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1、
類型七 直角三角形中的輔助線
1. (2017重慶一中一模)在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是斜邊BC的中點，連接AD.
(1)如圖①，E是AC的中點，連接DE，將△CDE沿CD翻折到△CDE′，連接AE′，當AD＝時，求AE′的值；
(2)如圖②，在AC上取一點E，使得CE＝AC，連接DE，將△CDE沿CD翻折到△CDE′，且AE′交BC于點F，求證：DF＝CF.
第1題圖
2. △ABC是等腰直角三角形，AC＝BC，∠ACB＝90°.
(1)如圖①，點M是BA延長線上一點，連接CM，K是AC上一點，B
2、K延長線交CM于N，∠MBN＝∠MCA＝15°，BK＝8，求CM的長度；
(2)如圖②，直線l經(jīng)過點C，AF⊥l于點F，BE⊥l于點E，點D是AB的中點，連接ED.求證：AF＝BE＋DE.
第2題圖
答案
1. (1)解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D是斜邊BC的中點，
∴∠ADC＝90°，∠ACD＝45°，
在Rt△ADC中，AC＝＝2，
∵E是AC的中點，
∴CE＝AC＝1，
∵將△CDE沿CD翻折到△CDE′，
∴CE′＝CE＝1，∠ACE′＝90°，
由勾股定理得：AE′＝＝；
(2)證明：如解
3、圖，過B作AE′的垂線交AD于點G，交AC于點H，
∵∠ABH＋∠BAF＝90°，∠CAF＋∠BAF＝90°，
∴∠ABH＝∠CAF，
又∵AB＝AC，∠BAH＝∠ACE′＝90°，
∴△ABH≌△CAE′，
∴AH＝CE′＝CE，
∵CE＝AC，
∴AH＝HE＝CE，
∵D是BC中點，
∴DE∥BH，
∴G是AD中點，
在△ABG和△CAF中，
∴△ABG≌△CAF(ASA)，
∴AG＝CF，
∵AG＝AD，
∴CF＝AD＝CD，∴DF＝CF.
第1題解圖
2. (1)解：如解圖①，過C作CD⊥AB于點D，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠AB
4、C＝∠BAC＝45°，
∵∠MBN＝15°，
∴∠KBC＝30°，
∵BK＝8，
∴BC＝4，
∴CD＝BC＝2，
∵∠MCA＝15°，∠BAC＝45°，
∴∠M＝30°，
∴CM＝2CD＝4；
第2題解圖①
(2)證明：如解圖②，連接DF，CD，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC＝∠ACB＝90°，
∴∠EBC＋∠BCE＝∠BCE＋∠FCA＝90°，
∴∠EBC＝∠FCA，
∵AF⊥l于點F，
∴∠AFC＝90°，
在△CBE與△ACF中，，
∴△CBE≌△ACF(AAS)；
∴BE＝CF，CE＝AF，
∵點D是AB的中點，
∴CD＝BD，∠CDB＝90°，
∵∠EBD＝∠DCF，
在△BDE與△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(SAS)，
∴∠EDB＝∠FDC，DE＝DF，
∵∠CDF＋∠FDB＝90°，∠EDB＋∠BDF＝90°，
∴∠EDF＝90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，
∴EF＝DE，
∴AF＝CE＝EF＋CF＝BE＋DE.
第2題解圖②
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重慶市2018年中考數(shù)學題型復(fù)習 題型七 幾何圖形的相關(guān)證明及計算 類型七 直角三角形中的輔助線練習
