高中物理競(jìng)賽輔導(dǎo)-溫度和氣體分子運(yùn)動(dòng)論.doc

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溫度和氣體分子運(yùn)動(dòng)論 1。1 溫度 1．1．1、平衡態(tài)、狀態(tài)參量 溫度是表示物體冷熱程度的物理量。凡是跟溫度有關(guān)的現(xiàn)象均稱為熱現(xiàn)象。熱現(xiàn)象是自然界中的一種普遍現(xiàn)象。熱學(xué)是研究熱現(xiàn)象規(guī)律的科學(xué)。熱學(xué)研究的對(duì)象都是由大量分子組成的宏觀物體，稱為熱力學(xué)系統(tǒng)或簡(jiǎn)稱系統(tǒng)。在不受外界影響的條件下，系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不再隨時(shí)間變化的狀態(tài)稱為平衡態(tài)，否則就稱為非平衡態(tài)?？梢娤到y(tǒng)平衡態(tài)的改變依賴于外界影響(作功、傳熱)。系統(tǒng)處于平衡態(tài)，所有宏觀物理都具有確定的值，我們就可以選擇其中幾個(gè)物理量來描述平衡態(tài)，這幾個(gè)量稱為狀態(tài)參量。P、V、T就是氣體的狀態(tài)參量。氣體的體積V是指盛放氣體的容器的容積，國(guó)際單位制中，體積的單位是m。 1m=103L=10cm 氣體的壓強(qiáng)P是氣體作用在容器的單位面積器壁上的平均壓力，單位是p。 1atm=76cmHg=1.01310p 1mmHg=133.3p 1．1．2、 溫標(biāo) 溫度的數(shù)值表示法稱為溫標(biāo)。建立溫標(biāo)的三要素是： 1、選擇某種物質(zhì)的一個(gè)隨溫度改變發(fā)生單調(diào)顯著變化的屬性來標(biāo)志溫度，制作溫度計(jì)。例如液體溫度計(jì)T(V)、電阻溫度計(jì)T(R)、氣體溫度計(jì)T(P)、T(V)等等。這種選用某種測(cè)溫物質(zhì)的某一測(cè)溫屬性建立的溫標(biāo)稱為經(jīng)驗(yàn)溫標(biāo)。 2、規(guī)定固定點(diǎn)，即選定某一易于復(fù)現(xiàn)的特定平衡態(tài)指定其溫度值。1954年以前，規(guī)定冰點(diǎn)為0℃，汽點(diǎn)為100℃，其間等分100份，從而構(gòu)成舊攝氏溫標(biāo)。1954年以后，國(guó)際上選定水的三相點(diǎn)為基本固定點(diǎn)，溫度值規(guī)定為273.16K。這樣0℃與冰點(diǎn)，100℃與汽點(diǎn)不再嚴(yán)格相等，百分溫標(biāo)的概念已被廢棄。 3、規(guī)定測(cè)溫屬性隨溫度變化的函數(shù)關(guān)系。如果某種溫標(biāo)(例如氣體溫度計(jì))選定為線性關(guān)系，由于不同物質(zhì)的同一屬性或者同一物質(zhì)的不同屬性隨溫度變化的函數(shù)關(guān)系不會(huì)相同，因而其它的溫標(biāo)就會(huì)出現(xiàn)非線性的函數(shù)關(guān)系。 1．1．3、理想氣體溫標(biāo) 定容氣體溫度計(jì)是利用其測(cè)溫泡內(nèi)氣體壓強(qiáng)的大小來標(biāo)志溫度的高低的。 T(P)=P 是比例系數(shù)，對(duì)水的三相點(diǎn)有 T=P=273.16K P是273.16K時(shí)定容測(cè)溫泡內(nèi)氣體的壓強(qiáng)。于是 T(P)=273.16K (1) 同樣，對(duì)于定壓氣體溫度計(jì)有 T(V)=273.16K (2) 是273.16K時(shí)定壓測(cè)溫泡內(nèi)氣體的體積。 用不同溫度計(jì)測(cè)量同一物體的溫度，除固定點(diǎn)外，其值并不相等。對(duì)于氣體溫度計(jì)也有。但是當(dāng)測(cè)溫泡內(nèi)氣體的壓強(qiáng)趨于零時(shí)，所有氣體溫度計(jì)，無論用什么氣體，無論是定容式的還是定壓式的，所測(cè)溫度值的差別消失而趨于一個(gè)共同的極限值，這個(gè)極限值就是理想氣體溫標(biāo)的值，單位為K，定義式為 T=T(V)=T(P) =273.16K=273.16K (3) 1．