高考數(shù)學(xué)圓錐曲線重難點(diǎn)專(zhuān)題訓(xùn)練專(zhuān)題11直線與拋物線的位置關(guān)系（含答案）

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1、 專(zhuān)題11 直線與拋物線的位置關(guān)系 一、單選題 1．直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則，滿足的條件是（ ） A． B．， C．， D．或 2．過(guò)點(diǎn)作直線，使它與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有（ ） A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 3．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，傾斜角為的直線過(guò)點(diǎn)，若上恰存在3個(gè)不同的點(diǎn)到的距離為，則的準(zhǔn)線方程為（ ） A． B． C． D． 4．給定拋物線，F(xiàn)是其焦點(diǎn)，直線，它與E相交于A，B兩點(diǎn)，如果且，那么的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 5．已知拋物線，過(guò)的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)．則的值為（

2、） A．4 B． C．1 D． 6．已知點(diǎn)P是拋物線上任一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l：距離的最小值為（ ） A． B． C． D．2 7．已知拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為2，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（ ） A． B． C． D．9 8．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，則的取值范圍是（ ） A． B．) C． D． 二、多選題 9．已知，過(guò)拋物線：焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ） A．過(guò)與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線

3、有兩條 B．與到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值為3 C．若，，成等比數(shù)列，則 D．拋物線在、兩點(diǎn)處的切線互相垂直 10．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于，兩點(diǎn)，若，則直線l的斜率為（ ） A． B．2 C． D．-2 11．設(shè)是拋物線的焦點(diǎn)，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ） A． B．可能大于 C．若，則 D．若在拋物線上存在唯一一點(diǎn)（異于、），使得，則 12．已知直線和拋物線交于、兩點(diǎn)，直線、（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為、，若，則（ ） A． B． C． D． 三、填空題 13．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(1，2)在

4、拋物線C:y2=4x上，過(guò)點(diǎn)P作兩直線分別交拋物線C于點(diǎn)A，B，若kPA+kPB=0，則kAB·kOP的值為_(kāi)___. 14．已知點(diǎn)A到點(diǎn)F(1,0)的距離和到直線x＝－1的距離相等，點(diǎn)A的軌跡與過(guò)點(diǎn)P(－1,0)且斜率為k的直線沒(méi)有交點(diǎn)，則k的取值范圍是________． 15．拋物線的焦點(diǎn)為，已知拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為2，則直線與該切線的夾角的正弦值為_(kāi)_____． 16．過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)的動(dòng)直線交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，點(diǎn).當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)__________. 四、解答題 17．已知拋物線：，坐標(biāo)原點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，直線：． （1）若與只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值；

5、（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，求的面積． 18．已知,是拋物線上的點(diǎn). （1）若點(diǎn)在其準(zhǔn)線上的投影為，求的最小值； （2）求過(guò)點(diǎn)且與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的方程. 19．已知曲線在軸右邊，上每一點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去它到軸距離的差都是. （1）求曲線的方程； （2）是否存在正數(shù)，對(duì)于過(guò)點(diǎn)且與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)的任一直線，都有？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 20．已知拋物線：，點(diǎn)M在拋物線C上，點(diǎn)N在x軸的正半軸上，等邊的邊長(zhǎng)為. （1）求C的方程； （2）若平行軸的直線交直線OM于點(diǎn)P，交拋物線C

6、于點(diǎn)，點(diǎn)T滿足，，判斷直線TM與拋物線C的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由. 21．已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)，且與直線相切，設(shè)圓心的軌跡為曲線. （1）求曲線的方程； （2）設(shè)直線交曲線于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓交軸于，兩點(diǎn)，若，求的取值范圍. 22．已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為的橢圓C過(guò)點(diǎn). （1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）是否存在不過(guò)原點(diǎn)O的直線l∶y=kx+m與C交于P，Q兩點(diǎn)，使得直線OP?PQ?OQ的斜率成等比數(shù)列?若存在，求k的值及m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 專(zhuān)題11 直線與拋物線的位置關(guān)系 一、單選題 1．直線與拋物

7、線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則，滿足的條件是（ ） A． B．， C．， D．或 【解析】當(dāng)時(shí)，直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意； 當(dāng)時(shí)，由可得：， 若直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)， 則，整理可得：，所以， 綜上所述：或，故選：D. 2．過(guò)點(diǎn)作直線，使它與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有（ ） A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 【解析】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線符合題意． 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為， 由，得． 當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，由，可得， 即當(dāng)時(shí)，符合題意．綜上，滿足條件的直線有3條．故選：C 3．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，傾斜角為

