全國2018年中考數(shù)學真題分類匯編 滾動小專題(十一)與圓的有關計算與證明(答案不全)
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1、 (分類)滾動小專題(十一)與圓有關的計算與證明 類型1 與圓的基本性質有關的計算與證明 (2018·安徽)20.如圖,⊙O為銳角△ABC的外接圓,半徑為5. (1)用尺規(guī)作圖作出∠BAC的平分線,并標出它與劣弧BC的交點E(保留作圖痕跡,不寫作法); (2)若(1)中的點E到弦BC的距離為3,求弦CE的長. 解:(1)畫圖略 (2) ∵AE平分∠BAC ∴弧BE=弧EC,連接OE 則OE⊥BC于點F,EF=3 連接OC、EC 在Rt△OFC中,由勾股定理可得FC= 在Rt△EFC中,由勾股定理可得CE= (2018湖州) 21.(8分)(2018?湖州
2、)如圖,已知AB是⊙O的直徑,C,D是⊙O上的點,OC∥BD,交AD于點E,連結BC. (1)求證:AE=ED; (2)若AB=10,∠CBD=36°,求的長. (2018無錫)24、(本題滿分8分)如圖,四邊形ABCD內接于圓心O,AB=17,CD=10,∠A=90°,cos B=,求AD的長。 【解答】 DA⊥AB ∠DAB=90° 在圓O中 ∠DCB=90° 延長AD、BC交于點E,易證∠B=∠EDC 在△EAB中,EA= DA=EA-ED==6 25.(10分)如圖,AB是以O為圓心的半圓的直徑,半徑CO⊥AO,點M是上的
3、動點,且不與點A、C、B重合,直線AM交直線OC于點D,連結OM與CM. (1)若半圓的半徑為10. ①當∠AOM=60°時,求DM的長; ②當AM=12時,求DM的長. (2)探究:在點M運動的過程中,∠DMC的大小是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由. 【解答】解:(1)①當∠AOM=60°時, ∵OM=OA, ∴△AMO是等邊三角形, ∴∠A=∠MOA=60°, ∴∠MOD=30°,∠D=30°, ∴DM=OM=10 ②過點M作MF⊥OA于點F, 設AF=x, ∴OF=10﹣x, ∵AM=12,OA=OM=10, 由勾股定理可知:122﹣x2
4、=102﹣(10﹣x)2 ∴x=, ∴AF=, ∵MF∥OD, ∴△AMF∽△ADO, ∴, ∴, ∴AD= ∴MD=AD﹣AM= (2)當點M位于之間時, 連接BC, ∵C是的重點, ∴∠B=45°, ∵四邊形AMCB是圓內接四邊形, 此時∠CMD=∠B=45°, 當點M位于之間時, 連接BC, 由圓周角定理可知:∠CMD=∠B=45° 綜上所述,∠CMD=45° (2018溫州)22.(本題10分)如圖,D是△ABC的BC邊上一點,連接AD,作△ABD的外接圓,將△ADC沿直線AD折疊,點C的對應點E落在上. (1)求證:AE=AB.
5、 (2)若∠CAB=90°,cos∠ADB=,BE=2,求BC的長. (2018臺州)24.如圖,是的內接三角形,點在上,點在弦上(不與重合),且四邊形為菱形. (1)求證:; (2)求證:; (3)已知的半徑為3. ①若,求的長; ②當為何值時,的值最大? (2018南通)28.如圖,的直徑,是上(不與點重合)的任一點,點為上的兩點.若,則稱為直徑的“回旋角”. (1)若,則是直徑的 “回旋角”嗎?并說明理由; (2)若的長為,求“回旋角”的度數(shù); (3)若直徑的“回旋角”為,且的周長為,直接寫出的長. 解:28.(1)是; (2)45
6、°; (3)3或23. (2018湘潭) (2018南京)26.如圖,在正方形中,是上一點,連接.過點作,垂足為.經過點、、,與相交于點. (1)求證; (2)若正方形的邊長為,,求的半徑 (2018黃岡)18. 如圖,是的直徑,為的弦,,與的延長線交于點,過點的切線交于點. (1)求證:. (2)若,,求線段的長. (2018宜昌)21. 如圖,在中,. 以為直徑的半圓交于點,交于點.延長至點,使,連接. (1)求證:四邊形是菱形; (2) 若,求半圓和菱形的面積. 21.(1)證明:為半圓的直徑, , , , 又, ∴
7、四邊形是平行四邊形. 又,(或,) ∴平行四邊形是菱形. (2)解:∵, 設,則, 解法一:連接,(如圖) 圖1 ∵為半圓的直徑, , 或(舍去) 解法二:連接.(如圖) 圖2 ∵四邊形是圓內接四邊形 或(舍去) 解法三:如圖1,連接, 為半徑的直徑, 可證 或(舍去) , (2018福建) (2018張家界)20、(本小題滿分6分) 如圖,點是⊙的直徑延長線上一點,且=4,點為上一個動點(不與重合),射線與⊙交于點(不與重合) (1) 當在什么位置時,的面積最大,并求岀這個
