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1、閱讀理解與新概念題
05
閱讀理解與新概念題
1.[2018·日照] 定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F”運(yùn)算:①當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),F(n)=3n+1;②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),F(n)=n2k其中k是使n2k為奇數(shù)的正整數(shù),…,兩種運(yùn)算交替重復(fù)進(jìn)行.例如,取n=24,則運(yùn)算過(guò)程如圖ZT5-1.
圖ZT5-1
若n=13,則第2018次“F”運(yùn)算的結(jié)果是 ( )
A.1 B.4 C.2018 D.42018
2.[2018·永州] 對(duì)于任意大于0的實(shí)數(shù)x,y,滿足:log2(x·y)=log2x+log2y,若log22=1,則log216= .?
3.[2018·遂寧] 請(qǐng)
2、閱讀以下材料:已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)滿足下列條件:
①a=x12+y12;b=x22+y22;②a?b=a×bcosα(角α的取值范圍是0°<α<90°),③a?b=x1x2+y1y2.利用上述所給條件,解答下列問(wèn)題:
已知a=(1,3),b=(-3,3),求角α的大小.
解:∵a=x12+y12=12+(3)2=2,
b=x22+y22=(-3)2+32=12=23,
∴a?b=a×bcosα=2×23cosα=43cosα.
又∵a?b=x1x2+y1y2=1×(-3)+3×3=23,
∴43cosα=23.
∴cosα=12.
∴α=60°.
3、∴角α的值為60°.
請(qǐng)仿照以上解答過(guò)程,完成下列問(wèn)題:
已知a=(1,0),b=(1,-1),求角α的大小.
4.[2018·北京] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,函數(shù)y=kx(x>0)的圖象G經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,1),直線l:y=14x+b與圖象G交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求k的值.
(2)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).記圖象G在點(diǎn)A,B之間的部分與線段OA,OC,BC圍成的區(qū)域(不含邊界)為W.
①當(dāng)b=-1時(shí),直接寫(xiě)出區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù);
②若區(qū)域W內(nèi)恰有4個(gè)整點(diǎn),結(jié)合圖象,求b的取值范圍.
5.[2018·荊州]
4、 探究函數(shù)y=x+1x(x>0)與y=x+ax(x>0,a>0)的相關(guān)性質(zhì).
(1)小聰同學(xué)對(duì)函數(shù)y=x+1x(x>0)進(jìn)行了如下列表、描點(diǎn)(圖ZT5-2),請(qǐng)你幫他完成連線的步驟;觀察圖象可得它的最小值為 ,它的另一條性質(zhì)為 .?
x
…
14
13
12
1
32
2
52
3
…
y
…
174
103
52
2
136
52
2910
103
…
圖ZT5-2
(2)請(qǐng)用配方法求函數(shù)y=x+1x(x>0)的最小值.
(3)猜想函數(shù)y=x+ax(x>0,a>0)的最小值為 .?
6.[
5、2018·江西] 小賢與小杰在探究某類(lèi)二次函數(shù)問(wèn)題時(shí),經(jīng)歷了如下過(guò)程:
求解體驗(yàn)
(1)已知拋物線y=-x2+bx-3經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0),則b= ,頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ,該拋物線關(guān)于點(diǎn)(0,1)成中心對(duì)稱(chēng)的拋物線的表達(dá)式是 .?
抽象感悟
我們定義:對(duì)于拋物線y=ax2+bx+c(a≠0),以y軸上的點(diǎn)M(0,m)為中心,作該拋物線關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)的拋物線y',則我們又稱(chēng)拋物線y'為拋物線y的“衍生拋物線”,點(diǎn)M為“衍生中心”.
(2)已知拋物線y=-x2-2x+5關(guān)于點(diǎn)(0,m)的衍生拋物線為y',若這兩條拋物線有交點(diǎn),求m的取值范圍.
問(wèn)題解決
(3)已知拋物線y=ax
6、2+2ax-b(a≠0).
①若拋物線y的衍生拋物線為y'=bx2-2bx+a2(b≠0),兩條拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),且恰好是它們的頂點(diǎn),求a,b的值及衍生中心的坐標(biāo);
②若拋物線y關(guān)于點(diǎn)(0,k+12)的衍生拋物線為y1,其頂點(diǎn)為A1;關(guān)于點(diǎn)(0,k+22)的衍生拋物線為y2,其頂點(diǎn)為A2;…;關(guān)于點(diǎn)(0,k+n2)的衍生拋物線為yn,其頂點(diǎn)為An;…(n為正整數(shù)).求AnAn+1的長(zhǎng)(用含n的式子表示).
