材料力學(xué)課件 第四章扭 轉(zhuǎn)PPT學(xué)習(xí)教案

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1、會計學(xué)1材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件 第四章第四章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)241 引言 42 外力偶矩和扭矩43 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)44 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力 強度計算45 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形 剛度計算46 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)簡介第四章 扭 轉(zhuǎn) *圓軸扭轉(zhuǎn)超靜定問題第1頁/共59頁341 引 言 軸： 工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如：機器中的傳動軸、石油鉆機中的鉆桿、汽車轉(zhuǎn)向軸、攪拌器軸等。受力特點：在垂直于桿軸線的平面內(nèi)作用有力偶.ABOmmOBA變形特點：任意橫截面繞桿軸相對轉(zhuǎn)動。（桿表面縱線螺 旋線扭轉(zhuǎn)變形）第2頁/共59頁4扭轉(zhuǎn)角(相對扭轉(zhuǎn)角)（）：任意兩橫截面繞軸線轉(zhuǎn)動而 發(fā)生的角位移。剪應(yīng)變(切應(yīng)變)（）：直

2、角的改變量。mmOBA第3頁/共59頁5工 程 實 例第4頁/共59頁642 外力偶矩和扭矩一、外力偶矩 m)(kN559nP.mm)(kN0247nP.m其中：P 功率，千瓦（kW） n 轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）其中：P 功率，馬力（PS） n 轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm） 使桿件產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形的力偶矩。數(shù)值上等于桿件所受外力對桿軸的力矩。傳動軸的傳遞功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩的關(guān)系：第5頁/共59頁73 扭矩的符號規(guī)定： “T”的轉(zhuǎn)向與截面外法線方向滿足右手螺旋法則為正，反之為負(fù)。二、扭矩及扭矩圖mmmTmTmTmx00 x1 扭矩：構(gòu)件受扭時，橫截面上的內(nèi)力偶矩，記作“T”。 2 截面法求扭矩第6頁/共

3、59頁84 扭矩圖：表示扭矩沿軸線方向變化規(guī)律的圖線。 目 的扭矩變化規(guī)律；|T|max值及其截面位置 強度計算（危險截面）。xT第7頁/共59頁9例1已知：一傳動軸， n =300r/min，主動輪輸入 P1=500kW，從動輪輸出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試?yán)L制扭矩圖。nA B C Dm2 m3 m1 m4解：計算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555911nP.mm)(kN 7843001509.55559232.nP.mmm)(kN 3763002009.5555944.nP.m第8頁/共59頁10nA B C Dm2 m3 m1 m4112

4、233求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）mkN784 0 , 02121.mTmTmCmkN569784784( , 0 322322.).mmTmmTmkN376 , 0 4243.mTmT求扭矩: 任意截面的扭矩,數(shù)值上等于截面一側(cè)軸段所有外力偶矩的代數(shù)和. 轉(zhuǎn)向與這些外力偶矩的合力偶矩之轉(zhuǎn)向相反.第9頁/共59頁11繪制扭矩圖mkN 569max .TBC段為危險截面。xTnA B C Dm2 m3 m1 m4第10頁/共59頁1243 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) 薄壁圓筒：壁厚0101rt （r0：為平均半徑）一、實驗：1.實驗前：繪縱向線，圓周線；施加一對外力偶 m。第11頁/共59頁132.實驗后：圓周

5、線的大小、形狀、間距不變； 縱向線變成斜直線，傾角相同。3.結(jié)論：各圓周線的間距均未改變橫截面上無正應(yīng)力.圓周線的形狀、大小均未改變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動周向無正應(yīng)力 縱向線傾斜橫截面上有切應(yīng)力. 各縱向線均傾斜了同一微小角度 切應(yīng)力均勻分布. 第12頁/共59頁14acdb 橫截面上無正應(yīng)力 周向無正應(yīng)力 橫截面上各點處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的切應(yīng)力 ，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。微小矩形單元體如圖所示：第13頁/共59頁15二、薄壁圓筒切應(yīng)力 與剪應(yīng)變： TrAA0d A0：平均半徑所作圓的面積。TtrrArA000 2d tATtrT 2 2 0 20切應(yīng)力剪應(yīng)變