8、最大值; (2)求證:∽. 20.解:(1)當點M在 AB弧的中點處時, 最大 ………………1分 (其它表述合理均給分) 因為此時: ………………2分 ……………3分 (2) …………4分 …………5分 …………6分 (2018貴陽) 23.(本題滿分 10 分)如圖,AB 為⊙ O 的直徑,,,且 , AB = 4 ,點 C 在半圓上,OC ^ AB
9、 , 垂足為點 O , P 為半圓上任意一點,過 P 點作 PE ^ OC 于點 E,設 DOPE 的內心 為 M ,連接 OM、PM . (1)求 DOMP 的度數(shù); (2)當點 P 在半圓上從點 B 運動到點 A 時,求內心 M 所經過的路徑長. 103 【解】(1)∵ PE ^ OC ∴ DPEO = 90° ∴ DEPO + DEOP = 90° ∵ M 是 DOPE 的內心 ∴ DEOM = DPOM,DEPM = DOPM ∴ DPOM + DOPM = 1 (DEPO + DEOP) = 45° 2 在 DPOM 中, DOMP
10、= 180° - (DPOM + DOPM ) = 180° - 45° = 135° (2)連接 CM ,作過 O、M、C 三點的外接圓,即⊙ N ,連接 NC、NO ,在⊙ N 的優(yōu)弧上任取一點 H ,連接 HC、HO .如圖所示: 由題意知: OP = OC,DPOM = DCOM,OM = OM ∴ DPOM ≌ DCOM ∴ DOMP = DOMC = 135° 在⊙ N 的內接四邊形 CMOH 中, DH = 180° - DOMC = 180° - 135° = 45° ∴ DN = 2 ′ 45° = 90° 由題意知: OC = 1 AB
11、= 1 ′ 4 = 2 2 2 在等腰直角三角形 CNO 中, NC = NO 由勾股定理得: NC 2 + NO 2 = OC 2 即 2 NC 2 = 22 T NC = 2 當點 P 在上運動時,點 M 在上運動 90° ′p′ ∴ 的長為: 180° ∵與關于 OC 對稱 2 = 2 p 2 ∴當點 P 在 上運動時,點 M 所在弧上的運動路徑長與當點 P 在 上運動時,點 M 在 上運動的路徑長相等 ∴當點 P 在半圓上從點 B 運動到點 A 時,求內心 M 所經過的路徑長為: 2 ′
12、 2 p = 2p 2 (2018遵義) 25. (12 分)如圖,AB 是半圓 O 的直徑,C 是 AB 延長線上的點,AC 的垂直平分線交半圓于點 D,交 AC 于點 E,連接 DA,DC.已知半圓 0 的半徑為 3,BC=2. (1) 求 AD 的長. (2) 點 P 是線段 AC 上一動點,連接 DP,作∠DPF=∠DAC,PF 交線段 CD 于點 F.當?DPF 為等腰三角形時,求 AP 的長. (2018哈爾濱) 類型2 與切線有關的計算與證明 (2018十堰)23.如圖
13、,中,,以為直徑的交于點,交于點,過點作于點,交的延長線于點. (1)求證:是的切線; (2)若,求的值. (2018·德州)22.如圖,是的直徑,直線與相切于點,且與的延長線交于點.點是的中點. (1)求證: (2)若.的半徑為3,一只螞蟻從點出發(fā),沿著爬回至點,求螞蟻爬過的路程結果保留一位小數(shù). (2018·綿陽)如圖,AB是的直徑,點D在上(點D不與A,B重合),直線AD交過點B的切線于點C,過點D作的切線DE交BC于點E。 (1) 求證:BE=CE; (2) 若DE平行AB,求的值。 (2018·濱州)22.如圖,為的直徑,點在上,于點
14、,且平分.求證;(1)直線是的切線;(2). (2018內江)26.如圖,以的直角邊為直徑作交斜邊于點,過圓心作,交于點,連接. (1)判斷與的位置關系并說明理由; (2)求證:; (3)若,,求的長. (2018?內江)如圖,以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O交斜邊AC于點D,過圓心O作OE∥AC,交BC于點E,連接DE. (1)判斷DE與⊙O的位置關系并說明理由; (2)求證:2DE2=CD?OE; (3)若tanC=,DE=,求AD的長. 【解答】解:(1)DE是⊙O的切線,理由:如圖, 連接OD,BD,∵AB是⊙O的直徑, ∴∠ADB=
15、∠BDC=90°, ∵OE∥AC,OA=OB, ∴BE=CE, ∴DE=BE=CE, ∴∠DBE=∠BDE, ∵OB=OD, ∴∠OBD=∠ODB, ∴∠ODE=∠OBE=90°, ∵點D在⊙O上, ∴DE是⊙O的切線; (2)∵∠BCD=∠ABC=90°,∠C=∠C, ∴△BCD∽△ACB, ∴, ∴BC2=CD?AC, 由(1)知DE=BE=CE=BC, ∴4DE2=CD?AC, 由(1)知,OE是△ABC是中位線, ∴AC=2OE, ∴4DE2=CD?2OE, ∴2DE2=CD?OE; (3)∵DE=, ∴BC=5, 在Rt△BCD中,