圖ZT5-3
7.[2018·北京] 對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M,N,給出如下定義:P為圖形M上任意一點(diǎn),Q為圖形N上任意一點(diǎn),如果P,Q兩點(diǎn)間的距離
7、有最小值,那么稱(chēng)這個(gè)最小值為圖形M,N間的“閉距離”,記為d(M,N).
已知點(diǎn)A(-2,6),B(-2,-2),C(6,-2).
(1)求d(點(diǎn)O,△ABC).
(2)記函數(shù)y=kx(-1≤x≤1,k≠0)的圖象為圖形G.若d(G,△ABC)=1,直接寫(xiě)出k的取值范圍.
(3)☉T的圓心為T(mén)(t,0),半徑為1.若d(☉T,△ABC)=1,直接寫(xiě)出t的取值范圍.
8.[2017·義烏] 定義:有一組鄰邊相等,并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形.
(1)如圖ZT5-4①,在等腰直角四邊形ABCD中,AB=BC,∠ABC=90
8、°.
①若AB=CD=1,AB∥CD,求對(duì)角線BD的長(zhǎng);
②若AC⊥BD,求證:AD=CD.
(2)如圖②,在矩形ABCD中,AB=5,BC=9,點(diǎn)P是對(duì)角線BD上一點(diǎn),且BP=2PD,過(guò)點(diǎn)P作直線分別交邊AD,BC于點(diǎn)E,F,使四邊形ABFE是等腰直角四邊形.求AE的長(zhǎng).
圖ZT5-4
參考答案
1.A [解析] 根據(jù)題意,第1次:當(dāng)n=13時(shí),F①=3×13+1=40;第2次:當(dāng)n=40時(shí),F②=4023=5;第3次:當(dāng)n=5時(shí),F①=3×5+1=16;第4次:當(dāng)n=16時(shí),F②=1624=1;第5次:當(dāng)n=1時(shí),
9、F①=3×1+1=4;第6次:當(dāng)n=4時(shí),F②=422=1,…,從第4次開(kāi)始,每2次運(yùn)算循環(huán)一次,因?yàn)?2018-3)÷2=1007……1,第2018次“F運(yùn)算”的結(jié)果是1.故選A.
2.4 [解析] 根據(jù)條件中的新定義,可將log216化為log2(2×2×2×2)=log22+log22+log22+log22=1+1+1+1=4.
3.解:∵a=(1,0),b=(1,-1),∴a=x12+y12=12+02=1,b=x22+y22=12+(-1)2=2,∴a?b=a×bcosα=1×2·cosα=2cosα,
又∵a?b=x1x2+y1y2=1×1+0×(-1)=1,
∴2cos
10、α=1.∴cosα=22.
∴α=45°,即角α的值為45°.
4.解:(1)∵函數(shù)y=kx(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,1),
∴1=k4.解得k=4.
(2)①如圖所示,由圖可知區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)有3個(gè),分別為(1,0),(2,0),(3,0).
②由①可知,當(dāng)直線BC過(guò)點(diǎn)(4,0)時(shí),b=-1;當(dāng)直線BC過(guò)點(diǎn)(5,0)時(shí),54+b=0,b=-54.此時(shí),區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)有4個(gè),分別為(1,0),(2,0),(3,0),(4,0).結(jié)合函數(shù)圖象知-54≤b<-1.
當(dāng)直線BC過(guò)點(diǎn)(1,2)時(shí),14+b=2,b=74.
當(dāng)直線BC過(guò)點(diǎn)(1,3)時(shí),14+b=3,b=114.此時(shí),
11、區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)有4個(gè),分別為(1,1),(2,1),(3,1),(1,2).結(jié)合函數(shù)圖象知741時(shí),y隨x的增大而增大.
(2)y=x+1x=(x)2+1x2=x-1x2+2,
令x=1x,解得x=1.
∴當(dāng)x=1時(shí),y取得最小值,最小值為2.
(3)類(lèi)比上問(wèn)可得
y=x+ax=(x)2+ax2=x-ax2+2a,令x=ax,解得x=a.
∴當(dāng)x=a時(shí),y取得最小值2a.
6.解:(1)-4 (-2,1) y=(x-2)2+
12、1
【提示】把(-1,0)代入y=-x2+bx-3,得0=-1-b-3.∴b=-4.
∴拋物線的解析式為y=-x2-4x-3,利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,1).
點(diǎn)(-2,1)關(guān)于(0,1)成中心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1),
∵中心對(duì)稱(chēng)是繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°,∴新拋物線的解析式為y=(x-2)2+1.
