重慶市2018年中考數(shù)學題型復習 題型七 幾何圖形的相關證明及計算 類型五 構造直角三角形練習

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1、 類型五 構造直角三角形 1. (2017重慶南開一模)如圖，四邊形ABCD為矩形，連接AC，AD＝2CD，點E在AD邊上． (1)如圖①，若∠ECD＝30°，CE＝4，求△AEC的面積； (2)如圖②，延長BA至點F使得AF＝2CD，連接FE并延長交CD于點G，過點D作DH⊥EG于點H，連接AH，求證：FH＝AH＋DH. 第1題圖 2. 已知△ABC和△ADE都是等邊三角形，點B，D，E在同一條直線上． (1)如圖①，當AC⊥DE，且AD＝2時，求線段BC的長度； (2)如圖②，當CD⊥BE時，取線段BC的中點F，線段DC的中點G，連接DF，EG，求證：DF＝

2、EG. 第2題圖 3. 如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為CB上一點，且滿足CD＝CA，連接AD.過點C作CE⊥AB于點E. (1)若AB＝10，BD＝2，求CE的長； (2)如圖②，若點F是線段CE延長線上一點，連接FD，若∠F＝30°，求證：CF＝AE＋DF； 第3題圖 4. (2017重慶八中模擬)如圖，△ABD是等腰直角三角形，點C是BD延長線上一點，F(xiàn)在AC上，AD＝AF，E為△ADC內一點，連接AE、BE，AE平分∠CAD，AE⊥BE. (1)若∠EBD＝15°，求∠ADF； (2

3、)求證：BE－AE＝DF. 5. (2017重慶巴蜀一模)如圖，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D為AC上一點，連接BD，過C點作BD的垂線交BD的延長線于點E，連接AE，過點A作AF⊥AE交BD于點F，連接CF. (1)若CE＝2，AE＝，求BC的長； (2)若點D為AC的中點，求證：CF＝2CD. 第5題圖 6. 如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點D在BC的延長線上，連接AD，過點B作BE⊥AD，垂足為E，交A

4、C于點F，連接CE. (1)求證：△BCF≌△ACD； (2)猜想∠BEC的度數(shù)，并說明理由； (3)探究線段AE，BE，CE之間滿足的等量關系，并說明理由． 第6題圖 答案 1. (1)解：在Rt△EDC中， ∵∠ECD＝30°， ∴ED＝EC＝×4＝2， ∴DC＝EC·cos 30°＝4×＝2， ∴AE＝2DC－ED＝4－2， ∴S△AEC＝×AE×DC＝(4－2)×2＝12－2； (2)證明：如解圖，過A作AM⊥AH，交FG于點M， ∴∠MAH＝∠MAD＋∠DAH＝90°， 又∵∠FAD＝∠MAD

5、＋∠FAM＝90°，∴∠FAM＝∠DAH， ∵AF∥CD， ∴∠F＝∠EGD， ∵DH⊥EG， ∴∠DHE＝∠HDG＋∠EGD＝90°，∠EDG＝∠EDH＋∠HDG＝90°， ∴∠EGD＝∠EDH， ∴∠F＝∠EDH， 又∵AF＝2CD，AD＝2CD， ∴AF＝AD， ∴△AFM≌△ADH(ASA)， ∴AM＝AH，F(xiàn)M＝DH， ∴△MAH是等腰直角三角形， ∴MH＝AH， ∵FH＝MH＋FM， ∴FH＝AH＋DH. 第1題解圖 2. (1)解：設AC與DE交于點F，如解圖①所示： ∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，AC⊥DE，AD＝2， ∴BC＝AC

6、，DE＝AD＝2，DF＝DE＝1，AF＝CF， ∴AF＝＝， ∴AC＝2AF＝2， ∴BC＝2； (2)證明：連接CE、GF，如解圖②所示： ∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，點B，D，E在同一條直線上． ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠AED＝60°， ∴∠ADB＝120°，∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°， ∴∠CED＝∠AEC－∠AED＝60°， ∵CD⊥BE， ∴∠DCE＝30°， ∴DE＝CE， ∵點F為線段BC的中點，點G為線段DC的中點，