16、tanC==, 設CD=3x,BD=4x,根據勾股定理得,(3x)2+(4x)2=25, ∴x=﹣1(舍)或x=1, ∴BD=4,CD=3, 由(2)知,BC2=CD?AC, ∴AC==, ∴AD=AC﹣CD=﹣3=. (2018·甘肅) (2018·南充)22.如圖,是上一點,點在直徑的延長線上,的半徑為3,,. (1)求證:是的切線. (2)求的值. 22.解:(1)證明:連接. ∵的半徑為3,∴. 又∵,∴. 在中,, ∴為直角三角形,. ∴,故為的切線. (2)過作于點,. ∵,∴. ∴,∴,∴,,∴. 又∵, ∴在中,
17、. (2018·金華/麗水)如圖,在Rt△ABC中,點O在斜邊AB上,以O為圓心,OB為半徑作圓,分別與BC,AB相交于點D,E,連結AD.已知∠CAD=∠B. (1)求證:AD是⊙O的切線. (2)若BC=8,tanB=,求⊙O的半徑. (2018寧波) (2018衢州)如圖,已知AB為⊙O直徑,AC是⊙O的切線,連接BC交⊙O于點F,取弧BF的中點D,連接AD交BC于點E,過點E作EF⊥AB于H。 (1)求證:△HBE∽△ABC; (2)若CF=4,BF=5,求AC和EH的長。 (2018·棗莊)23.如圖,在中,,,以為直徑作⊙
18、交于點. (1)求線段的長度; (2)點是線段上的一點,試問:當點在什么位置時,直線與⊙相切?請說明理由. 解:(1)在Rt△ACB中,∵AC=3cm,BC=4cm,∠ACB=90°,∴AB=5cm; 連接CD,∵BC為直徑, ∴∠ADC=∠BDC=90°; ∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB, ∴Rt△ADC∽Rt△ACB; ∴,∴; (2)當點E是AC的中點時,ED與⊙O相切; 證明:連接OD, ∵DE是Rt△ADC的中線; ∴ED=EC, ∴∠EDC=∠ECD; ∵OC=OD, ∴∠ODC=∠OCD; ∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OC
19、D=∠ACB=90°; ∴ED⊥OD, ∴ED與⊙O相切. (2018成都)20.如圖,在中,,平分交于點,為上一點,經過點,的分別交,于點,,連接交于點. (1)求證:是的切線; (2)設,,試用含的代數(shù)式表示線段的長; (3)若,,求的長. 23.(10分)(2018?自貢)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°. (1)作出經過點B,圓心O在斜邊AB上且與邊AC相切于點E的⊙O(要求:用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法和證明) (2)設(1)中所作的⊙O與邊AB交于異于點B的另外一點D,若⊙O的直徑為5,BC=4;求DE的長.(如果
20、用尺規(guī)作圖畫不出圖形,可畫出草圖完成(2)問) 解:(1)⊙O如圖所示; (2)作OH⊥BC于H. ∵AC是⊙O的切線, ∴OE⊥AC, ∴∠C=∠CEO=∠OHC=90°, ∴四邊形ECHO是矩形, ∴OE=CH=,BH=BC﹣CH=, 在Rt△OBH中,OH==2, ∴EC=OH=2,BE==2, ∵∠EBC=∠EBD,∠BED=∠C=90°, ∴△BCE∽△BED, ∴=, ∴=, ∴DE=. (2018瀘州)24.如圖10,已知AB,CD是⊙O的直徑,過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點P,⊙O的弦DE交AB于點F,且DF=EF. (
21、1)求證:; (2)連接EB交CD于點G,過點G作GHAB于點H,若PC=,PB=4,求GH的長. 【解答】(1)證明:∵PC是⊙O的切線, ∴OC⊥PC, ∴∠PCO=90°, ∵AB是直徑,EF=FD, ∴AB⊥ED, ∴∠OFD=∠OCP=90°, ∵∠FOD=∠COP, ∴△OFD∽△OCP, ∴=,∵OD=OC, ∴OC2=OF?OP. (2)解:如圖作CM⊥OP于M,連接EC、EO.設OC=OB=r. 在Rt△POC中,∵PC2+OC2=PO2, ∴(4)2+r2=(r+4)2, ∴r=2, ∵CM==, ∵DC是直徑
22、, ∴∠CEF=∠EFM=∠CMF=90°, ∴四邊形EFMC是矩形, ∴EF=CM=, 在Rt△OEF中,OF==, ∴EC=2OF=, ∵EC∥OB, ∴==, ∵GH∥CM, ∴==, ∴GH=. (2018宜賓)23.(10分)(2018?宜賓)如圖,AB為圓O的直徑,C為圓O上一點,D為BC延長線一點,且BC=CD,CE⊥AD于點E. (1)求證:直線EC為圓O的切線; (2)設BE與圓O交于點F,AF的延長線與CE交于點P,已知∠PCF=∠CBF,PC=5,PF=4,求sin∠PEF的值. 【解答】解:(1)證明:∵CE⊥AD于點E ∴∠DEC
