】 (2018山西太原模擬)計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站過去50年的水文資料顯示，水庫(kù)年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和單位：億立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立 (1)求未來(lái)4年中，至多有1年的年入流量超

7、過120的概率； (2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系年入流量X40X120發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)123若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)年利潤(rùn)為5 000萬(wàn)元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)年虧損800萬(wàn)元欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？ (2)記水電站年總利潤(rùn)為Y(單位：萬(wàn)元) 安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形 由于水庫(kù)年入流量總大于40，故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1，對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn)Y5 000，E(Y)5 00015 000. 安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形 依題意，當(dāng)40X80時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行， 此時(shí)Y5 0008004 200， 因此P(Y4

8、 200)P(40X80)p10.2；當(dāng)X80時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5 000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的分布列如下： 所以E(Y)4 2000.210 0000.88 840.Y4 20010 000P0.20.8 安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形 依題意，當(dāng)40X80時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5 0001 6003 400，因此P(Y3 400)P(40X80)p10.2；當(dāng)80X120時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5 00028009 200， 因此P(Y9 200)P(80X120)p20.7；當(dāng)X120時(shí)，三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5 000315

9、000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1，由此得Y的分布列如下： 所以E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620. 綜上，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái)Y3 4009 20015 000P0.20.70.1三正態(tài)分布的應(yīng)用 解決正態(tài)分布問題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)對(duì)稱軸x；(2)標(biāo)準(zhǔn)差；(3)分布區(qū)間利用對(duì)稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3特殊區(qū)間，從而求出所求概率注意只有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的對(duì)稱軸才為x0. 【例4】 (2017全國(guó)卷改編)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上

10、隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：cm)根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(，2) (1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(3，3)之外的零件數(shù)，求P(X1)及X的數(shù)學(xué)期望； (2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(3，3)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查 試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性； 下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸： 解析 (1)抽取的一個(gè)零件的尺寸在(3，3)之內(nèi)的概率為0.997 4，從而零件的尺寸在(3，3)之外的概率為0.002

11、6，故XB(16,0.002 6) 因而P(X1)1P(X0)10.997 4160.040 8. X的數(shù)學(xué)期望為E(X)160.002 60.041 6. (2)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在(3，3)之外的概率只有0.002 6，一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有0.040 8，發(fā)生的概率很小因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的 1在某次大型考試中，某班同學(xué)的成績(jī)服從正態(tài)分布N(80,52)，現(xiàn)已知該班同學(xué)中成績(jī)?cè)?085分的有17人試計(jì)算該班成績(jī)?cè)?/p>

12、90分以上的同學(xué)有多少人 附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(，2)，則P()68.26%，P(22)95.44%. 又2801070，2801090， 成績(jī)?cè)?70,90內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的95.44%. 成績(jī)?cè)?80,90內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的47.72%. 成績(jī)?cè)?0分以上的同學(xué)占全班同學(xué)的50%47.72%2.28%. 即有502.28%1(人)，故成績(jī)?cè)?0分以上的同學(xué)僅有1人 3(2018湖北荊州中學(xué)質(zhì)檢)一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷量的頻率分布直方圖，如圖所示 將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立 (1)求在未來(lái)連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率；(2)用X表示在未來(lái)3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，均值E(X)及方差D(X) 錯(cuò)因分析：求離散型隨機(jī)變量的均值和方差時(shí)嚴(yán)格按照步驟來(lái)解，解答完后要注意查看解題中的關(guān)鍵點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)求期望、方差時(shí)計(jì)算不準(zhǔn)確以及解答不規(guī)范