2018屆中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題23 三角形初步試題(A卷含解析)

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1、 三角形初步 一、選擇題 1. ( 山東省棗莊市,4,3分)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,E為BC延長線上一點(diǎn),∠ABC與∠ACE的平分線相交于點(diǎn)D,則∠D等于( ) A.15° B.17.5° C.20° D.22.5° A B D C E 【答案】A. 【逐步提示】本題考查了三角形的一個(gè)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是找出角與角之間的聯(lián)系.根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以得到∠ABC與∠DBE、∠ACE與∠DCE的關(guān)系,再結(jié)合∠DCE-∠DBE=∠D ,∠ACE-∠ABC=∠A,即可找出∠D

2、與∠A的關(guān)系. 【詳細(xì)解答】解:∵∠ABC與∠ACE的平分線相交于點(diǎn)D,∴∠DBE=∠ABC,∠DCE=∠ACE,又∵∠DCE-∠DBE=∠D,∠ACE-∠ABC=∠A,∴∠D=∠A=×30°=15° ,故選擇A . 【解后反思】本題解題的關(guān)鍵是:找到已知角平分線的條件中所涉及的角,與已知角和要求的角之間的聯(lián)系,從而正確求解.在求角度問題時(shí),常常要用到三角形內(nèi)角和等于180°,或三角形外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì),在求角度問題時(shí)有時(shí)應(yīng)用外角的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算更簡單便捷. 【關(guān)鍵詞】角的平分線 ;三角形的外角和;整體思想 2. (四川達(dá)州,8,3分)如圖,將一張等邊三角形紙

3、片沿中位線剪成4個(gè)小三角形,稱為第一次操作;然后將其中的一個(gè)三角形按同樣方式再剪成4個(gè)小三角形,共得到7個(gè)小三角形,稱為第二次操作;再將其中的一個(gè)三角形按同樣方式再剪成4個(gè)小三角形,共得到10個(gè)小三角形,稱為第三次操作;.根據(jù)以上操作,若要得到100個(gè)小三角形,則需要操作的次數(shù)是 A.25 B.33 C.34 D.50 第8題圖 【答案】B 【逐步提示】本題考查了規(guī)律探索型問題以及方程思想,解題的關(guān)鍵是要能通過特殊情況歸納出一般規(guī)律.解題思路是:設(shè)需要操作的次數(shù)為n,根據(jù)圖形探索規(guī)律,用含n的代數(shù)式表示出n次操作得到的三角形的個(gè)數(shù),然后列出方程即可求解. 【詳細(xì)解答】解

4、:設(shè)要得到100個(gè)小三角形需要操作的次數(shù)為n,根據(jù)題意得,3n+1=100,解得n=33.故選擇B. 【解后反思】1.規(guī)律探索問題是指由幾個(gè)特殊的結(jié)論,通過類比、猜想、推理等一系列的數(shù)學(xué)思維活動,探求一般性的規(guī)律.解題時(shí),要善于分析給出的材料信息,理清題目的條件與結(jié)論之間的聯(lián)系,通過觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、歸納,作出符合一定規(guī)律與事實(shí)的推測性猜想,并能驗(yàn)證規(guī)律的合理性、正確性,一般有如下兩種類型: (1)與數(shù)、式有關(guān)的規(guī)律探索:利用已有的一些已知數(shù)或算式之間的關(guān)系,預(yù)測問題的變化趨勢,進(jìn)而猜想、歸納出一般性的規(guī)律. (2)與圖形有關(guān)的規(guī)律探索:從一些特殊的圖形變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的

5、因素,即從圖形的變化特點(diǎn)尋求規(guī)律,并推廣到一般情況. 2.方程思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想,所謂方程思想是指從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手,將問題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系,通過適當(dāng)設(shè)元建立方程(組),然后通過解方程(組)使問題得到解決的思維方式. 【關(guān)鍵詞】規(guī)律探索型問題;方程與函數(shù)思想 3. ( 四川省廣安市,8,3分)下列說法: ①三角形的三條高一定都在三角形內(nèi); ②有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形; ③有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形; ④兩邊及一角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等; ⑤一組對邊平行,另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形. 其中正確的個(gè)數(shù)有( ) A.1個(gè)