1．4、熱力學(xué)溫標(biāo) 理想氣體溫標(biāo)雖與氣體個(gè)性無關(guān)，但它依賴于氣體共性即理想氣體的性質(zhì)。利用氣體溫度計(jì)通過實(shí)驗(yàn)與外推相結(jié)合的方法可以實(shí)現(xiàn)理想氣體溫標(biāo)。但其測(cè)溫范圍有限(1K～1000℃)，T＜1K，氣體早都已液化，理想氣體溫標(biāo)也就失去意義。 國(guó)際上規(guī)定熱力學(xué)溫標(biāo)為基本溫標(biāo)，它完全不依賴于任何測(cè)溫物質(zhì)的性質(zhì)，能在整個(gè)測(cè)溫范圍內(nèi)采用，具有“絕對(duì)”的意義，有時(shí)稱它為絕對(duì)溫度。在理想氣體溫標(biāo)適用的范圍內(nèi)，熱力學(xué)溫標(biāo)與理想氣體溫標(biāo)是一致的，因而可以不去區(qū)分它們，統(tǒng)一用T(K)表示。 國(guó)際上還規(guī)定攝氏溫標(biāo)由熱力學(xué)溫標(biāo)導(dǎo)出。其關(guān)系式是： t=T-273.15 (4) 這樣，新攝氏溫標(biāo)也與測(cè)溫物質(zhì)性質(zhì)無關(guān)，能在整個(gè)測(cè)溫范圍內(nèi)使用。目前已達(dá)到的最低溫度為510K，但是絕對(duì)零度是不可能達(dá)到的。 例1、定義溫標(biāo)t與測(cè)溫參量X之間的關(guān)系式為t=ln(kX),k為常數(shù) 試求：(1)設(shè)X為定容稀薄氣體的壓強(qiáng)，并假定水的三相點(diǎn)，試確定t與熱力學(xué)溫標(biāo)之間的關(guān)系。(2)在溫標(biāo)t中，冰點(diǎn)和汽點(diǎn)各為多少度；(3)在溫標(biāo)t中，是否存在零度？ 解：(1)設(shè)在水三相點(diǎn)時(shí)，X之值是，則有273．16=In(kX)將K值代入溫標(biāo)t定義式，有 (2) 熱力學(xué)溫標(biāo)可采用理想氣體溫標(biāo)定義式，X是定容氣體溫度計(jì)測(cè)溫泡中稀薄氣體壓強(qiáng)。故有 (3) 因測(cè)溫物質(zhì)是定容稀薄氣體，故滿足X→0的要求，因而(2)式可寫成 (4) 這是溫標(biāo)與溫標(biāo)T之間關(guān)系式。 (2)在熱力學(xué)溫標(biāo)中，冰點(diǎn)，汽點(diǎn)。在溫標(biāo)中其值分別為 (3)在溫標(biāo)中是否存在零度？令=0，有 低于1K任何氣體都早已液化了，這種溫標(biāo)中=0的溫度是沒有物理意義的。 1-2 氣體實(shí)驗(yàn)定律 1．2．1、玻意耳定律 一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度保持不變時(shí)，它的壓強(qiáng)和體積的乘積是一個(gè)常數(shù)，式中常數(shù)C由氣體的種類、質(zhì)量和溫度決定。 PV 貯氣筒 b 圖 1-2-1 抽氣與打氣問題的討論。 簡(jiǎn)單抽氣機(jī)的構(gòu)造由圖1-2-1示意，它由一個(gè)活塞和兩個(gè)閥門組成。當(dāng)活塞向上提升時(shí)，a閥門打開，貯氣筒與抽氣機(jī)相通，氣體膨脹減壓，此時(shí)b閥門被關(guān)閉。當(dāng)活塞向下壓縮時(shí)，b閥門打開，a閥門關(guān)閉，抽氣機(jī)內(nèi)的氣體被壓出抽氣機(jī)，完成一次抽氣。貯氣筒被抽氣的過程，貯氣筒內(nèi)氣體質(zhì)量不斷在減小，氣體壓強(qiáng)也不斷減小。設(shè)第一次抽氣后貯氣筒內(nèi)氣壓，第n次抽氣后貯氣筒內(nèi)氣壓，則有： 整理得 PV 貯氣筒 b 圖1-2-2 簡(jiǎn)單壓氣機(jī)與抽氣機(jī)的結(jié)構(gòu)相似，但作用相反。