(2)y=-x2-2x+5=-(x+1)2+6,
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,6).
∵點(diǎn)(-1,6)關(guān)于(0,m)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(1,2m-6),
∴衍生拋物線為y'=(x-1)2+2m-6.
則-(x+1)2+6=(x-1)2+2m-6,
化簡(jiǎn),得x2=-m+5.
∵這
13、兩條拋物線有交點(diǎn),
∴-m+5≥0,m≤5.
(3)①y=ax2+2ax-b=a(x+1)2-a-b,
頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-a-b),
y'=bx2-2bx+a2=b(x-1)2-b+a2,
頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-b+a2),
∵兩交點(diǎn)恰好是頂點(diǎn),
∴-b+a2=a(1+1)2-a-b,-a-b=b(-1-1)2-b+a2,
解得a=3,b=-3.
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-1,0)和(1,12).
∵(-1,0),(1,12)關(guān)于衍生中心對(duì)稱(chēng),
∴衍生中心為(0,6).
②頂點(diǎn)(-1,-a-b)關(guān)于點(diǎn)(0,k+1)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1(1,2k+2+a+b);
頂點(diǎn)(-1,-a-
14、b)關(guān)于點(diǎn)(0,k+4)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A2(1,2k+8+a+b);
頂點(diǎn)(-1,-a-b)關(guān)于點(diǎn)(0,k+n2)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)An(1,2k+2n2+a+b);
頂點(diǎn)(-1,-a-b)關(guān)于點(diǎn)(0,k+(n+1)2)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)An+1(1,2k+2(n+1)2+a+b);
∴AnAn+1=2(n+1)2-2n2=4n+2.
7.解:(1)如圖①,可知點(diǎn)O到△ABC的最小距離為2,即原點(diǎn)(0,0),(-2,0)(或(0,-2))兩點(diǎn)間的距離,故d(點(diǎn)O,△ABC)=2.
(2)如圖①,直線y=kx(k≠0)經(jīng)過(guò)原點(diǎn),在-1≤x≤1范圍內(nèi),函數(shù)圖象為線段.
當(dāng)y=kx(-1≤x≤1,k≠0)經(jīng)過(guò)
15、(1,-1)時(shí),k=-1,此時(shí),d(G,△ABC)=1;
當(dāng)y=kx(-1≤x≤1,k≠0)經(jīng)過(guò)(-1,-1)時(shí),k=1,此時(shí),d(G,△ABC)=1.
∴-1≤k≤1.
又∵k≠0,
∴-1≤k≤1且k≠0.
(3)如圖②,☉T與△ABC的位置分三種情況討論如下:
①若☉T位于△ABC的左側(cè),易知當(dāng)t=-4時(shí),d(☉T,△ABC)=1.
②若☉T位于△ABC的內(nèi)部,點(diǎn)T與點(diǎn)O重合時(shí),有d(☉T,△ABC)=1;點(diǎn)T與點(diǎn)T3重合時(shí),過(guò)點(diǎn)T3作T3M⊥AC于M,當(dāng)T3M=2時(shí),有d(☉T,△ABC)=1,此時(shí)T3O=4-22.
故0≤t≤4-22.
③若☉T位于△ABC的右
16、側(cè),由②可知,當(dāng)d(☉T,△ABC)=1時(shí),t=4+22.
綜上,符合條件的t的取值范圍是t=-4或0≤t≤4-22或t=4+22.
8.解:(1)①∵AB=CD=1,AB∥CD,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
又∵AB=BC,
∴平行四邊形ABCD是菱形.
又∵∠ABC=90°,
∴菱形ABCD是正方形.
∴BD=12+12=2.
②證明:如圖①,連接AC,BD.
∵AB=BC,AC⊥BD,∴∠ABD=∠CBD.
又∵BD=BD,∴△ABD≌△CBD.
∴AD=CD.
(2)若EF與BC垂直,則AE≠EF,BF≠EF,
∴四邊形ABFE不是等腰直角四邊形,故不符合條件.
若EF與BC不垂直,
①當(dāng)AE=AB時(shí),如圖②,此時(shí)四邊形ABFE是等腰直角四邊形,∴AE=AB=5.
②當(dāng)BF=AB時(shí),如圖③,此時(shí)四邊形ABFE是等腰直角四邊形,∴BF=AB=5.
∵DE∥BF,BP=2PD,
∴BF∶DE=2∶1.
∴DE=2.5,∴AE=9-2.5=6.5.
綜上所述,滿足條件的AE的長(zhǎng)為5或6.5.
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