23、=90°, ∵BC=CD, ∴C是BD的中點,又∵O是AB的中點, ∴OC是△BDA的中位線, ∴OC∥AD ∴∠OCE=∠CED=90° ∴OC⊥CE,又∵點C在圓上, ∴CE是圓O的切線. (2)連接AC ∵AB是直徑,點F在圓上 ∴∠AFB=∠PFE=90°=∠CEA ∵∠EPF=∠EPA ∴△PEF∽△PEA ∴PE2=PF×PA ∵∠FBC=∠PCF=∠CAF 又∵∠CPF=∠CPA ∴△PCF∽△PAC ∴PC2=PF×PA ∴PE=PC 在直角△PEF中,sin∠PEF==. (2018衡陽)23.如圖,是的外接圓,為直徑,的平分線
24、交于點,過點作分別交、的延長線于點、. (1)求證:是的切線; (2)若,,求的長度.(結果保留) 解:(1)如圖,連接OD, ∵OA=OD, ∴∠OAD=∠ODA, ∵AD平分∠EAF, ∴∠DAE=∠DAO, ∴∠DAE=∠ADO, ∴OD∥AE, ∵AE⊥EF, ∴OD⊥EF, ∴EF是⊙O的切線; (2)如圖,作OG⊥AE于點G,連接BD, 則AG=CG=AC=2,∠OGE=∠E=∠ODE=90°, ∴四邊形ODEG是矩形, ∴OA=OB=OD=CG+CE=2+2=4,∠DOG=90°, ∵∠DAE=∠BAD,∠AED=∠ADB=90°,
25、 ∴△ADE∽△ABD, ∴=,即=, ∴AD2=48, 在Rt△ABD中,BD==4, 在Rt△ABD中,∵AB=2BD, ∴∠BAD=30°, ∴∠BOD=60°, 則的長度為=. (2018聊城) 24.如圖,在中,,平分交于點,作交于點,是的外接圓. (1)求證:是的切線; (2)已知的半徑為2.5,,求,的長. (2018泰州)22.如圖,為的直徑,為上一點,的平分線交于點,于點. (1)試判斷與的位置關系,并說明理由. (2)過點作于點,若,,求圖中陰影部分的面積. 解:(1)DE與⊙O相切, 理由:連接DO, ∵DO=BO
26、, ∴∠ODB=∠OBD, ∵∠ABC的平分線交⊙O于點D, ∴∠EBD=∠DBO, ∴∠EBD=∠BDO, ∴DO∥BE, ∵DE⊥BC, ∴∠DEB=∠EDO=90°, ∴DE與⊙O相切; (2)∵∠ABC的平分線交⊙O于點D,DE⊥BE,DF⊥AB, ∴DE=DF=3, ∵BE=3, ∴BD==6, ∵sin∠DBF==, ∴∠DBA=30°, ∴∠DOF=60°, ∴sin60°===, ∴DO=2, 則FO=, 故圖中陰影部分的面積為:﹣××3=2π﹣. (2018白銀、武威、張掖)20.如圖,在中,. (1)作的平分線交邊于
27、點,再以點為圓心,的長為半徑作;(要求:不寫作法,保留作圖痕跡) (2)判斷(1)中與的位置關系,直接寫出結果. 20.解:(1)如圖,作出角平分線CO; 作出⊙O. (2)AC與⊙O相切. (2018白銀、武威、張掖)27.如圖,點是的邊上一點,與邊相切于點,與邊,分別相交于點,,且. (1)求證:; (2)當,時,求的長. 27.(1)證明:連接OE,BE. ∵ DE=EF,∴ =,∴ ∠OBE=∠DBE. ∵ OE=OB,∴∠OEB=∠OBE, ∴∠OEB =∠DBE,∴OE∥B
28、C. ∵⊙O與邊AC相切于點E,∴ OE⊥AC. ∴BC⊥AC,∴∠C=90°. (2)解:在△ABC中,∠C=90°,BC=3,, ∴AB=5. 設⊙O的半徑為r,則AO=5-r, 在Rt △AOE中,, ∴ . ∴. (2018常德)24.如圖12,已知是等邊三角形的外接圓,點在圓上,在的延長線上有一點,使,交于. (1)求證:是的切線; (2)求證:. 【解答】證明:(1)連接OD, ∵⊙O是等邊三角形ABC的外接圓, ∴∠OAC=30°,∠BCA=60°, ∵AE∥BC, ∴∠EAC=∠BCA=60°, ∴∠O
29、AE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°, ∴AE是⊙O的切線; (2)∵△ABC是等邊三角形, ∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°, ∵A、B、C、D四點共圓, ∴∠ADF=∠ABC=60°, ∵AD=DF, ∴△ADF是等邊三角形, ∴AD=AF,∠DAF=60°, ∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD, 即∠BAF=∠CAF, 在△BAD和△CAF中, ∵, ∴△BAD≌△CAF, ∴BD=CF. (2018婁底)25.如圖, 是以為直徑的上的點, ,弦交于點. (1)當是的切線時,求證: ; (2)求證: ; (3)已知