圖1-2-2示意，當(dāng)活 塞上提時(shí)，a閥門打開，b閥門關(guān)閉，外界空氣進(jìn)入壓氣機(jī)中，活塞下壓時(shí)，壓氣機(jī)內(nèi)空氣被壓入貯氣筒，而此時(shí)閥門a是關(guān)閉的，這就完成了一次壓氣過程。每次壓氣機(jī)壓入貯氣筒的氣體是 ，故 1．2．2、蓋—呂薩克定律 一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)壓強(qiáng)保持不變時(shí)，溫度每升高1℃，其體積的增加量等于0℃時(shí)體積的。若用表示0℃時(shí)氣體的體積，V表示t℃的體積，則。若采用熱力學(xué)溫標(biāo)，則273+t為攝氏溫度t℃。所對(duì)應(yīng)的熱力學(xué)溫度T，273為0℃所對(duì)應(yīng)的熱力學(xué)溫度。于是，蓋—呂薩克定律可寫成。若溫度為T時(shí)，體積為；溫度為時(shí)，體積為，則有 或。 故蓋—呂薩克定律也可表達(dá)為：一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)壓強(qiáng)保持不變時(shí)，它的體積與熱力學(xué)溫標(biāo)成正比。 1．2．3、查理定律 一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)體積保持不變時(shí)，它的壓強(qiáng)與熱力學(xué)溫度成正比 式中常數(shù)C由氣體的種類、質(zhì)量和體積決定。 汞柱移動(dòng)問題的討論： 一根兩端封閉、粗細(xì)均勻的石英管，豎直放置。內(nèi)有一段水銀柱，將管隔成上下兩部分。下方為空氣，上方為一種可分解的雙原子分子氣體。該雙原子分子氣體的性質(zhì)為：當(dāng)＞時(shí)，其分子開始分解為單原子分子(仍為氣體)。用表示時(shí)的雙原子分子數(shù)，表示時(shí)分解了的雙原子分子數(shù)，其分解規(guī)律為當(dāng)△T很小時(shí)，有如下關(guān)系：。已知初始溫度為，此時(shí)下方的氣柱長(zhǎng)度為，上方氣柱長(zhǎng)度為，水銀柱產(chǎn)生的壓強(qiáng)為下方氣壓的倍。試討論當(dāng)溫度由開始緩慢上升時(shí)，水銀柱將上升還是下降。 假設(shè)水銀柱不動(dòng)。當(dāng)溫度為時(shí)，下方氣體壓強(qiáng)為，溫度升至，氣體壓強(qiáng)。水銀柱壓強(qiáng)為，故當(dāng)T=時(shí)，上方氣體壓強(qiáng)為，當(dāng)溫度升至，有個(gè)雙原子氣體分子分解為個(gè)單原子氣體分子，故氣體分子數(shù)由增至個(gè)。令此時(shí)壓強(qiáng)為，管橫截面積為S，則有： 解得 ， 因△T很小，故項(xiàng)起主導(dǎo)作用，而項(xiàng)的影響較之第一項(xiàng)要小得多，故從分析如下：①當(dāng)＞時(shí)，＜0時(shí)，水銀柱上升，②當(dāng)＜時(shí)，＞0水銀柱下降。③當(dāng)=時(shí)，＞0水銀柱下降。 以上三個(gè)實(shí)驗(yàn)定律只能反映實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)的客觀事實(shí)，它們都具有一定的近似性和局限性。對(duì)于一般的氣體，只有當(dāng)壓強(qiáng)不太大，溫度不太低時(shí)，用三個(gè)定律求出的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)才符合得很好。如果壓強(qiáng)很大或溫度很低時(shí)，用這三個(gè)定律求出的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果就會(huì)有很大的偏差。 1．2．4、理想氣體 它是能夠準(zhǔn)確遵守氣體實(shí)驗(yàn)定律的一個(gè)氣體的理論模型。 