《2021版高考數(shù)學一輪復習 第七章 算法、復數(shù)、推理與證明 7.3 合情推理與演繹推理練習 理 北師大版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2021版高考數(shù)學一輪復習 第七章 算法、復數(shù)、推理與證明 7.3 合情推理與演繹推理練習 理 北師大版(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
7.3 合情推理與演繹推理
核心考點·精準研析
考點一 類比推理?
1.運用祖暅原理計算球的體積時,構造一個底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱,與半球(如圖一)放置在同一平面上,然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點,圓柱上底面為底面的圓錐(如圖二),用任何一個平行于底面的平面去截它們時,可證得所截得的兩個截面面積相等,由此證明該幾何體與半球體積相等.現(xiàn)將橢圓+=1繞y軸旋轉一周后得一橄欖狀的幾何體(如圖三),類比上述方法,運用祖暅原理可求得其體積等于 ( )
A.4π B.8π C.16π D.32π
2.我們知道:在平面內(nèi),點(x0,y0)到直線Ax+By
2、+C=0的距離公式d=,通過類比的方法,可求得:在空間中,點(2,4,1)到直線x+2y+2z+3=0的距離為
( )
A.3 B.5 C. D.3
【解析】1.選C.構造一個底面半徑為2,高為3的圓柱,在圓柱中挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點的圓錐,
那么當截面與底面距離為h(0≤h≤3)時,小圓錐的底面半徑為r,那么=,所以r=h,故截面面積為4π-,
把y=h代入橢圓+=1可得x=±,
所以橄欖球形幾何體的截面面積為πx2=4π-,
由祖暅原理可得橄欖球形幾何體的體積V=2(V圓柱-V圓錐)=
2=16π.
2.選B.類比平面內(nèi)點到直線的距離公式,可得空間中點(x0
3、,y0,z0)到直線Ax+By+Cz+D=0的距離公式為
d=,那么所求距離d==5.
類比推理的分類
考點二 演繹推理?
【典例】數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N+).
(1)求a2,a3,a4的值,猜想數(shù)列{an}的通項公式.
(2)運用(1)中的猜想,證明數(shù)列是等差數(shù)列,并注明大前提、小前提和結論.
【解題導思】
序號
題目拆解
(1)
猜想數(shù)列的通項公式
根據(jù)a2,a3,a4的結構特征歸納猜想
(2)
證明數(shù)列是等差數(shù)列
證明-=常數(shù)
【解析】(1)因為數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=,
a2=,a3=,a4=,猜想:an=.
4、
(2)因為通項公式為an的數(shù)列{an},假設an+1-an=d,d是常數(shù),那么{an}是等差數(shù)列,…大前提
又因為-=,為常數(shù);…小前提
所以數(shù)列是等差數(shù)列.…結論
演繹推理的推證規(guī)那么
(1)演繹推理是從一般到特殊的推理,其一般形式是三段論,應用三段論解決問題時,應當首先明確什么是大前提和小前提,如果前提是顯然的,那么可以省略.
(2)在推理論證過程中,一些稍復雜一點的證明題常常要由幾個三段論才能完成.
設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足an=2-Sn(n∈N*).
(1)求a1,a2,a3,a4的值并寫出其通項公式.
(2)用三段論證明數(shù)列{an}是等比數(shù)
5、列.
【解析】(1)由an=2-Sn,
當n=1時,a1=2-S1=2-a1,解得a1=1,
當n=2時,a2=2-S2=2-a1-a2,解得a2=,
當n=3時,a3=2-S3=2-a1-a2-a3,解得a3=,
當n=4時,a4=2-S4=2-a1-a2-a3-a4,解得a4=,
…由此歸納推理得an=(n∈N*).
(2)因為通項公式為an的數(shù)列{an},
假設=p,p是非零常數(shù),那么{an}是等比數(shù)列;
因為通項公式an=,又=;
所以通項公式an=的數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
考點三 歸納推理?
命
題
精
解
讀
1.考什么:(1)考查數(shù)學定義、等式
6、、不等式的證明.
(2)考查邏輯推理的核心素養(yǎng).
2.怎么考:與數(shù)列、根本初等函數(shù)結合考查數(shù)學概念、數(shù)列相關的等式、不等式的證明.
3.新趨勢:與三角、統(tǒng)計等知識點的交匯問題.
