華師版七年級下冊數(shù)學(xué)知識點總結(jié)

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七年級數(shù)學(xué)下期期末復(fù)習(xí)提綱 第六章 一元一次方程 一、基本概念 （一）方程的變形法則 法則1：方程兩邊都 或 同一個數(shù)或同一個 ，方程的解不變。 例如：在方程7-3x=4左右兩邊都減去7，得到新方程：-3x+3=4-7。 在方程6x=-2x-6左右兩邊都加上4x，得到新方程：8x=-6。 移項：將方程中的某些項改變符號后，從方程的一邊移動到另一邊，這樣的變形叫做移項，注意移項要變號。 例如：(1)將方程x－5＝7移項得：x＝7+5 即 x＝12 (2)將方程4x＝3x－4移項得：4x－3x＝－4即 x＝－4 法則2：方程兩邊都除以或 同一個 的數(shù)，方程的解不變。 例如： (1)將方程－5x＝2兩邊都除以-5得：x=- (2)將方程x＝兩邊都乘以得：x= 這里的變形通常稱為“將未知數(shù)的系數(shù)化為1”。 注意： （1）如遇未知數(shù)的系數(shù)為整數(shù)，“系數(shù)化為1”時，就要除以這個整數(shù)；如遇到未知數(shù)的系數(shù)為分數(shù)，“系數(shù)化為1”時，就要乘以這個分數(shù)的倒數(shù)。 （2）不論上一乘以或除以數(shù)時，都要注意結(jié)果的符號。 方程的解的概念：能夠使方程左右兩邊都相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。 求不方程的解的過程，叫做解方程。 （二）一元一次方程的概念及其解法 1．定義：只含有一個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的式子都是 ，未知數(shù)的次數(shù)是 ，這樣的方程叫做一元一次方程。 例如：方程7-3x=4、6x=-2x-6都是一元一次方程。 而這些方程5x2－3x+1＝0、2x+y＝l－3y、＝5就不是一元一次方程。 2．一元一次方程的一般式為：ax+b=0（其中a、b為常數(shù)，且a≠0） 一元一次方程的一般式為：ax=b（其中a、b為常數(shù)，且a≠0） 3．解一元一次方程的一般步驟 步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，未知數(shù)的系數(shù)化為1。 注意：（1）方程中有多重括號時，一般應(yīng)按先去小括號，再去中括號，最后去大括號的方法去括號，每去一層括號合并同類項一次，以簡便運算。 （2）“去分母”指去掉方程兩邊各項系數(shù)的分母；去分母時，要求各分母的最小公倍數(shù)，去掉分母后，注意添括號。去分母時，不要忘記不等式兩邊的每一項都乘以最小公倍數(shù)（即公分母） （三）一元一次方程的應(yīng)用 1．純數(shù)學(xué)上的應(yīng)用：（1）一元一次方程定義的應(yīng)用；（2）方程解的概念的應(yīng)用；（3）代數(shù)中的應(yīng)用；（4）公式變形等。 2．實際生活上的應(yīng)用：（1）調(diào)配問題；（2）行程問題；（3）工程問題；（4）利息問題；（5）面積問題等。 3．探索性應(yīng)用：這類問題與上面的幾類問題有聯(lián)系，但也有區(qū)別，有時是一種沒有結(jié)論的問題，需要你給出結(jié)論并解答。 第七章　二元一次方程組 一、基本概念 （一）二元一次方程組的有關(guān)概念 1．二元一次方程的定義：都含有 個未知數(shù)，并且 的次數(shù)都是1，像這樣的整式方程，叫做二元一次方程。 一般形式為：ax+by=c（a、b、c為常數(shù)，且a、b均不為0） 結(jié)合一元一次方程，二元一次方程對“元”和“次”作進一步的理解；“元”與“未知數(shù)”相通，幾個元是指幾個未知數(shù)，“次”指未知數(shù)的最高次數(shù)。 例如：方程7y-3x=4、-3a+3=4-7b、2m+3n=0、1-s+t=2s等都是二元一次方程。 而6x2=-2y-6、4x+8y=-6z、=n等都不是二元一次方程。 2．二元一次方程組的定義：把兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。 例如：、、、等都是二元一次方程組。 而、、等都不是二元一次方程組。 注意：（1）只要兩個方程一共含有兩個未知數(shù)，也是二元一次方程組。如：、也是二元一次方程組。 3．