2018屆中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題五 函數(shù)壓軸題試題

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1、 專題五 函數(shù)壓軸題 類型一 動點函數(shù)圖象問題 此類問題一般是通過分析動點在幾何圖形邊上的運動情況，確定出有關(guān)動點函數(shù)圖象的變化情況．分析此類問題，首先要明確動點在哪條邊上運動，在運動過程中引起了哪個量的變化，然后求出在運動過程中對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，最后根據(jù)函數(shù)表達(dá)式判別圖象的變化． (2016·濟(jì)南)如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝AD＝5，BC＝4，M，N，E分別是AB，AD，CB上的點，AM＝CE＝1，AN＝3.點P從點M出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿折線MB－BE向點E運動，同時點Q從點N出發(fā)，以相同的速度沿折線ND－DC－CE向點E運動，當(dāng)

2、其中一個點到達(dá)后，另一個點也停止運動．設(shè)△APQ的面積為S，運動時間為t s，則S與t之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象為(　　) 【分析】 由點Q從點N出發(fā)，沿折線ND－DC－CE向點E運動，確定出點Q分別在ND，DC，CE運動時對應(yīng)的t的取值范圍，再根據(jù)t所在的取值范圍分別求出其對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式確定對應(yīng)的函數(shù)圖象． 1．(2017·白銀)如圖1，在邊長為4 cm的正方形ABCD中，點P以每秒2 cm的速度從點A出發(fā)，沿AB→BC的路徑運動，到點C停止．過點P作PQ∥BD，PQ與邊AD(或邊CD)交于點Q，PQ的長度y(cm)與點P的運動時間x(s)

3、的函數(shù)圖象如圖2所示．當(dāng)點P運動2.5 s時，PQ的長是( ) 　　 圖1　　　　圖2 A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm 2．(2017·葫蘆島)如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠A＝60°，點P和點Q分別從點B和點C出發(fā)，沿射線BC向右運動，且速度相同，過點Q作QH⊥BD，垂足為H，連接PH.設(shè)點P運動的距離為x(0＜x≤2)，△BPH的面積為S，則能反映S與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致為 ( ) 類型二 二次函數(shù)綜合題 二次函數(shù)的綜合題是中考數(shù)學(xué)的必考問題，一般作為壓軸題出現(xiàn)，常與動點、存在點、相似等相結(jié)

4、合，難度較大，是考生失分的重災(zāi)區(qū)． 1．二次函數(shù)動點問題 (2017·濱州)如圖，直線y＝kx＋b(k，b為常數(shù))分別與x軸、y軸交于點A(－4，0)，B(0，3)，拋物線y＝－x2＋2x＋1與y軸交于點C. (1)求直線y＝kx＋b的函數(shù)表達(dá)式； (2)若點P(x，y)是拋物線y＝－x2＋2x＋1上的任意一點，設(shè)點P到直線AB的距離為d，求d關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求d取最小值時點P的坐標(biāo)； (3)若點E在拋物線y＝－x2＋2x＋1的對稱軸上移動，點F在直線AB上移動，求CE＋EF的最小值． 【分析】 (1)利用待定系數(shù)法可求得直線表達(dá)式； (2)過P作PH⊥A

5、B于點H，過H作HQ⊥x軸，過P作PQ⊥y軸，兩垂線交于點Q，則可證明△PHQ∽△BAO，設(shè)H(m，m＋3)，利用相似三角形的性質(zhì)可得到d與x的函數(shù)表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得d取得最小值時的P點的坐標(biāo)； (3)設(shè)C點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C′，由對稱的性質(zhì)確定出C′點的坐標(biāo)，利用(2)中所求函數(shù)關(guān)系式求得d的值，即可求得CE＋EF的最小值． 解決二次函數(shù)動點問題，首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多少，結(jié)合直線或拋物線的表達(dá)式設(shè)出動點的坐標(biāo)或表示出與動點有關(guān)的線段長度，最后結(jié)合題干中與動點有關(guān)的條件進(jìn)行計算. 3．(2016·東營)在

