平均變化率 (2)

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1、課堂生成性教學(xué)案例參考表單 基本信息 學(xué) 科 數(shù)學(xué) 年 級(jí) 高二 教學(xué)形式 授課 教 師 周建明 單 位 江蘇省栟茶高級(jí)中學(xué) 課 題 平均變化率 生成性案例描述 一、教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)目標(biāo)：通過(guò)實(shí)例直觀(guān)感知、構(gòu)建平均變化率的概念，并初步運(yùn)用和加深理解平均變化率的實(shí)際意義和數(shù)學(xué)意義. 能力目標(biāo)：由平均變化率的實(shí)際意義到數(shù)學(xué)意義，體現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的過(guò)程，并滲透“以直代曲”、“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力. 情感目標(biāo)：經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)模型刻畫(huà)客觀(guān)世界的“數(shù)學(xué)化”過(guò)程，感受數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、創(chuàng)新的個(gè)性品質(zhì). 二

2、、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：平均變化率概念的建構(gòu)和平均變化率的實(shí)際意義. 難點(diǎn)：平均變化率的實(shí)際意義和數(shù)學(xué)意義的互相轉(zhuǎn)化. 三、教學(xué)方法 啟發(fā)式和互動(dòng)式教學(xué)方法以及多媒體輔助教學(xué). 四、教學(xué)過(guò)程 Ⅰ．創(chuàng)設(shè)情境，引出問(wèn)題 讓學(xué)生觀(guān)看過(guò)山車(chē)錄像并提出問(wèn)題：注意觀(guān)察過(guò)山車(chē)在運(yùn)行過(guò)程中有哪些量在發(fā)生變化.從而通過(guò)過(guò)山車(chē)在運(yùn)行過(guò)程中位移的變化、速度的變化、曲線(xiàn)的上升下降等具體可視現(xiàn)象概括為在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中變量的變化情況，就是新的一章《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》將要研究的問(wèn)題，從而引出本章課題，并用恩格斯的話(huà)強(qiáng)調(diào)微分學(xué)在自然科學(xué)中的重要意義，再設(shè)計(jì)了兩個(gè)貼近生活的實(shí)例： 實(shí)例1.氣溫隨時(shí)間變化的快慢情況；

3、實(shí)例2.嬰兒的體重隨時(shí)間變化的快慢情況. 用具有潛在意義的、饒有興趣的實(shí)際問(wèn)題，將教學(xué)內(nèi)容自然呈現(xiàn)在學(xué)生面前，用問(wèn)題抓住學(xué)生，激發(fā)其探究欲望．這兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題讓學(xué)生直觀(guān)的感受到生活實(shí)際中的一些變化快慢的問(wèn)題，從而會(huì)產(chǎn)生數(shù)學(xué)問(wèn)題就是如何用數(shù)學(xué)模型去刻畫(huà)這種變化的快慢，引出課題《平均變化率》.讓學(xué)生體會(huì)到“數(shù)學(xué)源于生活”體現(xiàn)課堂教學(xué)的“生活性”. Ⅱ．案例分析，建構(gòu)概念 通過(guò)案例分析構(gòu)建數(shù)學(xué)理論，如何從數(shù)學(xué)角度描述這些現(xiàn)象. 對(duì)實(shí)例1中氣溫隨時(shí)間變化的快慢情況的刻畫(huà)經(jīng)歷如下幾個(gè)過(guò)程： 1．由表格中的數(shù)據(jù)和天氣逐漸變熱的圖片讓學(xué)生初步從直覺(jué)上感受天氣在逐漸變熱，而且4月18日到4月20這兩

4、天的氣溫陡增. 2．啟發(fā)學(xué)生利用所學(xué)函數(shù)知識(shí)更直觀(guān)形象地反映氣溫隨時(shí)間變化的趨勢(shì)，就是作出氣溫隨時(shí)間變化的曲線(xiàn)圖.讓學(xué)生思維的火花在實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)概念之間產(chǎn)生 碰撞，引發(fā)思維. 3．在學(xué)生思維處于激發(fā)狀態(tài)下引導(dǎo)學(xué)生如何從氣溫隨時(shí)間變化曲線(xiàn)圖的形狀去刻畫(huà)氣溫變化的快慢.從而發(fā)現(xiàn)可以用曲線(xiàn)的陡峭程度去刻畫(huà)氣溫變化的快慢. 4．在學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上，將問(wèn)題引向縱深處，也就是本節(jié)課的核心問(wèn)題：能否從數(shù)量上近似量化這種陡峭程度？如何量化？將問(wèn)題留給學(xué)生進(jìn)行自主探究，合作交流. 經(jīng)過(guò)學(xué)生充分的交流探討之后得出量化快慢的方法主是通過(guò)斜率來(lái)刻畫(huà)，即由氣溫差與時(shí)間差的比值來(lái)量化.體現(xiàn)教師主導(dǎo)，學(xué)生