二元一次方程和二元一次方程組的解 （1）二元一次方程的解：能夠使二元一次方程的左右兩邊都相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。 （2）二元一次方程組的解：使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解。（即是兩個方程的公共解） 注意：寫二元一次方程或二元一次方程組的解時要用“聯(lián)立”符號“”把方程中兩個未知數(shù)的值連接起來寫。 二元方程解的寫法的標(biāo)準(zhǔn)形式是：，（其中a、b為常數(shù)） （二）二元一次方程組的解法 1．解二元一次方程組的基本思想：“消元”，化二元一次方程組為一元一次方程來解。 2．二元一次方程組的基本解法 （1）代入消元法（代入法） 定義：通過“代人”消去一個未知數(shù)，將方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解的這種解法叫做代人消元法，簡稱代入法。 步驟：①選取一個方程，將它寫成用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)，記作方程③。 ②把③代人另一個方程，得一元一次方程。 ③解這個一元一次方程，得一個未知數(shù)的值。 ④把這個未知數(shù)的值代人③，求出另一個未知數(shù)值，從而得到方程組的解。 （2）加減消元法（加減法） 定義：通過將兩個方程相加(或相減)，消去一個未知數(shù)，將方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解，這種解法叫加減消元法，簡稱加減法。 步驟：①把兩個方程同一個未知數(shù)的系數(shù)乘以適當(dāng)?shù)谋稊?shù)，使得這兩個未知數(shù)的絕對值相同。 ②把未知數(shù)的絕對值相同的兩個方程相加或相減，得一元一次方程。 ③解這個一元一次方程，得一個未知數(shù)的值。 ④把這個未知數(shù)的值代人原方程組中系數(shù)叫簡單的一個方程，求出另一個未知數(shù)值，從而得到方程組的解。 注意：正確選用兩種基本解二元一次方程組 （1）若二元一次方程組中有一個未知數(shù)系數(shù)的絕對值為1，適宜用“代入法”。 （2）用加減法解二元一次方程組，兩方程中若有一個未知數(shù)系數(shù)的絕對值相等，可直接加減消元；若同一未知數(shù)的系數(shù)絕對值不等，則應(yīng)選一個或兩個方程變形，使一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等，然后再直接用加減法求解；若方程組比較復(fù)雜，應(yīng)先化簡整理。 （三）二元一次方程組的應(yīng)用 1．純數(shù)學(xué)上的應(yīng)用：（1）二元一次方程定義的應(yīng)用；（2）方程解的概念的應(yīng)用；（3）代數(shù)中的應(yīng)用；（4）公式變形等。 2．實際生活上的應(yīng)用：（1）調(diào)配問題；（2）行程問題；（3）工程問題；（4）利息問題；（5）面積問題等。 3．探索性應(yīng)用：這類問題與上面的幾類問題有聯(lián)系，但也有區(qū)別，有時是一種沒有結(jié)論的問題，需要你給出結(jié)論并解答。 注意事項： (1)在實際問題中，常會遇到有多個未知量的問題，和一元一次方程一樣，二元一次方程組也是反映現(xiàn)實世界數(shù)量之間相等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型之一，要學(xué)會將實際問題轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，從而解決一些簡單的實際問題。 (2)二元一次方程組的解法很多，但它的基本思想都是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解的，最常見的消元方法有代人法和加減法。一個方程組用什么方程來逐步消元，轉(zhuǎn)化應(yīng)根據(jù)它的特點靈活選定。 (3)通過列方程組來解某些實際問題，應(yīng)注意檢驗和正確作答，檢驗不僅要檢查求得的解是否適合方程組的每一個方程，更重要的是要考察所得的解答是否符合實際問題的要求。 第8章　　　一元一次不等式 一、基本概念 （一）不等式的有關(guān)概念和性質(zhì) 1．不等式的定義：用 表示不等關(guān)系的式子叫做不等式。 常見不等號：＞、＜、≥、≤、≠。 