6、 B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 【答案】A 【逐步提示】本題考查了三角形的中線、高線、角平分線的概念,矩形的判定,菱形的判定,全等三角形的判定,平行四邊形的判定等,解題的關(guān)鍵是掌握這些概念、定理等. 因?yàn)橹苯侨切闻c鈍角三角形的三條高不都在三角形內(nèi),故①錯(cuò);至少有三個(gè)角是直角的四邊形是才是矩形,故②錯(cuò);③是菱形的定義,正確;滿足④的條件時(shí)有可能形成“邊邊角”的情況,故錯(cuò)誤;等腰梯形滿足“一組對邊平行,另一組對邊相等”,但它不是平行四邊形,故⑤錯(cuò)誤. 【詳細(xì)解答】解:只有③正確,故選擇A. 【解后反思】要理解三角形“三線”的概念,掌握三角形、平行四邊形、矩形、菱

7、形的判定方法,這是正確解題的基礎(chǔ).能畫圖舉反例,以排除不符合條件情形,也是解這類題的基本功,要多思考,勤積累.類似的問題還有: 判斷下列說法是否正確: (1)一組對邊相等且一組對角相等的四邊形是平行四邊形. 解:錯(cuò)誤.如圖1,作△ABC,使AB=AC,在BC上取一點(diǎn)D(D點(diǎn)不與B、C重合且BD≠CD),連接AD.再以A為頂點(diǎn),AD為一邊,作∠EAD,使∠EAD=∠ADC,且AE=DC,連接DE. 由上述畫圖方法,可知△ADC≌△DAE(SAS). 所以DE=AC=AB,∠AED =∠C=∠B. 即四邊形ABCD有一組對邊相等(DE=AB)、一組對角相等(∠AED=∠B),但卻不是平

8、行四邊形(另一組對邊AE和BD不平行也不相等). (2)一組對邊相等,且一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形. 解:錯(cuò)誤.如圖2,畫兩條相交直線,交點(diǎn)為O,在其中一條直線上截取OA=OC,分別過A、C兩點(diǎn)向另一條直線作垂線,垂足分別為E、F.在線段OF上取一點(diǎn)D(D點(diǎn)不與O、F重合),連接CD.再在線段OE的延長線上取一點(diǎn)B,使EB=FD,連接AB. 由上述畫圖方法,易知△COF≌△AOE(AAS),則CF=AE,由“SAS”可判定△CFD≌△AEB,則CD=AB.連接AD、BC,則四邊形ABCD滿足條件,卻不是平行四邊形. (3)一組對角相等,且連接這一組對角的頂點(diǎn)

9、的對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形. 解:錯(cuò)誤.如圖,畫一個(gè)“箏形”ABCD,其中AB=AD,BC=DC且AO≠OC,則該“箏形”滿足條件,但它不是平行四邊形. 【關(guān)鍵詞】 中線、高線、角平分線;矩形的判定;菱形的判定;全等三角形的判定;平行四邊形的判定 4. ( 四川樂山,3,3分)如圖2,CE是△ABC的外角∠ACD的平分線,若∠B=35°,∠ACE=60°,則∠A= ( ). A.35° B.95° C.85° D.75° 【答案】C. 【逐步提示】CE是∠ACD的平分線,并且是△ABC的外角,根據(jù)“三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和

10、”求解. 【詳細(xì)解答】解:∵CE是∠ACD的平分線,∴∠ACD=60°×2=120°,又∵∠ACD是△ABC的外角,∴∠ACD=∠A+∠B,∴∠A =∠ACD-∠B=120°-35°=85°,故選擇C. 【解后反思】三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.求一個(gè)角的度數(shù):(1)當(dāng)問題以三角形為背景時(shí),可利用三角形的內(nèi)角和定理和推論解決;(2)當(dāng)問題中含有平行線時(shí),可利用平行線的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為其它角;即“兩直線平行可得:同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)”根據(jù)角平分線的性質(zhì)求相應(yīng)角的角度. 【關(guān)鍵詞】三角形的內(nèi)角和;角的平分線 二、填空題 1. ( 四川省廣安市,12,3分)

11、如圖,直線l1∥l2,若∠1=130°,∠2=60°,則∠3=___________. 1 2 3 l1 l2 第12題圖 【答案】70° 【逐步提示】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形的外角定理、對頂角性質(zhì)等,解題的關(guān)鍵是掌握這些性質(zhì).如圖,由“兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等”可得∠4=∠1.由三角形外角定理,可得∠4=∠2+∠5,由對頂角相等,可得∠5=∠3,綜合以上結(jié)論,可得∠3=∠1-∠2. 【詳細(xì)解答】解:∵l1∥l2,∴∠4=∠1.∵∠4=∠2+∠5,∠5=∠3,∴∠4=∠2+∠3.∴∠1=∠2+∠3.∴∠3=∠1-∠2=130°-60°=70°.故答案為70°.