30、,是半徑的中點,求線段的長. 解:(1)∵AB是⊙O的直徑, ∴∠ADB=90°,即∠BAD+∠ABD=90°, ∵PB是⊙O的切線, ∴∠ABP=90°,即∠PBD+∠ABD=90°, ∴∠BAD=∠PBD; (2)∵∠A=∠C、∠AED=∠CEB, ∴△ADE∽△CBE, ∴=,即DE?CE=AE?BE, 如圖,連接OC, 設圓的半徑為r,則OA=OB=OC=r, 則DE?CE=AE?BE=(OA﹣OE)(OB+OE)=r2﹣OE2, ∵=, ∴∠AOC=∠BOC=90°, ∴CE2=OE2+OC2=OE2+r2,BC2=BO2+CO2=2r2, 則B
31、C2﹣CE2=2r2﹣(OE2+r2)=r2﹣OE2, ∴BC2﹣CE2=DE?CE; (3)∵OA=4, ∴OB=OC=OA=4, ∴BC==4, 又∵E是半徑OA的中點, ∴AE=OE=2, 則CE===2, ∵BC2﹣CE2=DE?CE, ∴(4)2﹣(2)2=DE?2, 解得:DE=. (2018永州)24.如圖,線段為的直徑,點、在上,,,垂足為點,連接,弦與線段相交于點. (1)求證:; (2)若,在的延長線上取一點,使,的半徑為,求證:直線是的切線. 25、(本題滿分10分)如圖,已知AB為⊙O的直徑,A
32、B=8,點C和點D是⊙O上關于直線AB對稱的兩個點,連接OC、AC,且∠BOC<90°,直線BC和直線AD相交于點E,過點C作直線CG與線段AB的延長線相交于點F,與直線AD相交于點G,且∠GAF=∠GCE (1)求證:直線CG為⊙O的切線; (2)若點H為線段OB上一點,連接CH,滿足CB=CH, ①△CBH∽△OBC; ②求OH+HC的最大值. (1) 證明:∵C、D關于AB對稱 ∴∠GAF=∠CAF ∵∠GAF=∠GCE,∴∠GCE=∠CAF ∵OA=OC,∴∠CAF=∠ACO,∴∠GCE=∠ACO ∵AB為直徑 ∴∠ACO+∠OCB=90°
33、 ∴∠GCE+∠OCB=90° 即∠OCG=90°,∴CG為圓O的切線. (2) ①∵OC=OB,CH=BC ∴∠OCB=∠OBC,∠CHB=∠CBH ∠CBH=∠OBC=∠OCB=∠CHB △CBH∽△OBC ② 設BC=x,則CH=x,BH= ∴當x=2時,最大值為5. (2018宿遷)26. (本題滿分10分) 如圖,AB、AC分別是 O的直徑和弦,OD⊥AC于點D,過點A作 O的切線與OD的延長線交于點P,PC、AB的延長線交于點F. ⑴ 求證:PC是 O的切線; ⑵ 若∠ABC=600,AB=10,求線段CF的長, (2018鹽城
34、)25.如圖,在以線段為直徑的上取一點,連接、.將沿翻折后得到. (1)試說明點在上; (2)在線段的延長線上取一點,使.求證:為的切線; (3)在(2)的條件下,分別延長線段、相交于點,若,,求線段的長. (2018揚州)25.如圖,在中,,于點,于點,以點為圓心,為半徑作半圓,交于點. (1)求證:是的切線; (2)若點是的中點,,求圖中陰影部分的面積; (3)在(2)的條件下,點是邊上的動點,當取最小值時,直接寫出的長. (1)證明:作OH⊥AC于H,如圖, ∵AB=AC,AO⊥BC于點O, ∴AO平分∠BAC, ∵OE⊥AB,OH⊥AC, ∴OH
35、=OE, ∴AC是⊙O的切線; (2)解:∵點F是AO的中點, ∴AO=2OF=3, 而OE=3, ∴∠OAE=30°,∠AOE=60°, ∴AE=OE=3, ∴圖中陰影部分的面積=S△AOE﹣S扇形EOF=×3×3﹣=; (3)解:作F點關于BC的對稱點F′,連接EF′交BC于P,如圖, ∵PF=PF′, ∴PE+PF=PE+PF′=EF′,此時EP+FP最小, ∵OF′=OF=OE, ∴∠F′=∠OEF′, 而∠AOE=∠F′+∠OEF′=60°, ∴∠F′=30°, ∴∠F′=∠EAF′, ∴EF′=EA=3, 即PE+PF最小值為3, 在Rt△OPF
36、′中,OP=OF′=, 在Rt△ABO中,OB=OA=×6=2, ∴BP=2﹣=, 即當PE+PF取最小值時,BP的長為. (2018江西省卷)20.如圖,在中,為上一點,以點為圓心,為半徑作圓,與相切于點,過點作交的延長線于點,且. (1)求證:為的切線; (2)若,,求的長. (2018呼和浩特) (2018臨沂)(2018?臨沂)如圖,△ABC為等腰三角形,O是底邊BC的中點,腰AB與⊙O相切于點D,OB與⊙O相交于點E. (1)求證:AC是⊙O的切線; (2)若BD=,BE=1.求陰影部分的面積. 【解答】(1)證明:連接O
37、D,作OF⊥AC于F,如圖, ∵△ABC為等腰三角形,O是底邊BC的中點, ∴AO⊥BC,AO平分∠BAC, ∵AB與⊙O相切于點D, ∴OD⊥AB, 而OF⊥AC, ∴OF=OD, ∴AC是⊙O的切線; (2)解:在Rt△BOD中,設⊙O的半徑為r,則OD=OE=r, ∴r2+()2=(r+1)2,解得r=1, ∴OD=1,OB=2, ∴∠B=30°,∠BOD=60°, ∴∠AOD=30°, 在Rt△AOD中,AD=OD=, ∴陰影部分的面積=2S△AOD﹣S扇形DOF =2××1×﹣ =﹣. (2018濰坊) 22.如圖,為外接圓的直徑,且.