7、 ∴FG∥BD，F(xiàn)G＝BD， ∴FG∥DE，F(xiàn)G＝DE， ∴四邊形DFGE是平行四邊形， ∴DF＝EG. 第2題解圖 3. (1)解：設AC＝CD＝x. 在Rt△ACB中，AB＝10，AC＝x，BC＝CD＋BD＝x＋2， ∵AB2＝AC2＋BC2， ∴102＝x2＋(x＋2)2， 解得x＝6或－8(舍)， ∴AC＝6，BC＝8. ∵·AC·BC＝·AB·CE， ∴CE＝＝. (2)證明：如解圖，過點D作DH⊥CF于點H. 第3題解圖 ∵∠ACD＝∠AEC＝∠DHC＝90°， ∴∠ACE＋∠CAE＝90°，∵∠ACE＋∠BCE＝90°， ∴∠CAE＝∠D

8、CH， 在△ACE和△CDH中， ∴△ACE≌△CDH(AAS)， ∴AE＝CH， 在Rt△DHF中， ∵∠DHF＝90°，∠F＝30°， ∴HF＝DF·cos 30°＝DF， ∴CF＝CH＋HF＝AE＋DF. 4. (1)解：在△BGD和△AGE中， ∵∠BDG＝∠AEG＝90°， ∠BGD＝∠AGE， ∴∠DBG＝∠EAG， ∵∠DBG＝15°，AE平分∠CAD， ∴∠DAC＝30°， ∵AD＝AF ∴∠ADF＝75°， (2)證明：如解圖，過D作DH⊥DE，交BE于點H， 第4題解圖 ∵∠BDA＝∠EDH＝90°， ∴∠BDH＝∠ADE， 在△

9、AED和△BHD中，， ∴△AED≌△BHD(ASA)， ∴DE＝DH， ∴△DHE為等腰直角三角形， ∴∠DEH＝45°， ∴∠DEA＝135°， 在△DAE和△FAE中， ∴△DAE≌△FAE(SAS)， ∴∠AED＝∠AEF＝135°，DE＝EF， ∴DH＝EF， ∴△DEF為等腰直角三角形， ∴四邊形HDFE為平行四邊形， ∴HE＝DF， ∵BE－BH＝HE，BH＝AE， ∴BE－AE＝DF. 5. (1)解：∵AB＝AC，AB⊥AC，BE⊥CE， ∴∠BEC＝∠BAC＝90°， ∵∠ADB＝∠CDE， ∴∠ABF＝∠ACE， ∵∠BAC＝∠FAE

10、＝90°， ∴∠BAF＝∠CAE， ∴△AFB≌△AEC(ASA)， ∴BF＝CE，AE＝AF， 又∵在Rt△FAE中，AE＝， ∴EF＝3， 在Rt△BEC中，BE＝BF＋EF＝2＋3＝5，CE＝2， ∴BC＝＝， (2)證明：如解圖，過點A作AM⊥BE于點M，連接CM. ∴在Rt△ADM和Rt△CDE中，， ∴△ADM≌△CDE(AAS)， ∴CE＝AM， 在Rt△AMF中，∠AFD＝45°，∠FAM＝45°， ∴CE＝AM＝FM＝ME， ∴∠EMC＝45°， ∴∠FMC＝∠AMC＝135°，CM＝CM， ∴△FMC≌△AMC(SAS)， ∴CF＝AC＝2

11、CD. 第5題解圖 6. (1)證明：∵BE⊥AD，∠ACB＝90°， ∴∠CBE＝∠CAD＝90°－∠D， 在△BCF和△ACD中，， ∴△BCF≌△ACD(ASA)； (2)解：∠BEC＝45°， 理由：如解圖，取AB的中點M，連接CM，EM， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°，BE⊥AD， ∴CM＝EM＝AM＝BM＝AB， ∴點A，B，C，E在同一個圓(⊙M)上， ∴∠BEC＝∠BAC＝45°； (3)解：BE＝AE＋CE， 理由：作CG⊥CE交BE于點G， ∵∠BEC＝45°， 則∠CGE＝45°＝∠BEC，CG＝CE， ∴∠BGC＝135°＝∠AEC，EG＝CE， 在△BCG和△ACE中， ∴△BCG≌△ACE(AAS)， ∴BG＝AE， ∴BE＝BG＋EG＝AE＋CE. 第6題解圖 12