5、主體的地位. 5．在總結(jié)學(xué)生方法的的基礎(chǔ)上給出 氣溫在區(qū)間上的平均變化率為(T2-T1)/(t2-t1) 通過(guò)對(duì)氣溫變化快慢的分析，啟發(fā)學(xué)生用同樣的方法對(duì)實(shí)例2作出分析進(jìn)而得到嬰兒體重在區(qū)間上的平均變化率為(W2-W1)/(t2-t1) 通過(guò)對(duì)實(shí)例1和實(shí)例2的分析和學(xué)生共同探討出刻畫(huà)變化快慢的數(shù)學(xué)方法，即氣溫隨時(shí)間的平均變化率以及嬰兒的體重隨時(shí)間的平均變化率.進(jìn)而讓學(xué)生概括總結(jié)出一般函數(shù)的平均變化率的概念并加以說(shuō)明： 1．平均變化率：一般地，函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為； 2．求解平均變化率的一般方法與步驟； 3．平均變化率就是曲線(xiàn)上兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率，是曲線(xiàn)陡峭程度的

6、“數(shù)量化”，曲線(xiàn)陡峭程度是平均變化率“視覺(jué)化”.滲透了“以直代曲”和“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想.

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11、 化的快慢，體會(huì)到“數(shù)學(xué)源于實(shí)踐，22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222Ⅲ．典例分析，形成能力 回應(yīng)引例：解釋過(guò)山車(chē)中平均速度與平均加速度的數(shù)學(xué)含義，從而揭示了平均變化率的物理意義． 實(shí)驗(yàn)觀(guān)察：通過(guò)和學(xué)生一起做虹吸實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生觀(guān)察容器甲中水的體積變化的快慢情況．進(jìn)而拋出問(wèn)

12、題： 例1．水經(jīng)過(guò)虹吸管從容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的體（單位：cm3），計(jì)算第一個(gè)10s內(nèi)V的平均變化率 . 引申拓展：1．計(jì)算第二個(gè)10s內(nèi)V的平均變化率；2．比較兩個(gè)平均變化率的大??；3．結(jié)論反映的實(shí)際意義是什么？ 從而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：平均變化率可正，可負(fù)，還可以是零，其絕對(duì)值越大變化越快. 例2．已知函數(shù),分別計(jì)算函數(shù)在區(qū)間[-2,-1],[0,2]上的平均變化率； 引申拓展： 從例2的求解中，發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)在區(qū)間[m，n]上的平均變化率有什么特點(diǎn)？指出一次函數(shù)的本質(zhì)特性：它在任意區(qū)間上的平均變化率都是直線(xiàn)的斜率. 例3．已知函數(shù),分別計(jì)算在區(qū)間[1, 2]，[

13、1, 1.5]，[1, 1.1]上的平均變化率. 引申拓展：1.本例中區(qū)間長(zhǎng)度有什么特點(diǎn)？2. 若將區(qū)間長(zhǎng)度逐漸縮短時(shí)，平均變化率又將如何變化. 通過(guò)這兩個(gè)問(wèn)題培養(yǎng)學(xué)生的探究與歸納能力，再?gòu)膱D象上讓學(xué)生直觀(guān)的感受到隨著區(qū)間長(zhǎng)度的變小，平均變化率的值就越接近于一個(gè)常數(shù)，直線(xiàn)就越接近曲線(xiàn).指出平均變化率是曲線(xiàn)陡峭程度的近似的粗略的刻畫(huà)，還有待于進(jìn)一步精確化，為下節(jié)課由平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率的過(guò)程教學(xué)埋下伏筆. Ⅳ．思考運(yùn)用，學(xué)生實(shí)踐 通過(guò)平均變化率的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)到平均變化率的實(shí)際意義，并且能夠從生活實(shí)際出發(fā)結(jié)合各門(mén)學(xué)科能夠找出一些可以用平均變化率解決的問(wèn)題，加深對(duì)平均變化率