38、 (1)求證:與相切于點; (2)若, ,求的長. (2018天津)21. 已知是的直徑,弦與相交,. (Ⅰ)如圖①,若為的中點,求和的大??; (Ⅱ)如圖②,過點作的切線,與的延長線交于點,若,求的大小. (2018武漢)21.(本題8分)如圖,PA是⊙O的切線,A是切點,AC是直徑,AB是弦,連接PB、PC,PC交AB于點E,且PA=PB (1) 求證:PB是⊙O的切線 (2) 若∠APC=3∠BPC,求的值 (2018邵陽)21.如圖(十二)所示,AB是⊙O的直徑,點C為⊙O上一點,過點B作BD⊥CD
39、, 垂足為點D,連結BC.BC平分∠ABD. 求證:CD為⊙O的切線. 21.(8分) 證明:∵BC平分∠ABD,∴∠OBC=∠DBC.……………………………………………2分 ∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.……………………………………………………4分 ∴∠DBC=∠OCB.∴OC∥BD.……………………………………………………6分 ∵BD⊥CD,∴OC⊥CD. 又∵點C為⊙O上一點, ∴CD為⊙O的切線.…………………………………………………………………8分 (2018·淄博)22. (本小題滿分8分) 如圖,以為直徑的外
40、接于,過點的切線與的延長線交于點,的平分線分別交于點,其中的長是一元二次方程的兩個實數(shù)根. (1)求證:; (2)在線段上是否存在一點,使得四邊形是菱形?若存在,請給予證明,并求其面積;若不存在,說明理由. 解:(1)∵DP平分∠APB, ∴∠APE=∠BPD, ∵AP與⊙O相切, ∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°, ∵AB是⊙O的直徑, ∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°, ∴∠EAP=∠B, ∴△PAE∽△PBD, ∴, ∴PA?BD=PB?AE; (2)過點D作DF⊥PB于點F,作DG⊥AC于點G, ∵DP平分∠APB, AD⊥AP,DF⊥PB,
41、 ∴AD=DF, ∵∠EAP=∠B, ∴∠APC=∠BAC, 易證:DF∥AC, ∴∠BDF=∠BAC, 由于AE,BD(AE<BD)的長是x2﹣5x+6=0, 解得:AE=2,BD=3, ∴由(1)可知:, ∴cos∠APC==, ∴cos∠BDF=cos∠APC=, ∴, ∴DF=2, ∴DF=AE, ∴四邊形ADFE是平行四邊形, ∵AD=AE, ∴四邊形ADFE是菱形, 此時點F即為M點, ∵cos∠BAC=cos∠APC=, ∴sin∠BAC=, ∴, ∴DG=, ∴在線段BC上是否存在一點M,使得四邊形ADME是菱形 其面積為:DG?AE
42、=2×= (2018德陽) (2018廣東省卷)24.如圖,四邊形ABCD中,AB=AD=CD,以AB為直徑的⊙O經過點C,連接AC、OD交于點E. (1)證明:OD//BC; (2)若tan∠ABC=2,證明:DA與⊙O相切; (3)在(2),連接BD交⊙O于點F,連接EF,若BC=1,求EF的長. (2018菏澤)22.如圖,內接于,,,過點作,與的平分線交于點,與交于點,與交于點. (1)求的度數(shù); (2)求證:; (3)求證:是的切線. (2018隨州) (2018咸寧)
43、 (2018孝感)23.如圖,中,,以為直徑的交于點,交于點,過點作于點,交的延長線于點. (1)求證:是的切線; (2)已知,,求和的長. (2018巴中)26. 已知如圖9所示,中,是的角平分線,以為圓心,為半徑畫圓,交所在直線于、兩點,連接、. (1)求證:直線是的切線. (2)若,求的長 (2018郴州)23.已知是的直徑,點是延長線上一點,,是的弦,. (1)求證:直線是的切線; (2)若,垂足為,的半徑為,求的長. (2018深圳)22.如圖9,⊙是的外接圓,,, 。點為上的動點,連接
44、并延長,交的延長線于點。 (1)試求的長; (2)試判斷的值是否為定值?若為定值,請求出這個定值,若不為定值,請說明理由。 (3)如圖10,連接,過點作⊥于點,連接,求證:。 圖10 圖9 22.解:(1)作 ,在中, . (2)連接 ∵四邊形內接于圓, , , 公共 . (3)在上取一點,使得 在和中 . (2018黔東南、黔西南、黔南)22.如圖,是的直徑,切于點,連接,作交于點,的延長線與的延長線交于點. (1)求證:是的切線; (2)若的半徑為,,,求的
45、長. (2018恩施)23.如圖,為直徑,點為半徑上異于點和點的一個點,過點作與直徑垂直的弦,連接,作,交于點,連接、、交于點. (1)求證:為切線; (2)若的半徑為,,求; (3)請猜想與的數(shù)量關系,并加以證明. 23.(10分)(2018?恩施州)如圖,AB為⊙O直徑,P點為半徑OA上異于O點和A點的一個點,過P點作與直徑AB垂直的弦CD,連接AD,作BE⊥AB,OE∥AD交BE于E點,連接AE、DE、AE交CD于F點. (1)求證:DE為⊙O切線; (2)若⊙O的半徑為3,sin∠ADP=,求AD; (3)請猜想PF與FD的數(shù)量關系,并加以證明.