6、平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點A，C的坐標(biāo)分別是(0，4 (－1，0)，將此平行四邊形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形A′B′OC′. (1)若拋物線過點C，A，A′，求此拋物線的表達(dá)式； (2)點M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，問：當(dāng)點M在何處時，△AMA′的面積最大？最大面積是多少？并求出此時M的坐標(biāo)． 2．二次函數(shù)存在點問題 (2017·臨沂)如圖，拋物線y＝ax2＋bx－3經(jīng)過點A(2，－3)，與x軸負(fù)半軸交于點B，與y軸交于點C，且OC＝3OB. (1)求拋物線的表達(dá)式； (2)點D在y軸上，且∠BDO＝∠BAC，求

7、點D的坐標(biāo)； (3)點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【分析】 (1)利用待定系數(shù)法可求得直線表達(dá)式；(2)先求出直線AB的表達(dá)式，然后求出直線AB與y軸的交點坐標(biāo)，進(jìn)而求出OB＝OD，得出點D的坐標(biāo)；(3)以AB為對角線和以AB為邊分別討論，從而得出結(jié)論． 解決二次函數(shù)存在點問題，一般先假設(shè)該點存在，根據(jù)該點所在的直線或拋物線的表達(dá)式，設(shè)出該點的坐標(biāo)；然后用該點的坐標(biāo)表示出與該點有關(guān)的線段長或其他點的坐標(biāo)等；最后結(jié)合題干中其他條件列出等式，

8、求出該點的坐標(biāo)，然后判別該點坐標(biāo)是否符合題意，若符合題意，則該點存在，否則該點不存在. 4．(2016·日照)如圖1，拋物線y＝－[(x－2)2＋n]與x軸交于點A(m－2，0)和B(2m＋3，0)(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C，連接BC. (1)求m，n的值； (2)如圖2，點M，P分別為線段BC和線段OB上的動點，連接PM，PC，是否存在這樣的點P，使△PCM為等腰三角形、△PMB為直角三角形同時成立？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 3．二次函數(shù)相似問題 (2017·棗莊)如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于

9、點A和點B，與y軸交于點C，點B坐標(biāo)為(6，0)，點C坐標(biāo)為(0，6)，點D是拋物線的頂點，過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD. (1)求拋物線的表達(dá)式及點D的坐標(biāo)； (2)點F是拋物線上的動點，當(dāng)∠FBA＝∠BDE時，求點F的坐標(biāo)； (3)若點M是拋物線上的動點，過點M作MN∥x軸與拋物線交于點N，點P在x軸上，點Q在坐標(biāo)平面內(nèi)，以線段MN為對角線作正方形MPNQ，請寫出點Q的坐標(biāo)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　 備用圖 【分析】 (1)由B，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線表達(dá)式，再求其頂點D即可； (2)過F作FG⊥x軸于點G，可設(shè)出F點

10、坐標(biāo)，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于F點坐標(biāo)的方程，可求得F點的坐標(biāo)； (3)由M，N兩點關(guān)于對稱軸對稱，可知點P為對稱軸與x軸的交點，點Q在對稱軸上，可設(shè)出Q點的坐標(biāo)，則可表示出M的坐標(biāo)，代入拋物線表達(dá)式可求得Q點的坐標(biāo)． 二次函數(shù)相似問題常與動點、存在點相結(jié)合，利用動點或存在點的坐標(biāo)表示出與相似三角形有關(guān)的線段長，要注意邊的對應(yīng)有多種可能，對每一種情況都要具體分析討論，然后利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例列出方程，通過解方程求得結(jié)果，還要考慮求出的結(jié)果是否符合題意及實際情況． 5．(2016·濟(jì)南)如圖1，拋物線y＝ax2＋(a＋3)x＋3

11、(a≠0)與x軸交于點A(4，0)，與y軸交于點B.在x軸上有一動點E(m，0)(0

12、點D，E為二次函數(shù)圖象上任一點． (1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式； (2)若點E在直線BC的上方，過點E分別作BC和y軸的垂線，交直線BC于不同的兩點F，G(F在G的左側(cè))，求△EFG的周長的最大值； (3)是否存在點E，使得△EDB是以BD為直角邊的直角三角形，如果存在，求點E的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由． 參考答案 【例1】 如圖，過點D作DF⊥AB于點F，過點Q作QG⊥AB于點G， 當(dāng)0≤t≤2時，點Q在線段ND上． ∵AB∥CD，∠B＝90°， ∴四邊形BCDF是矩形， ∴DF＝BC＝4， ∴AF＝＝3， ∴DC＝BF＝2， ∴AQ＝A

