高考數學二輪復習 專題四 數列、推理與證明 第3講 數列的綜合問題課件 理

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1、第3講數列的綜合問題專題四數列、推理與證明熱點分類突破真題押題精練熱點分類突破熱點一利用Sn,an的關系式求an1.數列an中,an與Sn的關系2.求數列通項的常用方法(1)公式法:利用等差(比)數列求通項公式.(2)在已知數列an中,滿足an1anf(n),且f(1)f(2)f(n)可求,則可用累加法求數列的通項an.(3)在已知數列an中,滿足 f(n),且f(1)f(2)f(n)可求,則可用累乘法求數列的通項an.(4)將遞推關系進行變換,轉化為常見數列(等差、等比數列).例例1已知等差數列an中,a22,a3a58,數列bn中,b12,其前n項和Sn滿足: bn1Sn2(nN*).(1

2、)求數列an,bn的通項公式;解答解解a22,a3a58,2d23d8,d1,ann.bn1Sn2(nN*),bnSn12(nN*,n2).由,得bn1bnSnSn1bn (nN*,n2),bn12bn (nN*,n2).b12,b22b1,bn為首項為2,公比為2的等比數列,bn2n.解答思維升華思維升華給出Sn與an的遞推關系,求an,常用思路:一是利用SnSn1an(n2)轉化為an的遞推關系,再求其通項公式;二是轉化為Sn的遞推關系,先求出Sn與n之間的關系,再求an.思維升華兩式相減,得證明跟蹤演練跟蹤演練1(2017天津市紅橋區(qū)重點中學八校聯考)已知數列an的前n項和為Sn,且滿足

3、Snn2(an2)(nN*).(1)證明:數列an1為等比數列;證明證明Snn2(an2),當n2時,Sn1(n1)2(an12),兩式相減,得an12an2an1,an2an11,an12(an11),又當n1時,a112(a12),得a13,a112,數列an1是以2為首項,2為公比的等比數列.(2)若bnanlog2(an1),數列bn的前n項和為Tn,求Tn.解答解解由(1)知,an122n12n,an2n1,又bnanlog2(an1),bnn(2n1),Tnb1b2b3bn(12222323n2n)(123n),設An12222323(n1)2n1n2n,則2An122223(n1

4、)2nn2n1,兩式相減,得An222232nn2n1An(n1)2n12.熱點二數列與函數、不等式的綜合問題數列與函數的綜合問題一般是利用函數作為背景,給出數列所滿足的條件,通常利用點在曲線上給出Sn的表達式,還有以曲線上的切點為背景的問題,解決這類問題的關鍵在于利用數列與函數的對應關系,將條件進行準確的轉化.數列與不等式的綜合問題一般以數列為載體,考查最值問題,不等關系或恒成立問題.例例2設fn(x)xx2xn1,x0,nN,n2.(1)求fn(2);解答解解方法一方法一由題設fn(x)12xnxn1,所以fn(2)122(n1)2n2n2n1,則2fn(2)2222(n1)2n1n2n,

5、由得,fn(2)12222n1n2n所以fn(2)(n1)2n1.(n1)2n1.證明思維升華思維升華解決數列與函數、不等式的綜合問題要注意以下幾點(1)數列是一類特殊的函數,函數定義域是正整數,在求數列最值或不等關系時要特別重視.(2)解題時準確構造函數,利用函數性質時注意限制條件.(3)不等關系證明中進行適當的放縮.思維升華證明證明因為fn(0)10,又fn(x)12xnxn10,證明跟蹤演練跟蹤演練2(2016屆浙江省寧波市期末)已知數列an滿足a12,an12(Snn1)(nN*),令bnan1.(1)求證:bn是等比數列;證明證明a12,a22(22)8,an12(Snn1)(nN*

6、)an2(Sn1n)(n2),兩式相減,得an13an2(n2).經檢驗,當n1時上式也成立,即an13an2(n1).所以an113(an1),即bn13bn,且b13.故bn是等比數列.(2)記數列nbn的前n項和為Tn,求Tn;解答解解由(1)得bn3n.Tn13232333n3n,3Tn132233334n3n1,兩式相減,得2Tn332333nn3n1證明熱點三數列的實際應用用數列知識解相關的實際問題,關鍵是合理建立數學模型數列模型,弄清所構造的數列是等差模型還是等比模型,它的首項是什么,項數是多少,然后轉化為解數列問題.求解時,要明確目標,即搞清是求和,還是求通項,還是解遞推關系問