對(duì)查理得律，設(shè)P和分別表示和時(shí)氣體壓強(qiáng)，則有 ， 對(duì)蓋—呂薩拉定律，設(shè)和分別表示和時(shí)氣體的體積，則有 ， Po Lo 圖1-2-3 n0 對(duì)理想氣體，有 例1、一個(gè)質(zhì)量m=200.0kg、長(zhǎng)=2.00m的薄底大金屬桶倒扣在寬曠的水池底部(圖1-2-3)桶內(nèi)的橫截面積(桶的容積為)，桶本身(桶壁與桶底)的體積，桶內(nèi)封有高度的空氣，池深，大氣壓強(qiáng)水柱高，水的密度，重力加速度g取。若用圖中所示吊繩將桶上提，使桶底能到達(dá)水面處，則繩拉力所需做的功有一最小值，試求從開始到繩拉力剛完成此功的過程中，桶和水(包括池水和桶內(nèi)水)的機(jī)械能改變了多少(結(jié)果要保留三位有效數(shù)字)。不計(jì)水阻力，設(shè)水溫很低，不計(jì)其飽和蒸氣壓的影響，并設(shè)水溫上下均勻且保持不變。 解：在上提過程中，桶內(nèi)空氣壓強(qiáng)減小，體積將增大，從而對(duì)桶和桶內(nèi)空氣(空氣質(zhì)量不計(jì))這一整體的浮力將增大。本題若存在桶所受浮力等于重力的位置，則此位置是桶的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，再稍上提，浮力將大于重力，桶就會(huì)上浮。從這時(shí)起，繩不必再拉桶，桶會(huì)在浮力作用下，上浮到桶底到達(dá)水面并冒出。因此繩對(duì)桶的拉力所需做的最小功的過程，就是緩慢地將桶由池底提高到浮力等于重力的位置所歷的過程。 H L` 圖1-2-4 下面先看這一位置是否存在。如果存在的話，如圖1-2-4所示，設(shè)在此位置時(shí)桶內(nèi)空氣的高度為，因浮力等于重力，應(yīng)有 (1) 代入已知數(shù)據(jù)可得 (2) 設(shè)此時(shí)桶的下邊緣距池底的高度H，由?！R定律可知 (3) 由(2)、(3)式得到 H=12.24m (4) 因?yàn)镠＜，即整個(gè)桶仍浸在水中，可知存在上述浮力等于重力的位置。 現(xiàn)在要求將桶由池底緩慢地提高到H處桶及水的機(jī)械能的增量△E。△E包括三部分：(1)桶勢(shì)能的增量；(2)在H高時(shí)桶本身排開的水可看作下降去填充在池底時(shí)桶本身所占空間而引起水勢(shì)能的增量；(3)在H高度時(shí)桶內(nèi)空氣所排開的水，可看作一部分下降去填充在池底時(shí)空氣所占的空間，由于空氣膨脹的那部分上升到水池表面，由此引起水勢(shì)的增量。則 ； ； 。 1-3 理想氣體狀態(tài)方程 1．3．1、理想氣體狀態(tài)方程 反映氣體在平衡態(tài)下狀態(tài)參量之間規(guī)律性聯(lián)系的關(guān)系式稱為氣態(tài)方程。我們知道，理想氣體狀態(tài)方程可在氣體實(shí)驗(yàn)定律的基礎(chǔ)上得到，一定質(zhì)量的理想氣體的兩平衡參量之間的關(guān)系式為 （5） 在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)，，1mol任何氣體的體積m3mol-1。 因此vmol氣體在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的體積為，由(5)式可以得出： 由此得到理想氣體狀態(tài)方程或稱克拉珀龍方程： 式中R稱為摩爾氣體恒量，它表示1mol氣體在標(biāo)準(zhǔn)狀況的的值，其值為 推論：1、1mol的任何物質(zhì)含有的粒子數(shù)，這稱為阿伏伽德羅常數(shù)。設(shè)質(zhì)量為m、摩爾質(zhì)量為M的氣體，其分子數(shù)為N，則此氣體的摩爾數(shù)為 (6) 同時(shí)引用玻耳茲曼常數(shù) k的物理意義：1個(gè)分子在標(biāo)況下的。 