2021版高考數(shù)學一輪復(fù)習 第四章 三角函數(shù)、解三角形 4.2 三角函數(shù)的同角關(guān)系、誘導公式練習 理 北師大版

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1、 4.2 三角函數(shù)的同角關(guān)系、誘導公式 核心考點·精準研析 考點一　同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式的應(yīng)用? 1.(2021·西安模擬)假設(shè)sin α=-,且α為第四象限角,那么tan α= (　　) A. B.- C. D.- 【解析】選D.因為sin α=-,α為第四象限角, 所以cos α==,所以tan α==-. 2.cos α=k,k∈R,α∈,那么sin α= (　　) A.-　 B. C.±　 D. 【解析】選B.因為α∈,所以cos

2、α<0,sin α>0, 所以sin α==. 【巧思妙解】(排除法)選B.因為α∈,所以sin α>0,排除A,C,又-11,故排除D. 　假設(shè)將題中的“cos α=k,k∈R,α∈〞換為“sin α=k,k∈R,α∈〞,如何求cos α呢? 【解析】因為α∈,所以cos α<0,由平方關(guān)系知 cos α=-=-. 3.tan α=,那么: (1)=________.? (2)sin2α+sin αcos α+2=________.? 【解析】(1)===-. (2)sin2α+sin αcos α+2 =3sin2α+sin αcos α+2cos

3、2α = ===. 答案:(1)-　(2) 　同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用方法 (1)利用sin2α+cos2α=1可實現(xiàn)α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以實現(xiàn)角α的弦切互化. (2)由一個角的任意一個三角函數(shù)值可求出這個角的另外兩個三角函數(shù)值,因為利用“平方關(guān)系〞公式,需求平方根,會出現(xiàn)兩解,需根據(jù)角所在的象限判斷符號,當角所在的象限不明確時,要進行分類討論. (3)分式中分子與分母是關(guān)于sin α,cos α的齊次式,往往轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan α的式子求解. 【秒殺絕招】 1.勾股數(shù)解T1,看到sin α=-,想到勾股數(shù)5,12,13,所以cos α=±, tan α

4、=±,因為α為第四象限角, 所以tan α<0,tan α=-. 2.轉(zhuǎn)化代入法解T3,(1)將tan α=轉(zhuǎn)化為cos α=2sin α,將cos α=2sin α代入得=-.(2)同理可得. 考點二　誘導公式的應(yīng)用? 【典例】1.假設(shè)f(x)=sin+1,且f(2 020)=2,那么f(2 021)=________.? 2.cos=a,那么cos+sin=________. 【解題導思】 序號 聯(lián)想解題 1 看到形如2 020的數(shù)字,想到函數(shù)有周期性.三角函數(shù)可運用誘導公式求解 2 看到三角函數(shù)給值求值問題.想到找出角與未知角的關(guān)系,+=π,-=-θ 【解析】1

5、.因為f(2 020)=sin+1=sin(1 010π+α)+1= sin α+1=2, 所以sin α=1,cos α=0. 所以f(2 021)=sin+1 =sin+1 =cos α+1=1. 答案:1 2.cos=cos=-cos =-a, sin=sin=cos=a, 所以cos+sin=-a+a=0. 答案:0 1.利用誘導公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟 也就是:“負化正,大化小,化到銳角就好了〞. 2.利用誘導公式化簡三角函數(shù)的要求 (1)化簡過程是恒等變形. (2)結(jié)果要求項數(shù)盡可能少,次數(shù)盡可能低,結(jié)構(gòu)盡可能簡單,能求

6、值的要求出值. 1.(2021·淮南十校聯(lián)考)sin=,那么cos的值是(　　) A.- B. C. D.- 【解析】選A.因為sin=, 所以cos=cos=-sin=-. 2.(2021·阜陽模擬)計算sin +cos 的值為 (　　) A.-1　 B.1　 C.0　　 D.- 【解析】選A.原式=sin+cos =-sin -cos =--=-1. 考點三　同角關(guān)系與誘導公式的綜合應(yīng)用? 命 題 精 解 讀 1.考什么:(1)同角關(guān)系整體代換,sin α±cos α與sin α·cos α之間的關(guān)系,同角關(guān)系與誘導公式綜合應(yīng)用等.

