3、＋2)(S3＋2)＝(S2＋2)2，即6(6＋4q＋4q2)＝(6＋4q)2，即q(q－3)＝0，∵q≠0，∴q＝3.
答案：C
2．(2012年高考廣東卷)已知遞增的等差數列{an}滿足a1＝1，a3＝a－4，則an＝________．
解析：利用等差數列的通項公式求解．
設等差數列的公差為d，則由a3＝a－4，得
1＋2d＝(1＋d)2－4，
∴d2＝4，∴d＝±2.由于該數列為遞增數列，∴d＝2.
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
答案：2n－1
類型二 等差、等比數列的判定與證明
數列{an}是等差或等比數列的證明方法
(1)證明數列{an}是等差數列
4、的兩種基本方法：
①利用定義證明an＋1－an(n∈N*)為常數；
②利用中項性質，即證明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
(2)證明{an}是等比數列的兩種基本方法：
①利用定義證明(n∈N*)為一常數；
②利用等比中項，即證明a＝an－1an＋1(n≥2)．
[例2] (2012年高考陜西卷)設{an}是公比不為1的等比數列，其前n項和為Sn，且a5，a3，a4成等差數列．
(1)求數列{an}的公比；
(2)證明：對任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差數列．
[解析] (1)設數列{an}的公比為q(q≠0，q≠1)，
由a5，a3，a4成等差數列，得2
5、a3＝a5＋a4，
即2a1q2＝a1q4＋a1q3.
由a1≠0，q≠0得q2＋q－2＝0，
解得q1＝－2，q2＝1(舍去)，
所以q＝－2.
(2)證明：證法一 對任意k∈N＋，
Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk)
＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1
＝2ak＋1＋ak＋1·(－2)
＝0，
所以對任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差數列．
證法二 對任意k∈N＋，2Sk＝，
Sk＋2＋Sk＋1＝＋
＝，
2Sk－(Sk＋2＋Sk＋1)＝－
＝[2(1－qk)－(2－qk＋2－qk＋1)]
＝(q2＋q－2)＝0，
因
6、此，對任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差數列．
跟蹤訓練
已知數列{an}和{bn}滿足a1＝m，an＋1＝λan＋n，bn＝an－＋.
(1)當m＝1時，求證：對于任意的實數λ，數列{an}一定不是等差數列；
(2)當λ＝－時，試判斷數列{bn}是否為等比數列．
解析：(1)證明：當m＝1時，a1＝1，a2＝λ＋1，
a3＝λ(λ＋1)＋2＝λ2＋λ＋2.
假設數列{an}是等差數列，
由a1＋a3＝2a2，得λ2＋λ＋3＝2(λ＋1)，
即λ2－λ＋1＝0，Δ＝－3<0，∴方程無實根．
故對于任意的實數λ，數列{an}一定不是等差數列．
(2)當λ＝－時
7、，an＋1＝－an＋n，bn＝an－＋.
bn＋1＝an＋1－＋
＝(－an＋n)－＋
＝－an＋－＝－(an－＋)＝－bn，
b1＝a1－＋＝m－.
∴當m≠時，數列{bn}是以m－為首項，－為公比的等比數列；
當m＝時，數列{bn}不是等比數列．
類型三 等差等比數列的性質
[例3] (1)(2012年高考福建卷)等差數列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，則數列{an}的公差為( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)(2012年高考廣東卷)若等比數列{an}滿足a2a4＝，則a1aa5＝________．
[
8、解析] (1)解法一 利用基本量法求解．
設等差數列{an}的公差為d，由題意得
解得 ∴d＝2.
解法二 利用等差數列的性質求解．
∵在等差數列{an}中，a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5.
又a4＝7，∴公差d＝7－5＝2.
(2)利用等比數列的性質求解．
∵數列{an}為等比數列，
∴a2·a4＝a＝，a1·a5＝a.
∴a1aa5＝a＝.
[答案] (1)B (2)
跟蹤訓練
(2012年高考安徽卷)公比為2的等比數列{an}的各項都是正數，且a3a11＝16，則log2a10＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：利用等
9、比數列的性質和通項公式求解．
∵a3·a11＝16，∴a＝16.
又∵等比數列{an}的各項都是正數，∴a7＝4.
又∵a10＝a7q3＝4×23＝25，∴l(xiāng)og2a10＝5.故選B.
答案：B
析典題（預測高考）
高考真題
【真題】 (2012年高考天津卷)已知{an}是等差數列，其前n項和為Sn，{bn}是等比數列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.
(1)求數列{an}與{bn}的通項公式；
(2)記Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，n∈N*，
證明：Tn－8＝an－1bn＋1(n∈N*，n≥2)．
【解析】 (1)設等差數列{an}的公差
10、為d，等比數列{bn}的公比為q，由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d.
由條件，得方程組解得
所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*.
(2)證明：由(1)得Tn＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n－1)×2n，①
2Tn＝2×22＋5×23＋…＋(3n－4)×2n＋(3n－1)×2n＋1.②
由①－②，得－Tn＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－(3n－1)×2n＋1
＝－(3n－1)×2n＋1－2＝－(3n－4)×2n＋1－8，
即Tn－8＝(3n－4)×2n＋1.
而當n≥2時，an－1bn＋1＝(3n－4)×2n＋1，
所以
11、Tn－8＝an－1bn＋1，n∈N*，n≥2.
【名師點睛】 本題主要考查等差、等比數列的概念、通項公式、前n項和公式、數列求和等知識，本題(2)中，解題的關鍵是利用錯位相減求和法準確求出Tn，否則不會得出結論
考情展望
高考對等差、等比數列基本運算的考查．一是在選擇、填空中考查，二是在解答題中求通項時進行考查，難度較低，注意方程思想與整體思想的運用．
名師押題
【押題】 已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且a3＝5，S15＝225.
(1)求數列{an}的通項an；
(2)設bn＝2an＋2n，求數列{bn}的前n項和Tn.
【解析】 (1)設等差數列{an}首項為a1，公差為d，
由題意，得
解得
∴an＝2n－1.
(2)bn＝2an＋2n＝·4n＋2n，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝(4＋42＋…＋4n)＋2(1＋2＋…＋n)
＝＋n2＋n
＝·4n＋n2＋n－.
7
2013年高三數學二輪復習 專題四第一講 等差數列、等比數列教案 理