將(6)式代入(5)式，可以得到 (7) 或者 (8) 2、氣體密度：由(5)式可以得到 (9) 例如空氣的平均摩爾質(zhì)量，在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下空氣密度為 由(5)式可知，對(duì)于理想氣體，可應(yīng)用氣態(tài)方程的另一形式，為 (10) 3、氣體的分合關(guān)系：無論是同種還是異種理想氣體，將質(zhì)量為m，狀態(tài)為PVT的理想氣體被分成若干部分()時(shí)，則有 (11) 1．3．2、混合理想氣體狀態(tài)方程 1、道爾頓分壓定律指出：混合氣體的壓強(qiáng)等于各組分的分壓強(qiáng)之和。這條實(shí)驗(yàn)定律也只適用于理想氣體。即 (12) 其中每一部分的氣態(tài)方程為 (13) 混合理想體氣狀態(tài)方程與單一成分的理想氣體狀態(tài)方程形式相同，但M為平均摩爾質(zhì)量。 (14) 由于混合氣體的摩爾數(shù)應(yīng)是各組分的摩爾數(shù)之和。因此混合氣體的平均摩爾質(zhì)量M有 (15) 由(1-20)式和(1-19)式可得混合氣體的分壓強(qiáng)： (16) 1．3．3、混合氣體的狀態(tài)方程 如果有n種理想氣體，分開時(shí)的狀態(tài)分別為(、、)，(、、)，…，(、、)，將它們混合起來后的狀態(tài)為P、V、T，那么，有 如果是兩部分氣體混合后再分成的部分，則有 例1、一根一端封閉的玻璃管長(zhǎng)96cm，內(nèi)有一段20cm的水銀柱。當(dāng)溫度為27C且開口端向上時(shí)，被封閉的氣柱長(zhǎng)60cm。試問溫度至少為多少度，水銀柱才可從管中全部溢出。 解：設(shè)氣體溫度為T時(shí)，管內(nèi)的水銀柱高度為x，x＜20cm，大氣壓強(qiáng)。 (1) 得到 (2) 其中P以cmHg為單位，長(zhǎng)度以cm為單位。 要求x有實(shí)數(shù)解的條件 400+4(7696-)≥0 可見≤，≥時(shí)，管內(nèi)氣體可以形成平衡狀態(tài)。反之，T＞因而x＜時(shí)，管內(nèi)氣體壓強(qiáng)總是(76+x)cmHg，(1)式不再成立，平衡態(tài)無法建立而導(dǎo)致非平衡狀態(tài)，水銀柱將全部溢出。 例2、設(shè)在恒溫0℃下，測(cè)得三甲胺的密度隨壓強(qiáng)變化的數(shù)據(jù)如下表所示，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)要求三甲胺的摩爾質(zhì)量。 0.2 0.4 0.6 0.8 0.5336 1.0790 1.6363 2.2054 解：為了準(zhǔn)確測(cè)定氣體的摩爾質(zhì)量，必須把實(shí)際氣體的壓強(qiáng)外推到零(P→0)時(shí)應(yīng)用理想氣體狀態(tài)方程，即由(1-15)式有 (1) 為了求出P→0時(shí)()的極限值，可將上述數(shù)據(jù)作如下變換： 0.2 0.4 0.6 0.8 2.6680 2.6975 2.7272 2.7568 現(xiàn)以為縱坐標(biāo)，P為橫作標(biāo)，作出-P圖形(圖1-3-1)，將圖中曲線外推到P→0得到 2.75 2.70 2.65 2.60 0.8 0.6 0.4 0.2 0 P(atm) 圖1-3-1 將上述結(jié)果代入(1)式可得 即三甲胺的分子量為59.14。 1.4 氣體分子運(yùn)動(dòng)論 1. 4.1、 分子運(yùn)動(dòng)論的基本點(diǎn) 1、宏觀物體由大量分子組成。分子直徑的數(shù)量級(jí)一般為，分子質(zhì)量為。在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，氣體分子的數(shù)密度為 2、物體內(nèi)的分子永不停息地作無規(guī)則運(yùn)動(dòng)。這是根據(jù)布朗運(yùn)動(dòng)和擴(kuò)散現(xiàn)象得出的結(jié)論。實(shí)驗(yàn)表明擴(kuò)散的快慢和布朗運(yùn)動(dòng)的激烈程度與溫度的高低有明顯的關(guān)系。