8、的直線過(guò)點(diǎn)，若上恰存在3個(gè)不同的點(diǎn)到的距離為，則的準(zhǔn)線方程為（ ） A． B． C． D． 【解析】由題意，拋物線的焦點(diǎn)為， 因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線，設(shè)直線與拋物線相切， 聯(lián)立方程組，可得， 則，解得，且 ， 故兩平行線間的距離，解得， 所以拋物線的方程為，則準(zhǔn)線方程為.故選：B. 4．給定拋物線，F(xiàn)是其焦點(diǎn)，直線，它與E相交于A，B兩點(diǎn)，如果且，那么的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【解析】直線與拋物線方程聯(lián)立得：， 因?yàn)橹本€與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，所以，設(shè)， 因此有，且， 由，代入中得： 且，解得：， 函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，所以，因此

9、， 所以或，故選：C 5．已知拋物線，過(guò)的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)．則的值為（ ） A．4 B． C．1 D． 【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的焦點(diǎn)且斜率為的直線方程為， 因?yàn)樵撝本€與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，，所以， 聯(lián)立，消去得，.由韋達(dá)定理得，.故選：B. 6．已知點(diǎn)P是拋物線上任一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l：距離的最小值為（ ） A． B． C． D．2 【解析】設(shè)與拋物線相切，且與直線平行的直線方程為， 由得，所以，，所以切線方程為， 切線與直線的距離為．即為到直線的最小值．故選：D． 7．已知拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為2，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則的最

10、小值為（ ） A． B． C． D．9 【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為2， 所以，拋物線的方程為．設(shè)直線的方程為， 將此方程代入，整理得．設(shè)，，則， 所以， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．故選：B． 8．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，則的取值范圍是（ ） A． B．) C． D． 【解析】由題意知，設(shè)，直線， 代入得，有， 所以，所以 所以直線，代入得， 所以，故選：D 二、多選題 9．已知，過(guò)拋物線：焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

11、 ） A．過(guò)與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩條 B．與到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值為3 C．若，，成等比數(shù)列，則 D．拋物線在、兩點(diǎn)處的切線互相垂直 【解析】設(shè)過(guò)的直線方程為：，又 拋物線的方程為：， 聯(lián)立方程可得：化簡(jiǎn)得： ， ，時(shí)，解得，即有兩解. 又時(shí)，，所以直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn) 過(guò)與拋物線相交且有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有三條，選項(xiàng)A錯(cuò)誤； ，與到拋物線的準(zhǔn)線距離之和等于， 又，選項(xiàng)B正確； 設(shè)，，直線的方程為，代入拋物線的方程可得， 所以，， 因?yàn)椋? 所以，選項(xiàng)C正確； 不妨設(shè)，由得，由得， 所以拋物線在處的切線的斜率為，在處的切線的斜率為，

12、 因?yàn)?，所以?xún)蓷l切線相互垂直，選項(xiàng)D正確． 故選：BCD． 10．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于，兩點(diǎn)，若，則直線l的斜率為（ ） A． B．2 C． D．-2 【解析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得， 所以,，，, 由題得. 因?yàn)?，所?滿足. 故選：BD 11．設(shè)是拋物線的焦點(diǎn)，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ） A． B．可能大于 C．若，則 D．若在拋物線上存在唯一一點(diǎn)（異于、），使得，則 【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)、. 聯(lián)立直線與拋物線可得，則，， 則，故A正確； 對(duì)于B選項(xiàng)，，故B錯(cuò)誤； 對(duì)于C選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)作直線

13、的垂線，垂足為點(diǎn)， 由拋物線的定義可得，則， 當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，且的最小值為點(diǎn)到直線的距離，故的最小值為，故C正確； 若存在唯一一點(diǎn)，使得， ，同理可得， ， 由題意可得且，則，整理可得， 由題意可知，關(guān)于的二次方程只有唯一解， 則，解得，D選項(xiàng)正確. 故選：ACD. 12．已知直線和拋物線交于、兩點(diǎn)，直線、（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為、，若，則（ ） A． B． C． D． 【解析】設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，消去可得， ，解得，由韋達(dá)定理可得，. 對(duì)于A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤； 對(duì)于B選項(xiàng)，， 解得，B選項(xiàng)正確； 對(duì)于C選項(xiàng)，，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤； 對(duì)

14、于D選項(xiàng)，，D選項(xiàng)正確. 故選：BD. 三、填空題 13．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(1，2)在拋物線C:y2=4x上，過(guò)點(diǎn)P作兩直線分別交拋物線C于點(diǎn)A，B，若kPA+kPB=0，則kAB·kOP的值為_(kāi)___. 【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則， ，同理kPB=． ∵kPA+kPB=0，∴+，得y1+y2=，∴kAB=． 又kOP==2，∴ 14．已知點(diǎn)A到點(diǎn)F(1,0)的距離和到直線x＝－1的距離相等，點(diǎn)A的軌跡與過(guò)點(diǎn)P(－1,0)且斜率為k的直線沒(méi)有交點(diǎn)，則k的取值范圍是________． 【解析】設(shè)點(diǎn)，依題意得點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線上，