6、LRRL/ mmOBA第14頁/共59頁16三、切應(yīng)力互等定理： 0故dxdytdxdytmz上式稱為切應(yīng)力互等定理。 該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，切應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。acddxbdytz第15頁/共59頁17四、剪切虎克定律： 單元體的四個側(cè)面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。薄壁圓筒體扭轉(zhuǎn)實驗 第16頁/共59頁18T=m)/( ) 2( 0RLtAT 剪切虎克定律：當(dāng)切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時（ p) (在彈性范圍內(nèi))，切應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。在一定范圍內(nèi) 第17頁/共

7、59頁19G 式中：G是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因 無量綱，故G的量綱與 相同，不同材料的G值可通過實驗確定，鋼材的G值約為80GPa。 剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系（推導(dǎo)詳見后面章節(jié)）： 可見，在三個彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出來。)1 ( 2EG第18頁/共59頁2044 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力 強度計算圓軸橫截面應(yīng)力變形幾何方面物理關(guān)系方面靜力學(xué)方面 1. 橫截面變形后 仍為平面； 2. 軸向無伸縮； 3. 縱向線變形后仍為平行。一、等直圓軸扭轉(zhuǎn)實驗觀察：第19頁/共59頁21第2

8、0頁/共59頁22二、等直圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力：1. 變形幾何關(guān)系：xxGGdddtg1xdd距圓心為 任一點處的與到圓心的距離成正比。xdd 扭轉(zhuǎn)角沿長度方向變化率(單位長度扭轉(zhuǎn)角)。第21頁/共59頁232. 物理關(guān)系：胡克定律：代入上式得： GxGxGGddddxGdd 距圓心等距離處的切應(yīng)力相等第22頁/共59頁243. 靜力學(xué)關(guān)系：OdAAxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理關(guān)系式 得：xGdd pIT第23頁/共59頁25pIT橫截面上距圓心為處任一點切應(yīng)力計算公式。4. 公式討論： 僅適用于各向同性、線彈性材料，

9、在小變形時的等圓截面 直桿。 式中：T橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。 該點到圓心的距離。 Ip極慣性矩，純幾何量，無物理意義。第24頁/共59頁26單位：mm4，m4。AIApd2 盡管由實心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿， 只是Ip值不同。AIApd2對于實心圓截面：DdO202d2 D32424204DD第25頁/共59頁27對于空心圓截面：AIApd2)(DddDOd222d2 Dd)1 (32 44D)(32 44dD 第26頁/共59頁28 應(yīng)力分布（實心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強度，節(jié)約材料， 結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。第27頁/共59頁29 確

10、定最大切應(yīng)力：pIT由知：當(dāng) , 2DR pIDT2 maxtWTmaxWt 抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量）， 幾何量，單位：mm3或m3。對于實心圓截面：163DRIWpt對于空心圓截面：16)1 (43DRIWptmax 2 DITp)2 ( DIWWTptt令第28頁/共59頁30三、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時斜截面上的應(yīng)力低碳鋼試件：沿橫截面斷開。鑄鐵試件：沿與軸線約成45的螺旋線斷開。因此還需要研究斜截面上的應(yīng)力。第29頁/共59頁311. 點M的應(yīng)力單元體如圖(b)：(a)M(b)(c)2. 斜截面上的應(yīng)力； 取分離體如圖(d)：(d)x第30頁/共59頁32(d)xnt轉(zhuǎn)角規(guī)定：軸正向轉(zhuǎn)至截面

11、外法線逆時針：為“+”順時針：為“”由平衡方程：0)cossind()sincosd(d ; 0AAAFn0)sinsind()coscosd(d ; 0AAAFt解得：2cos ; 2sin 第31頁/共59頁332cos ; 2sin 分析：當(dāng) = 0時，max00 , 0當(dāng) = 45時，0 , 45min45當(dāng) = 45時，0 , 45max45當(dāng) = 90時，max9090 , 045 由此可見：圓軸扭轉(zhuǎn)時，在橫截面和縱截面上的切應(yīng)力為最大值；在方向角 = 45的斜截面上作用有最大壓應(yīng)力和最大拉應(yīng)力。根據(jù)這一結(jié)論，就可解釋前述的破壞現(xiàn)象。第32頁/共59頁34四、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算強