由此常把大量子的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)稱為熱運(yùn)動(dòng)，熱運(yùn)動(dòng)是物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的一種基本形式，熱現(xiàn)象是它的宏觀表現(xiàn)。氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的平均速率與溫度的關(guān)系為 常溫下， 。 3、分子之間存在的相互作用力。分子之間同時(shí)存在引力和斥力，它們都隨距離的增大而減小。其合力具體表現(xiàn)為相吸引還是相排斥，取決于分子間的距離。當(dāng)時(shí)，合力為零，分子間的距離的位置稱為平衡位置；當(dāng)r＞時(shí)，分子力表現(xiàn)引力；當(dāng)r＜時(shí)，分子力表現(xiàn)為斥力；當(dāng)r＞時(shí)，分子力可忽略不計(jì)。分子力是保守力，存在著由分子和分子間相對(duì)位置所決定的勢(shì)能稱為分子力勢(shì)能。 分子力和熱運(yùn)動(dòng)是決定物體宏觀性質(zhì)的基本因素。分子力作用傾向于使分子聚集一起，在空間形成某種有序排列；熱運(yùn)動(dòng)卻力圖造成混亂存在向外擴(kuò)散的趨勢(shì)。 1．4．2、理想氣體的微觀模型 先來作個(gè)估算：在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，1mol氣體體積，分子數(shù)，若分子直徑，則分子間的平均間距，相鄰分子間的平均間距與分子直徑相比。 由此可知，氣體分子間的距離比較大，在處理某些問題時(shí)，可以把氣體分子視為沒有大小的質(zhì)點(diǎn)；同時(shí)可以認(rèn)為氣體分子除了相互碰撞或者跟器壁碰撞之外，分子力也忽略不計(jì)，分子在空間自由移動(dòng)，也沒有分子勢(shì)能。因此理想氣體是指分子間沒有相互作用和分子可以看作質(zhì)點(diǎn)的氣體。這一微觀模型與氣體愈稀薄愈接近于理想氣體的宏觀概念是一致的。 1．4．3、理想氣體的壓強(qiáng) 宏觀上測(cè)量的氣體施給容器壁的壓強(qiáng)，是大量氣體分子對(duì)器壁不斷碰撞的結(jié)果。在通常情況下，氣體每秒碰撞的器壁的分子數(shù)可達(dá)。在數(shù)值上，氣體的壓強(qiáng)等于單位時(shí)間內(nèi)大量分子施給單位面積器壁的平均沖量。 其表達(dá)式為 式中n是分子數(shù)密度，是分子的平均平動(dòng)動(dòng)能，n和增大，意味著單位時(shí)間內(nèi)碰撞單位面積器壁的分子數(shù)增多，分子碰撞器壁一次給予器壁的平均沖量增大，因而氣體的壓強(qiáng)增加。 1．4．4、溫度的微觀意義 將式代入式后，可以得到氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為 這被稱為氣體溫度公式，溫度升高，分子熱運(yùn)動(dòng)的平均平動(dòng)動(dòng)能增大，分子熱運(yùn)動(dòng)加劇。因此，氣體的溫度是氣體分子平均平動(dòng)能的標(biāo)志，是分子熱運(yùn)動(dòng)劇烈程度的量度。 圖1-4-1 例1、質(zhì)量為的圓筒水平地放置在真空中。質(zhì)量、厚度可忽略的活塞將圓筒分為體積相同的兩部分(圖1-4-1)，圓筒的封閉部分充有n摩爾的單原子理想氣體，氣體的摩爾質(zhì)量為M，溫度為，突然放開活塞，氣體逸出。試問圓筒的最后速度是多少？設(shè)摩擦力、圓筒和活塞的熱交換以及氣體重心的運(yùn)動(dòng)均忽略不計(jì)。(，，，氦的摩爾質(zhì)量為，，) 解：過程的第一階段是絕熱膨脹，膨脹到兩倍體積后(圖1-4-2)溫度將是T。根據(jù)絕熱方程，有 因此： 圓筒和活塞的總動(dòng)能等于氣體內(nèi)能的損失，即 根據(jù)動(dòng)量守恒定律， 解上述方程，得過程第一階段結(jié)束時(shí)的圓筒速度： 。 