13、N＋NQ＝3＋t，AP＝AM＋MP＝1＋t. ∵QG∥DF，∴△AQG∽△ADF， ∴＝，即＝， ∴QG＝(3＋t)，∴S＝AP·QG＝×(1＋t)×(3＋t)＝t2＋t＋，且當(dāng)t＝2時，點Q恰好運動到點D，S＝6； 當(dāng)2＜t≤4時，點Q在線段DC上， ∴S＝AP·BC＝×(1＋t)×4＝2t＋2； 當(dāng)4＜t≤5時，點P，Q均在BC上運動，BP＝CQ＝t－4， ∴PQ＝BC－BP－CQ＝12－2t， ∴S＝AB·PQ＝×5×(12－2t)＝－5t＋30，且當(dāng)t＝5時，點Q運動到點E后停止運動，此時S＝5. 綜上所述，S＝ 由函數(shù)關(guān)系式，S與t之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象為C或D

14、. ∵t＝2時，S＝6；t＝5時，S＝5，6＞5， ∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象為D.故選D. 【變式訓(xùn)練】 1．B　2.A 【例2】 (1)∵y＝kx＋b經(jīng)過A(－4，0)，B(0，3)， ∴解得 ∴直線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x＋3. (2)如圖，過點P作PH⊥AB于點H，過點H作x軸的平行線MN，分別過點A，P作MN的垂線段，垂足分別為M，N. 設(shè)H(m，m＋3)，則M(－4，m＋3)，N(x，m＋3)，P(x，－x2＋2x＋1)． ∵PH⊥AB，∴∠PHN＋∠AHM＝90°. ∵AM⊥MN，∴∠MAH＋∠AHM＝90°， ∴∠MAH＝∠PHN. ∵∠AMH

15、＝∠PNH＝90°，∴△AMH∽△HNP. ∵M(jìn)A∥y軸，∴△MAH∽△OBA， ∴△OBA∽△NHP，∴＝＝， ∴＝＝， 整理得d＝x2－x＋， 當(dāng)x＝時，d最小，即P(，)． (3)如圖，作點C關(guān)于直線x＝1的對稱點C′，過點C′作C′F⊥AB于F，交拋物線的對稱軸x＝1于點E，此時CE＋CF的值最?。? 根據(jù)對稱性，易知點C′(2，1)． ∵點C′在拋物線上， ∴由(2)得，C′F＝×22－2＋＝， 即CE＋EF的最小值為. 【變式訓(xùn)練】 3．解：(1)∵平行四邊形ABOC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形A′B′OC′，A(0，4)，C(－1，0)，

16、∴A′(4，0)，B(1，4)． 設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又拋物線過點C，A，A′， ∴解得 ∴拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋3x＋4. (2)如圖，連接AA′，設(shè)點M的位置如圖所示，過點M作x軸的垂線交AA′于點N，連接MA，MA′， ∵點M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點， ∴設(shè)點M(x，－x2＋3x＋4)，其中0＜x＜4. 設(shè)直線AA′的表達(dá)式為y＝kx＋m， 則解得 ∴直線AA′的表達(dá)式為y＝－x＋4. ∵M(jìn)N⊥x軸，∴點M，N的橫坐標(biāo)相同， ∴點N(x，－x＋4)， ∴MN＝－x2＋3x＋4－(－x＋4)＝－x2＋4x， ∴S△AMA