12、度條件：對于等截面圓軸：maxmaxtWT( 稱為許用切應(yīng)力。)強度計算三方面： 校核強度： 設(shè)計截面尺寸： 計算許可載荷：maxmaxtWTmaxTWtmaxtWT）（空：實：433116 16 DDWt靜載下: = ( 0.5 0.6 ) ( 鋼 ) = ( 0.8 1.0 ) ( 鑄鐵 )第33頁/共59頁35 例例2 2 功率為150kW，轉(zhuǎn)速為轉(zhuǎn)/秒的電動機轉(zhuǎn)子軸如圖， 許用切應(yīng)力 =30M Pa, 試校核其強度。nPmTBC55. 9m)(kN55. 1m)(kN604 .1515055. 9Tm解：求扭矩及扭矩圖計算并校核切應(yīng)力強度此軸滿足強度要求。D3 =135D2=75D1=

13、70ABCmmxMPa231607. 01055. 133maxtWT第34頁/共59頁3645 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形 剛度計算一、扭轉(zhuǎn)時的變形由公式pGITx dd 知：長為 l一段等截面桿兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角 為值不變）若 ( d d0TGITlxGITplp單位: 弧度(rad)第35頁/共59頁37二、單位扭轉(zhuǎn)角q：(rad/m) dd pGITx q/m)( 180 dd qpGITx 或三、剛度條件 (rad/m) maxqpGIT /m)( 180 maxqpGIT 或GIp反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面的抗扭剛度。q稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。第36頁/共59頁38剛度計算的三方面：

14、 校核剛度： 設(shè)計截面尺寸： 計算許可載荷： maxqq max qGT Ip max qpGIT 有時，還可依據(jù)此條件進(jìn)行選材。q 根據(jù)機器要求、軸的工作條件確定。 可查手冊。精密機器軸： q = （ 0.15 0.30 ）/m一般傳動軸： q = （ 0.30 .0 ）/m精度不高的軸： q = （ .0 . ）/m第37頁/共59頁39 例例33長為 L=2m 的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，G=80GPa ，許用切應(yīng)力 =30MPa，試設(shè)計桿的外徑；若q2/m ，試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。解：設(shè)計桿的外徑maxTWt 116D

15、43）（tW314max 116）（TD第38頁/共59頁40314max 116）（TD40NmxT代入數(shù)值得：D 0.0226m。 由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度q180maxmaxPGIT第39頁/共59頁4140NmxTq180maxmaxPGIT q89. 1)1 (108018040324429D右端面轉(zhuǎn)角為：弧度）( 033.0 )4(102040202200 xxGIdxGIxdxGITPPLP第40頁/共59頁42 例例44 某傳動軸設(shè)計要求轉(zhuǎn)速n = 500 r / min，輸入功率N1 = 500 馬力， 輸出功率分別 N2 = 200馬力及 N3 = 300馬力，已知：G=80

16、GPa ， =70M Pa，f1/m ，試確定： AB 段直徑 d1和 BC 段直徑 d2 ？ 若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？ 主動輪與從動輪如何安排合理？解：圖示狀態(tài)下,扭矩如圖，由強度條件得： 500400N1N3N2ACBTx(kNm)m)(kN024. 7024. 71ABnNTmaxmaxtWTm)(kN21. 4024. 73BCnNT第41頁/共59頁4316 31TdWt mm4 .67107014. 3421016163632BCTd 32 4 qGTdIp mm80107014. 3702416163631ABTd由剛度條件得：500400N1N3N2ACBTx(kNm) (

17、rad/m) maxqqpGIT 第42頁/共59頁44 mm4 .741108014. 3180421032 3249242 qGTdBCmm841108014. 3180702432 3249241 qGTdAB mm75 mm8521 d,d綜上：全軸選同一直徑時 mm851 dd第43頁/共59頁45 軸上的絕對值最大的扭矩越小越合理，所以，1輪和2輪應(yīng) 該換位。換位后,軸的扭矩如圖所示,此時,軸的最大直徑 為 75mm。Tx(kNm)第44頁/共59頁46圓軸扭轉(zhuǎn)的超靜定問題解決扭轉(zhuǎn)超靜定問題的方法步驟：解決扭轉(zhuǎn)超靜定問題的方法步驟：平衡方程；平衡方程；幾何方程幾何方程變形協(xié)調(diào)方程；