12、【解后反思】有關(guān)平行線的求角問題,常常要利用平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和或外角定理、對頂角性質(zhì)實(shí)現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化,使所求的角與已知角從間接聯(lián)系變?yōu)橹苯勇?lián)系,從而得解.相關(guān)知積為: (1)平行線的性質(zhì):兩直線平行,同位角相等;兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等;兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ). (2)三角形的內(nèi)角和等于180°;三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和. (3)對頂角相等. 【關(guān)鍵詞】 平行線的性質(zhì);三角形的外角定理;對頂角性質(zhì) 2. ( 四川省內(nèi)江市,26,12分) 問題引入: (1)如圖①,在△ABC中,點(diǎn)O是∠ABC和∠ACB平分線的交點(diǎn),若∠A=α,則∠BOC=__________

13、__(用α表示); 如圖②,∠CBO=∠ABC,∠BCO=∠ACB,∠A=α,則∠BOC=____________(用α表示). 拓展研究: (2)如圖③,∠CBO=∠DBC,∠BCO=∠ECB,∠A=α,猜想∠BOC=____________(用α表示),并說明理由. (3)BO、CO分別是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分線,它們交于點(diǎn)O,∠CBO=∠DBC,∠BCO=∠ECB,∠A=α,請猜想∠BOC=____________ . 【逐步提示】本題屬于規(guī)律探究題,要求學(xué)生根據(jù)題意,結(jié)合圖形,從探究的角度出發(fā),利用三角形內(nèi)角和、鄰補(bǔ)角的定義、角平分線的定義等知識,分別求出

14、∠BOC. (1)如圖①,利用三角形內(nèi)角和證得∠BOC=90°+∠α.;如圖②,同理證得∠BOC=120°+∠α; (2)如圖③,利用三角形內(nèi)角和與鄰補(bǔ)角的定義證得∠BOC=120°-∠α; (3)同理,證得∠BOC=. 【詳細(xì)解答】解:(1)如圖①,在△ABC中, ∵點(diǎn)O是∠ABC和∠ACB平分線的交點(diǎn), ∴∠CBO=∠ABC,∠BCO=∠ACB. ∵∠A=α, ∴∠BOC=180°-(∠ABC+∠ACB) =180°-(180°-∠A) =180°-(180°-∠α) =180°-90°+∠α =90°+∠α. 如圖②,∵∠CBO=∠ABC,∠BCO=∠ACB,

15、∠A=α, ∴∠BOC=180°-(∠ABC+∠ACB) =180°-(180°-∠A) =180°-(180°-∠α) =180°-60°+∠α =120°+∠α. 故答案為90°+∠α,120°+∠α. (2)如圖③,∵∠CBO=∠DBC,∠BCO=∠ECB,∠A=α, ∴∠BOC=180°-(∠DBC+∠ECB) =180°-[360°-(∠ABC+∠ACB)] =180°-[360°-(180°-∠A)] =180°-(180°+∠α) =180°-60°-∠α =120°-∠α. 故答案為120°-∠α. (3)∵∠CBO=∠DBC,∠BCO=∠ECB,

16、∠A=α, ∴∠BOC=180°-(∠DBC+∠ECB) =180°- [360°-(∠ABC+∠ACB)] =180°- [360°-(180°-∠A)] =180°-(180°+∠α) =×180°-∠α. = 故答案為. 【解后反思】通過解題我們得到關(guān)于三角形內(nèi)、外角等分線有如下規(guī)律: 規(guī)律1:BO、CO分別是△ABC的∠ABC、∠ACB的n等分線,它們交于點(diǎn)O,∠CBO=∠ABC,∠BCO=∠ACB,∠A=α,則∠BOC=; 規(guī)律2:BO、CO分別是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分線,它們交于點(diǎn)O,∠CBO=∠DBC,∠BCO=∠ECB,∠A=α,則∠BOC=. 【關(guān)鍵詞】 三角形的內(nèi)角和;規(guī)律探索;鄰補(bǔ)角;角的平分線 6

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