7、(2)考查邏輯推理,數(shù)學運算等核心素養(yǎng),以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想. 2.怎么考:誘導公式與同角關(guān)系結(jié)合考查求三角函數(shù)值,代數(shù)式的值等. 3.新趨勢:以考查同角關(guān)系與誘導公式綜合應(yīng)用為主. 學 霸 好 方 法 同角三角函數(shù)根本關(guān)系式的應(yīng)用技巧 1.切弦互化:主要利用公式tan θ=化成正弦、余弦,或者利用公式=tan θ化成正切 2.“1〞的變換:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=(sin θ± cos θ)2?2sin θcos θ=tan 3.和積轉(zhuǎn)換:利用關(guān)系式(sin θ±cos θ)2= 1±2sin θcos θ進行變形、轉(zhuǎn)化 整體代換

8、問題 【典例】(2021·合肥模擬)tan α=-,那么sin α(sin α-cos α)= (　　) A. B. C. D. 【解析】選A.sin α(sin α-cos α)=sin2α-sin αcos α= =,將tan α=-代入得原式==. 整體代換是如何實現(xiàn)的? 提示:弦切互化法: 主要利用公式tan x=進行切化弦或弦化切,如,asin2x+ bsin xcos x+ccos2x等類型可進行弦化切. sin α±cos α與sin α·cos α之間的關(guān)系 【典例】(2021·蘇州模擬)sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),那么tan θ的值

9、為________. 【解析】因為sin θ+cos θ=,① 兩邊平方,得1+2sin θcos θ=, 所以2sin θcos θ=-,又θ∈(0,π), 所以sin θ>0,cos θ<0, 因為(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=, 所以sin θ-cos θ=,② 由①②得sin θ=,cos θ=-,所以tan θ=-. 答案:- 一般求值問題的步驟如何? 提示:(1)將條件或所求式子利用誘導公式進行化簡. (2)從條件中結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系得出需要的結(jié)論. (3)代入化簡后的所求式子,得出最后的結(jié)論. 同角關(guān)系與誘導公式綜合應(yīng)用

10、【典例】(2021·保定模擬)tan(3π+α)=3,那么= (　　) A. B. C. D.2 【解析】選B.因為tan(3π+α)=3,所以tan α=3,所以===. 運用“切弦互化〞時有哪些考前須知? 提示:(1)弦化切:把正弦、余弦化成切的結(jié)構(gòu)形式,統(tǒng)一為“切〞的表達式,進行求值.常見的結(jié)構(gòu)有: ①sin α,cos α的二次齊次式(如asin2α+bsin αcos α+ccos2α)的問題常采用“切〞代換法求解; ②sin α,cos α的齊次分式的問題常采用分式的根本性質(zhì)進行變形. (2)切化弦:一般單獨出現(xiàn)正切、余切的時候,運用公式tan α=,

11、把式子中的切化成弦. 1.(2021·寶雞模擬)假設(shè)=,那么tan θ的值為 (　　) A.1　 B.-1 C.3　 D.-3 【解析】選D.因為==,所以2(sin θ+cos θ)= sin θ-cos θ,所以sin θ=-3cos θ,所以tan θ=-3. 2.(2021·唐山模擬)sin=,所以tan α的值為 (　　) A.- B.- C.± D.± 【解析】選C.sin=sin=cos α=, 所以sin α=±,tan α==±. 3.α∈,tan(α-π)=-,那么sin α+cos α的值是________.? 【解析】tan(α-π)

12、=tan α=-,又α∈, 所以sin α=,cos α=-,所以sin α+cos α=-. 答案:- 1.(2021·南充模擬)設(shè)f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零實數(shù).假設(shè)f(2 019)=-1,那么f(2 020)= (　　) A.1 B.2 C.0 D.-1 【解析】選A.因為f(2 019)=asin(2 019π+α)+bcos(2 019π+β)=-asin α-bcos β=-1,所以asin α+bcos β=1, 所以f(2 020)=asin(2 020π+α)+bcos(2 020π+β)=asin α+b

13、cos β=1. 2.(2021·淮安模擬)假設(shè)tan α+=,α∈,那么的值為________.? 【解析】因為tan α+=,α∈, 所以tan α=2或(舍去), 所以= ===. 答案: 3.(2021·通州模擬)如圖是由4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形,假設(shè)直角三角形中較小的內(nèi)角為θ,大正方形的面積是1,小正方形的面積是,那么sin2θ-cos2θ的值是________.? 【解析】由題圖知,每個直角三角形長直角邊為cos θ,短直角邊為sin θ,小正方形邊長為cos θ-sin θ, 因為小正方形的面積是,所以(cos θ-sin θ)2=, 又θ為直角三角形中較小的銳角,所以cos θ>sin θ,cos θ-sin θ=,又(cos θ-sin θ)2=1-2sin θcos θ=, 所以2sin θcos θ=,(cos θ+sin θ)2=1+2sin θcos θ=,cos θ+ sin θ=, 所以sin2θ-cos2θ=(sin θ-cos θ)(cos θ+sin θ)=-×=-. 答案:- - 11 -