17、′＝S△AMN＋S△A′MN ＝(x－0)(－x2＋4x)＋(4－x)(－x2＋4x) ＝－2x2＋8x＝－2(x－2)2＋8， ∴當(dāng)x＝2時，△AMA′的面積最大，最大面積是8. 當(dāng)x＝2時，y＝－22＋3×2＋4＝6，即M(2，6)． 【例3】 (1)當(dāng)x＝0時，y＝－3，∴C(0，－3)． ∵OC＝3OB，∴OB＝1，∴B(－1，0)， ∴解得 ∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2－2x－3. (2)設(shè)直線AB的表達(dá)式為y＝mx＋n， 則解得 ∴直線AB的表達(dá)式為y＝－x－1， ∴直線AB與y軸的交點E(0，－1)， ∴EC＝AC＝2，∠BAC＝45°，∴∠BDO＝∠BA

18、C＝45°. ∵點D在y軸上，∴OB＝OD＝1. ∴D點的坐標(biāo)為(0，1)或(0，－1)． (3)存在．如圖， ①AB為對角線時，易得平行四邊形AM1BN1， ∴M1(0，－3)； ②AB為一邊時，在平行四邊形ABM2N2中，點A的橫坐標(biāo)是2，點N2的橫坐標(biāo)是1，點B的橫坐標(biāo)是－1，由圖形平移前后點的坐標(biāo)關(guān)系，得點M2的橫坐標(biāo)是 －2. ∴點M2的縱坐標(biāo)y＝(－2)2－2×(－2)－3＝5， ∴點M2(－2，5)； 在平行四邊形ABN3M3中，點B的橫坐標(biāo)是－1，點N3的橫坐標(biāo)是1，點A的橫坐標(biāo)是2，由圖形平移前后點的坐標(biāo)關(guān)系，得點M3的橫坐標(biāo)是4. ∴點M3的縱坐標(biāo)

19、y＝42－2×4－3＝5，∴點M3(4，5)． 綜上所述，點M的坐標(biāo)為(0，－3)，(－2，5)或(4，5)． 【變式訓(xùn)練】 4．解：(1)∵拋物線的對稱軸是x＝2， ∴m－2＋2m＋3＝4，解得m＝1.∴A(－1，0), B(5，0)． 把A(－1，0)代入拋物線表達(dá)式， 得－(9＋n)＝0，解得n＝－9.∴m＝1，n＝－9. (2)假設(shè)點P存在，設(shè)點P(x0，0)(0

20、角頂點時，則 CM＝MP. ∵△PMB∽△COB，∴＝＝， ∴PM＝(5－x0)，BM＝(5－x0)， ∴CM＝－(5－x0)＝. 則(5－x0)＝，解得x0＝.∴P(，0)． 綜上所述，滿足條件的點P的坐標(biāo)為(，0)或(，0)． 【例4】 (1)將點B(6，0)，C(0，6)代入y＝－x2＋bx＋c， 得解得 ∴拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋2x＋6. ∵y＝－x2＋2x＋6＝－(x－2)2＋8， ∴點D的坐標(biāo)為(2，8)． (2)如圖，當(dāng)點F在x軸上方時，過F作FG⊥x軸于G，連接BF. 設(shè)F點的坐標(biāo)為(x，－x2＋2x＋6)， ∵∠FBA＝∠BDE， ∠FG

21、B＝∠BED＝90°， ∴△FBG∽△BDE， ∴＝. ∵點B(6，0)，點D(2，8)， ∴點E(2，0)，BE＝4，DE＝8，OB＝6， ∴＝，解得x1＝－1，x2＝6(舍去)， ∴點F的坐標(biāo)為(－1，)． 當(dāng)點F在x軸下方時， 同理可得點F的坐標(biāo)為(－3，－)． 綜上可知，滿足條件的點F為(－1，)或(－3，－)． (3)設(shè)對角線MN，PQ交于點O′，如圖． ∵點M，N關(guān)于拋物線對稱軸對稱，且四邊形MPNQ為正方形， ∴點P為拋物線對稱軸與x軸的交點，點Q在拋物線對稱軸上，設(shè)點Q的坐標(biāo)為(2，2n)，則點M的坐標(biāo)為(2－n，n)． ∵點M在拋物線y＝－x2＋