注：“>”、“<”不僅表示左右兩邊不等關(guān)系，還明確表示左右兩邊的大??；“≤”、“≥”也表示不等，前者表示“不大于”(小于或等于)，后者表示“不小于”(大于或等于)， “≠”表示左右兩邊不相等 例如：方程7y-3x＞4、-3a+3≤4-7a、2m+3n≠0等都是不等式。 而-2y-6、4x+8y=-6z等都不是不等式。 2．不等式解的定義：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。 例如：不等式120<5x中x＝25，26，27，…等都是120<5x的解，而x＝24，23，22，21則都不是不等式的解。 3．不等式的解集 （1）定義：一個不等式的所有解，組成這個不等式解的集合，簡稱為這個不等式的解集。 （2）求不等式的解集的過程，叫做解不等式。 （3）在數(shù)軸上表示不等式的解集： 沒有等號畫空心圓圈，有等號畫實心圓點。“大于”向右畫，“小于”向左畫。 4．不等式的基本性質(zhì) 不等式的基本性1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)(或式子)，不等號的方向 。 即：如果a＞b，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c； 如果a＜b，那么a+c＜b+c，a-c＜b-c. 不等式的基本性2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個 ，不等號的方向不變。 即：如果a＜b，c>0，那么ac＜bc，a/c＜b/c 不等式的基本性3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的 。 即：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc，a/c＜b/c （二）解一元一次不等式 1．一元一次不等式的定義：只含有一個未知數(shù)，且含未知數(shù)的式子是整式，未知數(shù)的次數(shù)是1，像這樣的不等式叫做一元一次不等式。 例如：方程7-3x＞4、6x≤-2x-6、3x≠-2x+150都是一元一次不等式。 而這些方程5x2－3x+1≥0、2x+y＜l－3y、≠5就不是一元一次不等式。 2．一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的一般步驟 步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，未知數(shù)的系數(shù)化為1。 注意：（1）不等式中有多重括號時，一般應(yīng)按先去小括號，再去中括號，最后去大括號的方法去括號，每去一層括號合并同類項一次，以簡便運算。 （2）“去分母”指去掉不等式兩邊各項系數(shù)的分母；去分母時，要求各分母的最小公倍數(shù)，去掉分母后，注意添括號。去分母時，不要忘記不等式兩邊的每一項都乘以最小公倍數(shù)（即公分母）。 不等式的解法與解一元一次方程類似，完全可以把解一元一次方程的思想照搬過來。 （三）一元一次不等式組 1．一元一次不等式組的定義：幾個一元一次不等式合起來就組成一元一次不等式組 與二元一次方程組不同的是，這里的“幾個”可以兩個，也可以三個，或更多個。 2．一元一次不等式組的解集：不等式組中幾個不等式的解集的公共部分，叫做這個不等式組的解集。 3．一元一次不等式組的解集的確定規(guī)律 同“大”取大，同“小”取小，“大”小“小”大中間找，“大”大“小”小無解了 4．一元一次不等式組的解法 求不等式組的解集的過程,叫做解不等式組。 一般步驟： （1）分別解不等式組中的每個不等式； （2）把每個不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來； （3）找出各個不等式解集的公共部分； （4）再結(jié)合不等式組解集的確定規(guī)律，寫出不等式組的解集。 （四）一元一次不等式（組）的應(yīng)用 1．純數(shù)學(xué)上的應(yīng)用：（1）一元一次不等式定義的應(yīng)用；（2）不等式解集的概念的應(yīng)用；（3）代數(shù)中的應(yīng)用； 2．實際生活上的應(yīng)用：（1）調(diào)配問題；（2）行程問題；（3）工程問題；（4）利息問題；（5）決策問題等。 3．探索性應(yīng)用：這類問題與上面的幾類問題有聯(lián)系，但也有區(qū)別，有時是一種沒有結(jié)論的問題，需要你給出結(jié)論并解答。 