46、 【解答】證明:(1)如圖1,連接OD、BD,BD交OE于M, ∵AB是⊙O的直徑, ∴∠ADB=90°,AD⊥BD, ∵OE∥AD, ∴OE⊥BD, ∴BM=DM, ∵OB=OD, ∴∠BOM=∠DOM, ∵OE=OE, ∴△BOE≌△DOE(SAS), ∴∠ODE=∠OBE=90°, ∴DE為⊙O切線; (2)設AP=a, ∵sin∠ADP==, ∴AD=3a, ∴PD===2a, ∵OP=3﹣a, ∴OD2=OP2+PD2, ∴32=(3﹣a)2+(2a)2, 9=9﹣6a+a2+8a2, a1=,a2=0(舍), 當a=時,AD=3a=2,
47、 ∴AD=2; (3)PF=FD, 理由是:∵∠APD=∠ABE=90°,∠PAD=∠BAE, ∴△APF∽△ABE, ∴, ∴PF=, ∵OE∥AD, ∴∠BOE=∠PAD, ∵∠OBE=∠APD=90°, ∴△ADP∽△OEB, ∴, ∴PD=, ∵AB=2OB, ∴PD=2PF, ∴PF=FD. (2018黃石)21、(本小題8分)如圖,已知A、B、C、D、E是⊙O上五點,⊙O的直徑,∠BCD=120°,A為的中點,延長BA到點P,使BA=AP,連接PE (1)求線段BD的長 (2)求證:直線PE是⊙O的切線.
48、 (2018荊門)23.如圖,為的直徑,為上一點,經過點的切線交的延長線于點,交的延長線于點,交于,于,分別交、于、,連接,. (1)求證:平方; (2)若,,①求的半徑;②求的長. 23.(1)證明:連接, ∵直線與相切于點, ∴, 又∵,∴. ∴ ∵,∴, ∴, ∴平方. (2)解:①∵,∴ 又∵,∴, ∵,∴ 設的半徑為, 則,解得 ②連接, ∵為的直徑,∴,∴, 在中,,,∴, ∵為的直徑,∴, ∵,∴, ∵,∴,∴, ∵,∴,∴, ∵,∴,∴, ∴, ∴,∴. (2018淮安)24.(本題滿分
49、10分) 如圖,AB是⊙O的直徑,AC是⊙O的切線,切點為A,BC交⊙O于點D,點E是AC的中點. (1)試判斷直線DE與⊙O的位置關系,并說明理由; (2)若⊙O的半徑為2,∠B=50°,AC=4.8,求圖中陰影部分的面積. (1)先根據“SSS”證明△AEO≌△DEO,從而得到∠ODE=∠OAE=90°,即可判斷出直線DE與⊙O相切; (2)陰影部分面積為:. 22.(12分)(2018建設兵團)如圖,PA與⊙O相切于點A,過點A作AB⊥OP,垂足為C,交⊙O于點B.連接PB,AO,并延長AO交⊙O于點D,與PB的延長線交于點E. (1)求證:PB是⊙O的切線;
50、(2)若OC=3,AC=4,求sinE的值. (2018河北)25. 如圖15,點在數(shù)軸上對應的數(shù)為26,以原點為圓心,為半徑作優(yōu)弧,使點在右下方,且.在優(yōu)弧上任取一點,且能過作直線交數(shù)軸于點,設在數(shù)軸上對應的數(shù)為,連接. (1)若優(yōu)弧上一段的長為,求的度數(shù)及的值; (2)求的最小值,并指出此時直線與所在圓的位置關系; (3)若線段的長為,直接寫出這時的值. (2018北京)22. 如圖,AB是⊙O的直徑,過⊙O外一點P作⊙O的兩條切線PC,PD,切點分別為C,D,連接OP,CD. (1)求證:OP⊥CD; (2)連接AD,BC,若∠DAB=50°
51、,∠CBA = 70°,OA=2,求OP的長. (2018安順) 25.如圖,在中,,為的中點,與半圓相切于點. (1)求證:是半圓所在圓的切線; (2)若,,求半圓所在圓的半徑. (2018遂寧)如圖,過⊙O外一點P作⊙O的切線PA切⊙O于點A,連接PO并延長,與⊙O交于C、D兩點,M是半圓CD的中點,連接AM交CD于點N,連接AC、CM。 (1)求證:CM2=MN?MA (2)若∠P=300,PC=2,求CM的長 (2018仙桃)22.(滿分8分) 如圖,
52、在⊙O中,AB為直徑,AC為弦.過BC延長線上一點G,作GD⊥AO于點D,交AC于點E,交⊙O于點F,M是GE的中點,連接CF,CM. (1)判斷CM與⊙O的位置關系,并說明理由; (2)若∠ECF2∠A,CM6,CF4,求MF的長. (第22題圖) · A B C D E F M G O (2018玉林) (2018河南)19.(9分)如圖,AB是圓0的直徑,DO垂直于點O,連接DA交圓O于點C,過點C作圓O的切線交DO于點E,連接BC交DO于點F。 (1)求證:CE=EF; (2)連接AF并延長,交圓O于點G,填空: ①當∠D