22、2x＋6的圖象上， ∴n＝－(2－n)2＋2(2－n)＋6， 化簡得n2＋2n－16＝0， 解得n1＝－1＋，n2＝－1－， ∴滿足條件的點Q有兩個，坐標(biāo)分別為 Q1(2，－2＋2)或Q2(2，－2－2)． 【變式訓(xùn)練】 5．解：(1)∵點A(4，0)在拋物線y＝ax2＋(a＋3)x＋3上， ∴0＝16a＋4(a＋3)＋3，解得a＝－. ∴拋物線的表達(dá)式是y＝－x2＋x＋3， 令x＝0，得y＝3， ∴B(0，3)． 設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式是y＝kx＋b， 則解得 故直線AB的函數(shù)表達(dá)式是y＝－x＋3. (2)由E(m，0)， 則N(m，－m＋3)，P(m，－m

23、2＋m＋3)， ∴PN＝－m2＋3m，AE＝4－m，NE＝－m＋3， ∴AN＝＝. ∵∠NEA＝∠NMP，∠ENA＝∠MNP， ∴△ENA∽△MNP，∴＝＝. 代入整理，得m2－6m＋8＝0. 解得m＝2或m＝4(舍去)． (3)如圖，在線段OB上取一點C，使OC＝OE′， 連接CE′，AC， 由(2)知，m＝2，∴OE′＝OE＝2. ∵OB＝3，∴＝. ∵OC＝OE′， ∴＝. ∵∠COE′＝∠E′OB， ∴△COE′∽△E′OB， ∴＝＝，∴CE′＝E′B， ∴E′A＋E′B＝E′A＋E′C≥AC， ∴當(dāng)E′恰好在AC上時，E′A＋E′B的值最小，最小

24、值為. 6．解：(1)∵二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點A(－1，0)， B(4，0)，C(－2，－3)， ∴解得 故這個二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝－x2＋x＋2. (2)設(shè)BC所在直線的表達(dá)式為y＝kx＋n， 把B(4，0)，C(－2，－3)代入，得 解得 則直線BC的表達(dá)式為y＝x－2. 當(dāng)x＝0時，y＝x－2＝－2，即D(0，－2)． 在Rt△OBD中，OD＝2，BO＝4， ∴BD＝＝2. 設(shè)點E(x，－x2＋x＋2)，點G(x0，x0－2)， ∵EG⊥y軸，∴－x2＋x＋2＝x0－2， ∴x0＝－x2＋3x＋8，∴EG＝x0－x＝－x2＋2x＋8. ∵

25、EG⊥y軸，∴EG∥x軸，∴∠EGF＝∠DBO. 又∵∠EFG＝∠DOB＝90°，∴△EFG∽△DOB， ∴＝＝，∴EF＝EG，F(xiàn)G＝EG. △EFG的周長＝EF＋FG＋EG ＝EG＋EG＋EG＝(＋1)(－x2＋2x＋8) ＝(＋1)[－(x－1)2＋9]． 即當(dāng)x＝1時，△EFG的周長最大，最大值是＋9. (3)假設(shè)存在點E，使△EDB是以BD為直角邊的直角三角形． 連接AD，則AD＝. 由(2)知，AB＝5，BD＝2. ∴AD2＋BD2＝AB2， ∴△ABD是以BD為直角邊的直角三角形． 設(shè)直線AD的表達(dá)式為y＝mx＋p，代入點A，D坐標(biāo)，得解得 故直線AD的表達(dá)式為y＝－2x－2. 聯(lián)立解得或 ∴當(dāng)點E的坐標(biāo)為(－1，0)或(8，－18)時，△EDB是以BD為直角邊的直角三角形． 當(dāng)直線AD向上平移q個單位，使y＝－2x－2＋q恰好經(jīng)過點B， 則0＝－2×4－2＋q，解得q＝10， ∴經(jīng)過點B且恰好與BD垂直的直線表達(dá)式為y＝－2x＋8. 聯(lián)立 解得或 ∴當(dāng)點E的坐標(biāo)為(3，2)時，△EDB是以BD為直角邊的直角三角形；當(dāng)點E的坐標(biāo)為(4，0)時，與點B重合，不能構(gòu)成三角形，故舍去． 綜上所述，點E的坐標(biāo)為(－1，0)或(8，－18)或(3，2)時，△EDB是以BD為直角邊的直角三角形． 13