15、 A點(diǎn)的軌跡為. 由題意可知：過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程為， 由消去，得，當(dāng)時(shí)，顯然不符合題意； 當(dāng)時(shí)，依題意得中，化簡(jiǎn)得，解得或. 因此的取值范圍為. 15．拋物線的焦點(diǎn)為，已知拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為2，則直線與該切線的夾角的正弦值為_(kāi)_____． 【解析】由，得，則， 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由題意可得，解得，則，所以， 因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，所以， 設(shè)切線與的夾角為，則，所以 16．過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)的動(dòng)直線交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，點(diǎn).當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)__________. 【解析】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，作，，，垂足分別為，，. 則，∴，∴， 點(diǎn)到直線的距離為1

16、3，∴， 當(dāng)，，三點(diǎn)共線且在，之間時(shí)，， 此時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.∵過(guò)點(diǎn)，故設(shè)方程為， 代入，得，，，則. 當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，∴，， 直線的方程為，.點(diǎn)在，之間，成立， 所以，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為9. 四、解答題 17．已知拋物線：，坐標(biāo)原點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，直線：． （1）若與只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值； （2）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，求的面積． 【解析】（1）依題意消去得，即， ①當(dāng)時(shí)，顯然方程只有一個(gè)解，滿足條件； ②當(dāng)時(shí)，，解得； 綜上，當(dāng)或時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)； （2）拋物線：，所以焦點(diǎn)，所以直線方程為，設(shè)，， 由，消去得，所以，，

17、所以， 所以. 18．已知,是拋物線上的點(diǎn). （1）若點(diǎn)在其準(zhǔn)線上的投影為，求的最小值； （2）求過(guò)點(diǎn)且與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的方程. 【解析】（1）由拋物線，可得其焦點(diǎn)為，如圖所示， 根據(jù)拋物線的定義，可得，所以， 當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立， 又由，所以，即的最小值為. （2）①當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為， 此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，滿足題意； ②當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為， 聯(lián)立方程組，整理得， 當(dāng)時(shí)，方程可只有一解，此時(shí)直線方程為； 當(dāng)時(shí)，令，解得， 所以直線方程為. 綜上可得，直線方程為或或. 19．已知曲線在軸右

18、邊，上每一點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去它到軸距離的差都是. （1）求曲線的方程； （2）是否存在正數(shù)，對(duì)于過(guò)點(diǎn)且與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)的任一直線，都有？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【解析】（1）設(shè)是曲線上任意一點(diǎn)，由題意可得：， 整理可得：， （2）存在，理由如下： 設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線的交點(diǎn)為，， 設(shè)直線的方程為，由得：，， 所以，又，， 由，可得， 所以，， 將代入上式可得：對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立， 所以，解得：， 所以存在正數(shù)，對(duì)于過(guò)點(diǎn)且與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)的任一直線，都有，且的取值范圍. 20．已知拋物線：，點(diǎn)M在拋物線C上，點(diǎn)N在x軸的正半軸上，等邊的邊長(zhǎng)為.

19、（1）求C的方程； （2）若平行軸的直線交直線OM于點(diǎn)P，交拋物線C于點(diǎn)，點(diǎn)T滿足，，判斷直線TM與拋物線C的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由. 【解析】（1）等邊的邊長(zhǎng)為，得， 代入，解得，所以，C的方程為. （2）相切.理由如下；由（1）得C的方程為，. 由等邊得，直線的方程為， 不妨設(shè)直線的方程為，則，，設(shè)點(diǎn)， 從而，，， 由得，， 由得，，整理得， 所以，由題知. 設(shè)直線的斜率為，則， 則直線的方程為，即， 與拋物線聯(lián)立得，整理得，從而 所以直線與拋物線相切. 21．已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)，且與直線相切，設(shè)圓心的軌跡為曲線. （1）求曲線的方程； （2）設(shè)直線交曲線于，兩

20、點(diǎn)，以為直徑的圓交軸于，兩點(diǎn)，若，求的取值范圍. 【解析】（1）設(shè)，由題意得到的距離與到直線的距離相等， 由拋物線的定義知曲線的方程為. （2）設(shè)，，由題意可知直線過(guò)的焦點(diǎn)， 聯(lián)立消去得，整理得， ∴. ∵過(guò)的焦點(diǎn)，∴以為直徑的圓的圓心為，半徑為， ∵， 解得，或， ∴的取值范圍是. 22．已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為的橢圓C過(guò)點(diǎn). （1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）是否存在不過(guò)原點(diǎn)O的直線l∶y=kx+m與C交于P，Q兩點(diǎn)，使得直線OP?PQ?OQ的斜率成等比數(shù)列?若存在，求k的值及m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【解析】（1）設(shè)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a>b>0）， 由題意得，，解得，∴C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （2）聯(lián)立，得（m≠0）， 設(shè)，則， ∴ ∵OP，PQ，OQ的斜率成等比數(shù)列，∴，∴， ∴，∴，∴，解得 ∵， ∴，解得，∵，∴，解得. 綜上，，m的取值范圍為.