全國初中數(shù)學競賽輔導（初1）第01講 有理數(shù)的巧算

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1、 第一講 有理數(shù)的巧算 有理數(shù)運算是中學數(shù)學中一切運算的基礎．它要求同學們在理解有理數(shù)的有關(guān)概念、法則的基礎上，能根據(jù)法則、公式等正確、迅速地進行運算．不僅如此，還要善于根據(jù)題目條件，將推理與計算相結(jié)合，靈活巧妙地選擇合理的簡捷的算法解決問題，從而提高運算能力，發(fā)展思維的敏捷性與靈活性． 　　1．括號的使用　　 　　在代數(shù)運算中，可以根據(jù)運算法則和運算律，去掉或者添上括號，以此來改變運算的次序，使復雜的問題變得較簡單． 　　例1 計算： 　　　　 　　分析 中學數(shù)學中，由于負數(shù)的引入，符號“+”與“-”具有了雙重涵義，它既是表示加法與減法的運算符號，也是表示正數(shù)與負數(shù)的性質(zhì)

2、符號．因此進行有理數(shù)運算時，一定要正確運用有理數(shù)的運算法則，尤其是要注意去括號時符號的變化． 　　　 　　　 注意 在本例中的乘除運算中，常常把小數(shù)變成分數(shù)，把帶分數(shù)變成假分數(shù)，這樣便于計算． 　　例2 計算下式的值： 　　211×555+445×789+555×789+211×445． 　　分析 直接計算很麻煩，根據(jù)運算規(guī)則，添加括號改變運算次序，可使計算簡單．本題可將第一、第四項和第二、第三項分別結(jié)合起來計算． 　　解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789) 　　　　 　=211×(555+445)+(445+555)×789

3、 　　　　 　=211×1000+1000×789 　　　　 　=1000×(211+789) 　　　　 　=1 000 000． 說明 加括號的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數(shù)巧算中的常用技巧． 　　例3 計算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n． 　　分析 不難看出這個算式的規(guī)律是任何相鄰兩項之和或為“1”或為“-1”．如果按照將第一、第二項，第三、第四項，…，分別配對的方式計算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括號”的習慣，而取“添括號”之法． 　　解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n． 　　下面需對n的奇偶性進行討論： 當n為偶

4、數(shù)時，上式是n／2個(-1)的和，所以有 當n為奇數(shù)時，上式是(n-1)／2個(-1)的和，再加上最后一項(-1)n+1·n=n，所以有 　　例4 在數(shù)1，2，3，…，1998前添符號“+”和“-”，并依次運算，所得可能的最小非負數(shù)是多少？ 　　分析與解 因為若干個整數(shù)和的奇偶性，只與奇數(shù)的個數(shù)有關(guān)，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符號“+”或“-”，不會改變和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2個奇數(shù)，即有999個奇數(shù)，所以任意添加符號“+”或“-”之后，所得的代數(shù)和總為奇數(shù)，故最小非負數(shù)不小于1． 　　現(xiàn)考慮在自然數(shù)n，n+1，n+2，n+3之

5、間添加符號“+”或“-”，顯然 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．這啟發(fā)我們將1，2，3，…，1998每連續(xù)四個數(shù)分為一組，再按上述規(guī)則添加符號，即 (1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1． 　　所以，所求最小非負數(shù)是1． 說明 本例中，添括號是為了造出一系列的“零”，這種方法可使計算大大簡化． 　　2．用字母表示數(shù) 　　我們先來計算(100+2)×(100-2)的值： (100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22． 　　這是一個對具體數(shù)的運算，若

6、用字母a代換100，用字母b代換2，上述運算過程變?yōu)? (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2． 　　于是我們得到了一個重要的計算公式 (a+b)(a-b)=a2-b2， ① 　　這個公式叫平方差公式，以后應用這個公式計算時，不必重復公式的證明過程，可直接利用該公式計算． 　　例5 計算 3001×2999的值． 解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999． 　例6 計算 103×97×10 009的值． 解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004