m1 m2 圖1-4-2 由此得出結(jié)論，在過程第一階段的最后瞬間，圓筒以速度向右運(yùn)動(dòng)，此時(shí)活塞正好從圓筒沖出。 我們把坐標(biāo)系設(shè)置在圓筒上。所給的是一個(gè)在真空中開口的圓筒，筒內(nèi)貯有質(zhì)量為、溫度為T的氣體。顯然，氣體將向左上方流動(dòng)，并推動(dòng)圓筒向右以速度運(yùn)動(dòng)。氣體分子的動(dòng)能由下式給出： 式中是分子的平均速度[注：指均方根速率]，它由下述關(guān)系給定： 平衡狀態(tài)下各有1/6的分子在坐標(biāo)軸方向來回運(yùn)動(dòng)。在計(jì)算氣體逸出時(shí)，假定有1/6的分子向圓筒的底部運(yùn)動(dòng)。這自然只是一級(jí)近似。因此，的質(zhì)量以速度向圓筒底部運(yùn)動(dòng)，并與筒底彈性碰撞，之后圓筒以速度、氣體以速度運(yùn)動(dòng)。對(duì)于彈性碰撞，動(dòng)量守恒定律和機(jī)械守恒定律成立。由動(dòng)量守恒有 由機(jī)械能守恒有 解以上方程組，得到氣體逸出后的圓筒速度為 氣體分子的1/6以速度反彈回來，的絕對(duì)值要小于。 氣體必然有較低的溫度，其一部分內(nèi)能使圓筒的動(dòng)能增加。速度相加后得圓筒速度為。代入所給的數(shù)據(jù)： ;;; ;;. 得圓筒的最后速度為 1.5 理想氣體的內(nèi)能 1．5．1、物體的內(nèi)能 (1)自由度：即確定一個(gè)物體的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)系數(shù)，如自由運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，需要用三個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)來描述其運(yùn)動(dòng)，故它有三個(gè)自由度。 分子可以有不同的組成。如一個(gè)分子僅由一個(gè)原子組成，稱為單原子(例：He等)，顯然它在空間運(yùn)動(dòng)時(shí)具有三個(gè)平動(dòng)自由度。 如一個(gè)分子由兩個(gè)原子組成，稱為雙原子(例：等)，雙原子分子內(nèi)的兩個(gè)原子由一個(gè)鍵所連接，確定兩個(gè)原子共同質(zhì)心的位置，需三個(gè)自由度，確定連鍵的位置，需兩個(gè)自由度，即雙原子分子共有五個(gè)自由度。而對(duì)三原子分子(例：等)，除了具有三個(gè)平動(dòng)自由度、兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度外，還有一個(gè)振動(dòng)自由度，即共計(jì)有六個(gè)自由度。 (2)物體中所有分子熱運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和分子勢(shì)能的總和稱為物體的內(nèi)能。由于分子熱運(yùn)動(dòng)的平均動(dòng)能跟溫度有關(guān)，分子勢(shì)能跟體積有關(guān)。因此物體的內(nèi)能是溫度和體積的函數(shù)。 理想氣體的分子之間沒有相互作用，不存在分子勢(shì)能。因此理想氣體的內(nèi)能是氣體所有分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能的總和，它只跟氣體的分子數(shù)和溫度有關(guān)，與體積無關(guān)。 1．5．2、理想氣體的內(nèi)能 通常，分子的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)為分子的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)等形式。對(duì)于單原子分子(如He等)的理想氣體來說，分子只有平動(dòng)動(dòng)能，其內(nèi)能應(yīng)是分子數(shù)與分子平均平動(dòng)動(dòng)能的乘積，即。