學
霸
好
方
法
1.數(shù)字排列問題的解題方法:先從行的規(guī)律歸納開頭與末尾的數(shù)與所在行的關系式,再從列的規(guī)律歸納數(shù)與所在列的關系式,最后歸納表中各個數(shù)與行列的關系式
2.與式子有關的推理
(1)與不等式有關的歸納推理:觀察所給幾個不等式兩邊式子的特點,注意縱向看、找出隱含規(guī)律.
(2)與數(shù)列有關的歸納推理:通常是先求出幾個特殊項,采用不完全歸納法,找出數(shù)列的項與項數(shù)的關系,列出式子即可.
3.
7、圖形問題的解法:與圖形變化有關的歸納推理,合理利用特殊圖形歸納推理得出結論,并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡?
與數(shù)字有關的歸納推理
【典例】(2021·宜昌模擬)大衍數(shù)列,源于?乾坤譜?中對易傳“大衍之數(shù)五十〞的推論,揭示了中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理(其衍生過程如下列圖).大衍數(shù)列的前10項依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,那么此數(shù)列第25項與第26項之和為 ( )
A.600 B.650 C.700 D.750
【解析】選B.0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60,72,84,98,112,128,144,162,
180,
8、200,220,242,264,288,312,338,故此數(shù)列第25項與第26項之和為312+338=650.
與式子有關的歸納推理
【典例】(2021·武漢模擬)古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1,3,6,10,……,第n個三角形數(shù)為=n2+n,記第n個k邊形數(shù)為N(n,k)(k≥3),以以下出了局部k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式:
三角形數(shù)N(n,3)=n2+n
正方形數(shù)N(n,4)=n2
五邊形數(shù)N(n,5)=n2-n
六邊形數(shù)N(n,6)=2n2-n
可以推測N(n,k)=________________,由此計算N(5,12)=_________
9、_______.
【解析】原式子可化為:
N(n,3)=n2+n=n2+n;
N(n,4)=n2=n2+n;
N(n,5)=n2-n=n2+n;
N(n,6)=2n2-n=n2+n;
可推測N(n,k)=n2+n,
故N(5,12)=5×52-4×5=105.
答案:n2+n 105
與圖形有關的歸納推理
【典例】(2021·衡水模擬)如圖,第(1)個多邊形是由正三角形“擴展“而來,第(2)個多邊形是由正方形“擴展〞而來,……,如此類推.設由正n邊形“擴展〞而來的多邊形的邊數(shù)為an,那么+++…+= ( )
A. B. C. D.
【解析】選A.a3=12,a4
10、=20,a5=30,猜想an=n(n+1)(n≥3,n∈N*),所以==-,
所以+++…+=+++…+=-=.
1.(2021·山東省實驗中學模擬)觀察以下式子,ln 2>,ln 3>+,ln 4>++,……,根據(jù)上述規(guī)律,第n個不等式應該為________________.?
【解析】根據(jù)題意,對于第一個不等式,ln 2>,那么有l(wèi)n(1+1)>,
對于第二個不等式,ln 3>+,那么有l(wèi)n(2+1)>+,
對于第三個不等式,ln 4>++,那么有l(wèi)n(3+1)>++,
以此類推:
第n個不等式為:ln(n+1)>++…+.
答案:ln(n+1)>++…+
2.(
11、2021·西北工業(yè)大學附中模擬)將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣:按照以下排列的規(guī)律,第n行(n≥3)從左向右的第3個數(shù)為________________.?
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
……
【解析】第n-1行最后一個數(shù)是1+2+3+…+(n-1)=,第n(n≥3)行從左至右的第3個數(shù)是
+3=.
答案:
如圖,將平面直角坐標系的格點(橫、縱坐標均為整數(shù)的點)按如下規(guī)那么標上數(shù)字標簽:原點處標0,點(1,0)處標1,點(1,-1)處標2,點(0,-1)處標3,點(-1,-1)處標4,點(-1,0)處標5,點(-1,1)處標6,點(0,1)處標7,…,以此類推,那么格點坐標(22,23)的標簽為 ( )
A.2 109 B.2 107 C.2 207 D.2 209
【解析】選C.觀察圖像得點(1,0)處標1,即12,點(2,1)處標9,即32,點(3,2)處標25,即52,歸納點(n+1,n)處標(2n+1)2,那么格點坐標(24,23)的標簽為(2×23+1)2=2 209,又點(22,23)在點(24,23)左邊兩格,即格點坐標(22,23)的標簽為2 207.
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