14、的理解，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是源于生活，高于生活，并服務(wù)于生活的理念。并且再向?qū)W生展示一些比較典型的平均變化率的實(shí)例，如姚明的身高變化以及艾賓浩斯遺忘曲線(xiàn)等，從艾賓浩斯遺忘曲線(xiàn)中讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)對(duì)自己的學(xué)習(xí)有何啟示，就是學(xué)習(xí)需要及時(shí)的鞏固復(fù)習(xí).最后讓學(xué)生回顧總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容. Ⅴ．回顧反思，突出重點(diǎn) 通過(guò)學(xué)生自己回顧本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程和教學(xué)內(nèi)容，以此培養(yǎng)學(xué)生歸納、概括和表述的能力，突出本課教學(xué)重點(diǎn). Ⅵ．課后研究，拓寬知識(shí) 1．課本P7/ 1、3； 2．請(qǐng)查閱有關(guān)資料（可以上網(wǎng)查閱）計(jì)算最近幾年中國(guó)綠地面積的平均增長(zhǎng)率和人口平均增長(zhǎng)率，并自己找出一些可以用平均變化率解決的實(shí)際問(wèn)題； 3．請(qǐng)

15、思考過(guò)山車(chē)錄象中190km/h是指什么速度. 案例反思與啟示 認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為按照個(gè)人的心智發(fā)展水平組織起來(lái)的有條理的知識(shí)，才是最有希望在記憶中提取的知識(shí)，所以本節(jié)課的教學(xué)堅(jiān)持以學(xué)生的發(fā)展為本，努力體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，使學(xué)生親自參與獲取知識(shí)與能力的全過(guò)程，親身體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展過(guò)程，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 《課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)導(dǎo)數(shù)的整體定位為：通過(guò)大量的實(shí)例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率的過(guò)程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵，而平均變化率作為本章的第一課時(shí)，更需要通過(guò)實(shí)例，讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下經(jīng)歷探索、發(fā)現(xiàn)、反思和一般化

16、的過(guò)程，建構(gòu)平均變化率的概念，讓學(xué)生在潛移默化中體會(huì)、認(rèn)識(shí)、感悟其中所蘊(yùn)含的思想方法和實(shí)際價(jià)值. 基于以上認(rèn)識(shí)，所以本節(jié)課以游樂(lè)場(chǎng)的過(guò)山車(chē)開(kāi)始直接將學(xué)生帶入驚險(xiǎn)刺激的運(yùn)動(dòng)變化的場(chǎng)景中來(lái)，并以?xún)蓚€(gè)生活實(shí)例引出本節(jié)課的課題《平均變化率》.通過(guò)對(duì)實(shí)例的分析，著力創(chuàng)設(shè)“最近發(fā)展區(qū)”，讓學(xué)生知識(shí)遷移，主動(dòng)構(gòu)建出平均變化率的概念，并通過(guò)平均變化率的公式、求解的一般方法步驟及其實(shí)際意義和數(shù)學(xué)意義加深對(duì)平均變化率的理解. 在此過(guò)程中還應(yīng)讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)思想方法，包括：以直代曲、數(shù)形結(jié)合、化歸等思想. 在理解了平均變化率的概念之后，再回到過(guò)山車(chē)的情境中來(lái)解釋位移和速度變化的快慢就是通過(guò)位移和速度對(duì)時(shí)間的平均變

17、化率來(lái)刻畫(huà)的，即物理中的平均速度和平均加速度，從而揭示了平均變化率的物理意義.接下來(lái)通過(guò)虹吸實(shí)驗(yàn)引出對(duì)例1的解決與思考，進(jìn)而再解決例2、例3引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行拓展延伸.并讓學(xué)生自己找出一些可以用平均變化率解決的實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)源于生活，高于生活，服務(wù)于生活的理念.最后讓學(xué)生總結(jié)回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容.總結(jié)之后，再拋出過(guò)山車(chē)中新的問(wèn)題，就是190km/h是指的什么速度，為后面的導(dǎo)數(shù)和瞬時(shí)變化率提供了背景，起到承上啟下，首尾呼應(yīng)的作用. 教學(xué)過(guò)程以問(wèn)題的形式呈現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生從現(xiàn)象中去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，解決問(wèn)題，在老師的引導(dǎo)下進(jìn)一步產(chǎn)生新的問(wèn)題，層層緊逼直至問(wèn)題的核心.課堂就是學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的平臺(tái).解決問(wèn)題始終以學(xué)生的自主探究，交流探討為主,而教師僅僅是教學(xué)過(guò)程的引導(dǎo)者、組織者、協(xié)作者和服務(wù)者.