對(duì)于雙原子分子(如、)的理想氣體來說，在常溫下，分子運(yùn)動(dòng)除平動(dòng)外還可以有轉(zhuǎn)動(dòng)，分子的平均動(dòng)能為，其內(nèi)能，因此，理想氣體的內(nèi)能可以表達(dá)為 注意：，；對(duì)于原單原子分子氣體，對(duì)于雙原子分子氣體。 一定質(zhì)量的理想氣體的內(nèi)能改變量： 此式適用于一定質(zhì)量理想氣體的各種過程。不論過程如何，一定質(zhì)量理想氣體的內(nèi)能變不變就看它的溫度變不變。式中，表示1mol的理想氣體溫度升高或降低1K所增加或減少的內(nèi)能。是可以變成 1．5．3、物體的勢(shì)能 由于分子間存在相互作用而具有的能量叫做分子勢(shì)能。當(dāng)分子間距離(為分子力為零的位置)時(shí)，分子力是引力 圖1-5-1 ，隨著分子間距離r的增大，分子勢(shì)能減小，故處，分子勢(shì)能最小。而在時(shí)，由于分子間的作用力可略，故分子勢(shì)能變?yōu)榱?，如以無窮遠(yuǎn)處為勢(shì)能的零點(diǎn)，定性的分子勢(shì)能曲線可用圖1-5-1表示 1．5．4、重力場(chǎng)中粒子按高度的分布 在重力場(chǎng)中，氣體分子受到兩種相互對(duì)立的作用。無規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)將使氣體分子均勻分布于它們所能到達(dá)的空間，而重力則要使氣體分子聚攏在地面上，當(dāng)這兩種作用達(dá)到平衡時(shí)，氣體分子在空間非均勻分布，分子數(shù)隨高度減小。根據(jù)玻爾茲曼分布律，可以確定氣體分子在重力場(chǎng)中按高度分布的規(guī)律： 是h=0處單位體積內(nèi)的分子數(shù)，n是高度為h處單位體積內(nèi)的分子數(shù)，n隨高度h的增加按指數(shù)減小，分子的質(zhì)量m越大，重力的作用越顯著，n的減小就越迅速，氣體的溫度越高，分子的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)越劇烈，n的減小越緩慢。 式中表示h=0處的壓強(qiáng)，M為氣體的摩爾質(zhì)量，上式稱為氣壓公式 因此測(cè)定大氣壓強(qiáng)隨高度而減小的量值，即可確定上升的高度。該式不但適用于地面的大氣，還適用于浮懸在液體中的膠體微粒按高度的分布。 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 圖1-5-2 例1、橫截面積為S和αS(α＞1)，長(zhǎng)度相同的兩圓柱形“對(duì)接”的容器內(nèi)盛有理想氣體，每個(gè)圓筒中間位置有一個(gè)用硬桿想連的活塞，如圖1-5-2所示。這時(shí)艙Ⅰ內(nèi)氣體壓強(qiáng)為，艙Ⅲ內(nèi)氣體壓強(qiáng)為，活塞處于平衡，整個(gè)系統(tǒng)吸收熱量Q，溫度上升，使各艙溫度相同。試求艙Ⅰ內(nèi)壓強(qiáng)的變化。1mol氣體內(nèi)能為CT(C是氣體摩爾熱容量)，圓筒和活塞的熱容量很小，摩擦不計(jì)。 解：設(shè)、、分別為第i個(gè)艙內(nèi)氣體的體積、壓強(qiáng)的摩爾數(shù)。容器內(nèi)氣體總摩爾數(shù)，因?yàn)楦髋摐囟冉詾門，利用克拉珀龍方程得 ① 取得中打斜線的活塞與硬桿為研究對(duì)象，由平衡條件得 ② 而由題意 ③ 及 、、 得 ④ 系統(tǒng)吸收熱量后，假設(shè)活塞不移動(dòng)，顯然Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ艙氣體都作等容升溫變化，因題中明確三艙升高的溫度相同，因而由 可知三艙氣體的壓強(qiáng)都增加相同的倍數(shù)，即方程②仍然滿足，這說明升溫過程中活塞確實(shí)不移動(dòng)，即方程④也仍然成立。 因 結(jié)合④式易得Ⅰ艙內(nèi)氣體壓強(qiáng)的變化 。 說明利用②式和③式可得 顯然只有當(dāng)＞1時(shí)才有意義。因?yàn)閴簭?qiáng)必須為正值。