7、題,所求結論對應的是解方程問題,還是解不等式問題,還是最值問題,然后進行合理推算,得出實際問題的結果.例例3自從祖國大陸允許臺灣農民到大陸創(chuàng)業(yè)以來,在11個省區(qū)設立了海峽兩岸農業(yè)合作試驗區(qū)和臺灣農民創(chuàng)業(yè)園,臺灣農民在那里申辦個體工商戶可以享受“綠色通道”的申請、受理、審批一站式服務,某臺商第一年年初到大陸就創(chuàng)辦了一座120萬元的蔬菜加工廠M,M的價值在使用過程中逐年減少,從第二年到第六年,每年年初M的價值比上年年初減少10萬元,從第七年開始,每年年初M的價值為上年年初的75%.(1)求第n年年初M的價值an的表達式;解答解解當n6時,數列an是首項為120,公差為10的等差數列,故an1201

8、0(n1)13010n,當n7時,數列an從a6開始的項構成一個以a61306070為首項,以 為公比的等比數列,(2)設An ,若An大于80萬元,則M繼續(xù)使用,否則須在第n年年初對M更新,證明:必須在第九年年初對M更新.證明思維升華證明證明設Sn表示數列an的前n項和,由等差數列和等比數列的求和公式,得當1n6時,Sn120n5n(n1),當n7時,由于S6570,因為an是遞減數列,所以An是遞減數列.所以必須在第九年年初對M更新.思維升華思維升華常見數列應用題模型的求解方法(1)產值模型:原來產值的基礎數為N,平均增長率為p,對于時間n的總產值yN(1p)n.(2)銀行儲蓄復利公式:按

9、復利計算利息的一種儲蓄,本金為a元,每期的利率為r,存期為n,則本利和ya(1r)n.(3)銀行儲蓄單利公式:利息按單利計算,本金為a元,每期的利率為r,存期為n,則本利和ya(1nr).(4)分期付款模型:a為貸款總額,r為年利率,b為等額還款數,則b .跟蹤演練跟蹤演練3(2017全國)幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應用軟件.為激發(fā)大家學習數學的興趣,他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案:已知數列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一項是20,接下來的兩項是20,21,再接下來的三項是20,21,22,依

10、此類推.求滿足如下條件的最小整數N:N100且該數列的前N項和為2的整數冪.那么該款軟件的激活碼是A.440 B.330 C.220 D.110答案解析設N是第n1組的第k項,若要使前N項和為2的整數冪,真題押題精練真題體驗1.(2016浙江)設數列an的前n項和為Sn.若S24,an12Sn1,nN*,則a1_,S5_.1答案解析1212112當n2時,由已知可得an12Sn1,an2Sn11,由,得an1an2an,an13an,又a23a1,an是以a11為首項,以q3為公比的等比數列.2.(2017山東)已知xn是各項均為正數的等比數列,且x1x23,x3x22.(1)求數列xn的通項

11、公式;解解設數列xn的公比為q.12所以3q25q20,由已知得q0,所以q2,x11.因此數列xn的通項公式為xn2n1.解答(2)如圖,在平面直角坐標系xOy中,依次連接點P1(x1,1),P2(x2,2),Pn1(xn1,n1)得到折線P1P2Pn1,求由該折線與直線y0,xx1,xxn1所圍成的區(qū)域的面積Tn.12解答解解過P1,P2,Pn1向x軸作垂線,垂足分別為Q1,Q2,Qn1.由(1)得xn1xn2n2n12n1,記梯形PnPn1Qn1Qn的面積為bn,12所以Tnb1b2bn321520721(2n1)2n3(2n1)2n2, 則2Tn320521722(2n1)2n2(2n

12、1)2n1, 由,得Tn321(2222n1)(2n1)2n112押題預測解答押題依據押題依據本題綜合考查數列知識,考查反證法的數學方法及邏輯推理能力.已知數列an的前n項和Sn滿足關系式Snkan1,k為不等于0的常數.(1)試判斷數列an是否為等比數列;押題依據解解若數列an是等比數列,則由n1得a1S1ka2,從而a2ka3.又取n2得a1a2S2ka3,于是a10,顯然矛盾,故數列an不是等比數列.解答押題依據押題依據本題綜合考查數列知識,高考的熱點問題,即數列與不等式的完美結合,其中將求數列前n項和的常用方法“裂項相消法”與“錯位相減法”結合在一起,考查了綜合分析問題、解決問題的能力.押題依據從而Snan1.當n2時,由Sn1an,得anSnSn1an1an,即an12an,此時數列是首項為a2 、公比為2的等比數列.從而其前n項和Sn2n2 (nN*).解答解解由得bnn2,記C2121220n2n2,則2C2120221n2n1,即n2n900,因為nN*,故n9,從而最小正整數n的值是10.

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