7、-92=99 999 919． 　　例7 計算： 　　分析與解 直接計算繁．仔細觀察，發(fā)現(xiàn)分母中涉及到三個連續(xù)整數(shù)：12 345，12 346，12 347．可設字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母變?yōu)閚2-(n-1)(n+1)．應用平方差公式化簡得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1， 即原式分母的值是1，所以原式=24 690． 　　例8 計算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)． 　　分析 式子中2，22，24，…每一個數(shù)都是前一個數(shù)的平方，若在(2+1)前面有一個(2-1)，就可以連

8、續(xù)遞進地運用(a+b)(a-b)=a2-b2了． 　　解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1) 　　 　　　=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1) 　　　　　 =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=…… 　　　　 　=(232-1)(232+1) =264-1． 　　例9 計算： 　　分析 在前面的例題中，應用過公式(a+b)(a-b)=a2-b2． 　　這個公式也可以反著使用，即 a2-b2=(a+b)(a-b)． 　　本題就是一個例子． 　

9、　 　　 　　通過以上例題可以看到，用字母表示數(shù)給我們的計算帶來很大的益處．下面再看一個例題，從中可以看到用字母表示一個式子，也可使計算簡化． 　　例10 計算： 　　 　　　 我們用一個字母表示它以簡化計算． 　　　 3．觀察算式找規(guī)律 例11 某班20名學生的數(shù)學期末考試成績?nèi)缦?，請計算他們的總分與平均分． 　　87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88． 　　分析與解 若直接把20個數(shù)加起來，顯然運算量較大，粗略地估計一下，這些數(shù)均在90上下，所以可取90為基準數(shù)，大于90的數(shù)

10、取“正”，小于90的數(shù)取“負”，考察這20個數(shù)與90的差，這樣會大大簡化運算．所以總分為 　　90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3) 　　　　+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1) 　　　　+2+5+(-2) 　　=1800-1=1799， 平均分為 90+(-1)÷20=89.95． 　　例12 計算1+3+5+7+…+1997+1999的值． 　　分析 觀察發(fā)現(xiàn)：首先算式中，從第二項開始，后項減前項的差都等于2；其次算式中首末兩項之和與距首末兩項等距離的兩項之和都等于2000，于是可有如下解法． 　　解 用字母S表示所

11、求算式，即 S=1+3+5+…+1997+1999． ① 　　再將S各項倒過來寫為 S=1999+1997+1995+…+3+1． ② 　　將①，②兩式左右分別相加，得 　　2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1) 　　　=2000+2000+…+2000+2000(500個2000) =2000×500． 從而有 S=500 000． 說明 一般地，一列數(shù)，如果從第二項開始，后項減前項的差都相等(本題3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，這列數(shù)的求和問題，都可以用上例中的“倒寫相加”的方法解決．

12、 　　例13 計算 1+5+52+53+…+599+5100的值． 　　分析 觀察發(fā)現(xiàn)，上式從第二項起，每一項都是它前面一項的5倍．如果將和式各項都乘以5，所得新和式中除個別項外，其余與原和式中的項相同，于是兩式相減將使差易于計算． 　　解 設 S=1+5+52+…+599+5100， ① 　　所以 5S=5+52+53+…+5100+5101． ② 　?、凇俚? 4S=5101-1， 　　　　　　　 說明 如果一列數(shù)，從第二項起每一項與前一項之比都相等(本例中是都等于5)，那么這列數(shù)的求和問題，均可用上述“錯位相減”法來解決． 　　例14 計算： 　　　　

13、　　　　　　　　 　　分析 一般情況下，分數(shù)計算是先通分．本題通分計算將很繁，所以我們不但不通分，反而利用如下一個關(guān)系式 來把每一項拆成兩項之差，然后再計算，這種方法叫做拆項法． 　　解 由于 　　　 　　所以 　　　　 說明 本例使用拆項法的目的是使總和中出現(xiàn)一些可以相消的相反數(shù)的項，這種方法在有理數(shù)巧算中很常用． 練習一 　　1．計算下列各式的值： (1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999； (2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100； (3)1991×1999-1990×2000； (4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636； 　 (6)1+4+7+…+244； 　 　　2．某小組20名同學的數(shù)學測驗成績?nèi)缦?，試計算他們的平均分? 　　81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．