53、的度數(shù)為______時,四邊形ECFG為菱形; ②當∠D的度數(shù)為______時,四邊形ECOG為正方形。 (2018廣西北部灣經濟區(qū)) (2018蘭州) (2018齊齊哈爾) (2018大慶) (2018懷化) (2018陜西)23.(本題滿分8分) 如圖,在Rt△ABC中,∠ACB
54、=90°,以斜邊AB上的中線CD為直徑作⊙O,分別與AC、BC相交于點M、N. (1)過點N作⊙O的切線NE與AB相交于點E,求證:NE⊥AB; (2)連接MD,求證:MD=NB. 23題圖 23題解圖(1) 解:(1)如圖,連接ON ∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線 ∴AD=CD=DB ∴∠DCB=∠DBC 又∵∠DCB=∠ONC ∴∠ONC=∠DBC ∴ON∥AB ∵NE是⊙O的切線,ON是⊙O的半徑 ∴∠ONE=90° ∴∠NEB=90°,即NE⊥AB; (2)如解圖(1)所示,由(1)可知ON∥A
55、B, O為⊙O的圓心,∴OC=OB,∠CMD=90° ∴CN=NB=CB,MD∥CB 又∵D是AB的中點,∴MD=CB ∴MD=NB. (2018長春) (2018沈陽) (2018東營)22.(本題滿分8分)如圖,CD是⊙O的切線,點C在直徑AB的延長線上. (1)求證:∠CAD=∠BDC; (2)若BD=AD,AC=3,求CD的長. 22.(本題滿分8分) (1)證明:連接OD ∵OB=OD ∴∠OBD=∠ODB…………………………1分 ∵CD是⊙O的切線,OD是⊙O的半徑 ∴∠ODB+∠BDC=90°……………………2分 ∵AB是
56、⊙O的直徑 ∴∠ADB=90° ∴∠OBD +∠CAD = 90°………………………………………3分 ∴∠CAD=∠BDC………………………………………………4分 (2)解:∵∠C=∠C,∠CAD=∠BDC ∴△CDB ∽ △CAD………………………………………………5分 ∴…………………………………………………6分 ∵ ∴…………………………………………………7分 ∵ AC=3 ∴ CD=2…………………………………………………8分 (2018煙臺) (2018陜西) (2018南京)2
57、7.結果如此巧合! 下面是小穎對一道題目的解答. 題目:如圖,的內切圓與斜邊相切于點,,,求的面積. 解:設的內切圓分別與、相切于點、,的長為. 根據切線長定理,得,,. 根據勾股定理,得. 整理,得. 所以 . 小穎發(fā)現(xiàn)恰好就是,即的面積等于與的積.這僅僅是巧合嗎? 請你幫她完成下面的探索. 已知:的內切圓與相切于點,,. 可以一般化嗎? (1)若,求證:的面積等于. 倒過來思考呢? (2)若,求證. 改變一下條件…… (3)若,用、表示的面積. (2018桂林)25.(本題滿分10分)如圖1,已知⊙O是ΔADB的外接圓,∠AD
58、B的平分線DC交AB于點M,交⊙O于點C,連接AC,BC. (1)求證:AC=BC; (2)如圖2,在圖1 的基礎上做⊙O的直徑CF交AB于點E,連接AF,過點A做⊙O的切線AH,若AH//BC,求∠ACF的度數(shù); (3)在(2)的條件下,若ΔABD的面積為,ΔABD與ΔABC的面積比為2:9,求CD的長. 25. (本題10分) (1) ∵DC平分∠ADB ∴∠ADC=∠BDC ∴AC=BC (2) 連接AO并延長交BC于I交⊙O于J ∵AH是⊙O的切線且AH∥BC ∴AI⊥BC ∵垂徑定理 ∴BI=IC ∵AC=BC ∴IC=
59、AC ∴∠IAC=30° ∴∠ABC=60°=∠F=∠ACB ∵FC是直徑 ∴∠FAC=90° ∴∠ACF=180°-90°-60°=30° (3) 過點D作,連接AO 由(1)(2)知ABC為等邊三角形 ∵∠ACF=30° ∴ ∴AE=BE ∴ ∴AB= ∴ 在RtΔAEO中,設EO=x,則AO=2x ∴ ∴ ∴x=6,⊙O的半徑為6 ∴CF=12 ∵ ∴DG=2 過點D作,連接OD ∵, ∴CF//DG ∴四邊形G’DGE為矩形 ∴ 在RtΔ中 ∴ ∴ (2018通遼) (2018昆明) (2018云南) (2018曲靖) (2018畢節(jié))26.(本題14分)如圖,在△ABC中,以BC為直徑的⊙O交AC于點E,過點E作AB的垂線交AB于點F,交CB的延長線于點G,且∠ABG=2∠G. (1)求證:EG是⊙O的切線; (2)若,AC=8,求⊙O的半徑。 (2018銅仁) (2018廣安) (2018資陽) (2018蘇州) (2018赤峰) (2018上海)
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