18、變形協(xié)調(diào)方程；補充方程：由幾何方程和物理方程得；補充方程：由幾何方程和物理方程得；物理方程；物理方程；解由平衡方程和補充方程組成的方程組。解由平衡方程和補充方程組成的方程組。 pGITl第45頁/共59頁47 例例55長為 L=2m 的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，外徑 D=0.0226m ，G=80GPa，試求固端反力偶。解解：桿的受力圖如圖示， 這是一次超靜定問題。 平衡方程為：02BAmmm第46頁/共59頁48幾何方程變形協(xié)調(diào)方程0BA 綜合物理方程與幾何方程，得補充方程：040220200PAPALPBAGImdxGIxmdxGITm

19、N 20 Am 由平衡方程和補充方程得：另:此題可由對稱性直接求得結(jié)果。mN 20Bm第47頁/共59頁4946 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)簡介非圓截面等直桿：平面假設(shè)不成立。即各截面發(fā)生翹曲成空間曲面。因此，由等直圓桿扭轉(zhuǎn)時推出的應(yīng)力、變形公式不適用，須由彈性力學(xué)方法求解。第48頁/共59頁50一一、自由扭轉(zhuǎn)、自由扭轉(zhuǎn)：桿件扭轉(zhuǎn)時，橫截面的翹曲不受限制，任意兩相 鄰截面的翹曲程度完全相同。二二、約束扭轉(zhuǎn)：、約束扭轉(zhuǎn)：桿件扭轉(zhuǎn)時，橫截面的翹曲受到限制，相鄰截面 的翹曲程度不同。三三、矩形桿橫截面上的切應(yīng)力、矩形桿橫截面上的切應(yīng)力: : hbh 1T max 注意！b1. 切應(yīng)力分布如圖：（角點、形心、長短

20、邊中點）( (縱向纖維長度不變縱向纖維長度不變, , 無無 , , 只有只有 ) )（產(chǎn)生（產(chǎn)生 、 ) )第49頁/共59頁512. 最大切應(yīng)力及單位扭轉(zhuǎn)角max1 hbh 1T max 注意！b maxmaxtWT , tGITqIt相當(dāng)極慣性矩。hbtW2 :其中hbIt3 :其中31 ; ) 10 : (bh即對于狹長矩形 和 可查表求得。第50頁/共59頁52 例例8 8 一矩形截面等直鋼桿，其橫截面尺寸為：h = 100 mm， b=50mm，長度L=2m，桿的兩端受扭轉(zhuǎn)力偶 T=4000Nm 的 作用 ，鋼的G =80GPa ，=100M Pa，q=1/m ，試校核 此桿的強度和

21、剛度。解：查表求 、校核強度0.229 ; 0.246 ; 250100bh m1066105. 01 . 0246. 0h 3622.btW第51頁/共59頁53校核剛度 MPa65106614000 6maxmax.WTt4833m1028405. 01 . 0229. 0 bhIt qq/m1rad/m0174501028610804000 o89.GITt綜上,此桿滿足強度和剛度要求。第52頁/共59頁54一、切應(yīng)力流的方向與扭矩的方向一致。一、切應(yīng)力流的方向與扭矩的方向一致。二、開口薄壁截面桿在自由扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力分布如圖（二、開口薄壁截面桿在自由扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力分布如圖（a），厚），厚

22、 度中點處，應(yīng)力為零。度中點處，應(yīng)力為零。39 薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)第53頁/共59頁55三、閉口薄壁截面桿在自由扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力分布如圖（三、閉口薄壁截面桿在自由扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力分布如圖（b b），），同同 一厚度處，應(yīng)力均勻分布。一厚度處，應(yīng)力均勻分布。第54頁/共59頁56四、閉口薄壁截面桿自由扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力計算，在（四、閉口薄壁截面桿自由扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力計算，在（c）圖上?。﹫D上取 單元體如圖（單元體如圖（d）。）。圖（c）d1d xd 212圖（d）2211 d d ; 0ddxxX常量2211 dd第55頁/共59頁57dminmax2Tddd22d)ds(T積。為厚度中線所包圍的面 21dds第56頁/共59頁58 例例88下圖示橢圓形薄壁截面桿，橫截面尺寸為：a=50 mm，b=75mm，厚度t =5mm，桿兩端受扭轉(zhuǎn)力偶 T=5000Nm，試求此桿的最大切應(yīng)力。解：閉口薄壁桿自由扭轉(zhuǎn)時的最大切應(yīng)力：batMPa42107550525000 229minmaxdabtTT第57頁/共59頁59第58頁/共59頁