第九章　多邊形 一、基本概念 （一）三角形有關(guān)概念 1．三角形定義：三角形是由三條不在同一條直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形，這三條線段就是三角形的邊。 三角形專用符號：“△” A（頂點） 2．三角形的頂點、邊 B C 組成三角形的線段如圖中的AB、BC、AC是這個三角形的三邊， 兩邊的公共點叫三角形的頂點。(如點A等)三角形頂點只能用大寫字 母表示，整個三角形表示為△ABC。 　　　　　 3．三角形的內(nèi)角，外角的概念： （1）內(nèi)角：每兩條邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，如∠BAC等。每個三角形有三個內(nèi)角， （2）外角：三角形中內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角 叫做三角形的外角，如下圖中∠ACD是∠ABC的一個外角， A 它與內(nèi)角∠ACB相鄰。 外角 例如右圖中∠ACD是∠ABC的一個外角，它與內(nèi)角∠ACB相鄰。 B　　 C D 與△ABC的內(nèi)角∠ACB相鄰的外角有幾個?它們之間有什么關(guān)系? 一個三角形共有幾個外角？ 4．三角形的分類 （1）三角形按角分類可分為： 各類三角形的定義 銳角三角形：所有內(nèi)角都是銳角的三角形叫銳角三角形； 直角三角形：有一個內(nèi)角是直角的三角形叫直角三角形； 鈍角三角形：有一個內(nèi)角是鈍角的三角形叫鈍角三角形。 （2）三角形按邊分類可分為： 各類三角形的定義 不等邊三角形：三邊互不相等的三角形叫做不等邊三角形； 等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形。相等的兩邊叫做等腰三角形的腰。 等邊三角形；三條邊都相等的三角形叫等邊三角形(或正三角形)。 5．三角形的中線、角平分線、高（記住這重要的三線） 三角形的中線：三角形的一個頂點與它的對邊中點的連線叫三角形的中線。 三角形的角平分線：三角形內(nèi)角的平分線與對邊的交點和這個內(nèi)角頂點之間的線段叫三角形的角平分線。 三角形的高：過三角形頂點作對邊的垂線，垂足與頂點間的線段叫三角形的高。 注意： (1)一個三角形中三條中線(高、角平分線)之間的位置關(guān)系怎樣? [三條中線交于一點，三條角平分線交于一點，三條高所在的直線交于一點] (2)一個三角形的三條中線(角平分線)的交點與三角形有怎樣的位置關(guān)系? [三條中線(角平分線)相交于一點，這一點在三角形內(nèi)部] (3)直角三角形的三條高，它們有怎樣的位置關(guān)系?鈍角三角形呢? [直角三角形有一條高在三角形內(nèi)部，另外兩條就是直角三角形的兩條直角邊，三條高的交點就是直角三角形的直角頂點，鈍角三角形有一條高在形內(nèi)，兩條高在形外，三條高所在的直線的交點在形外。] (4)以上三線都是線段。 （二）三角形外角的性質(zhì)以及其外角的和 1．三角形外角的性質(zhì)： (1)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和； 　　 (2)三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。 A 如圖： D是△ABC邊BC上一點，則有∠ADC＝∠DAB+∠ABD； ∠ADC>∠DAB，∠ADC>∠ABD　 B D C 問：∠ADB＝∠(　　　　)+∠(　　　)　　　 2．三角形外角的和。 三角形的外角與和它相鄰內(nèi)角有什么關(guān)系?(互補) （1）三角形外角和的定義：與三角形的每個內(nèi)角相鄰的外角分別有兩個，這兩個外角是對頂角，從與每個內(nèi)角相等的兩個外角中分別取一個相加，得到的和稱為三角形的外角和。 （2）三角形外角和定理：三角形的外角和是360 （三）三角形的三邊關(guān)系 1．三角形三邊不等關(guān)系定理：三角形的任何兩邊的和大于第三邊。 三角形的任何兩邊的差小于第三邊。 即三角形第三邊的取值范圍是： |任何兩邊的差|＜第三邊＜任何兩邊的和 以上定理主要用語判斷給出一定長度的線段能否構(gòu)成三角形和求第三邊的取值范圍。 2．三角形具有穩(wěn)定性 這就是說三角形的三條邊固定，那么三角形的形狀和大小就完全確定了。三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。四邊形就不具有這個性質(zhì)。 （四）多邊形的內(nèi)角和與外角和 1．多邊形及其相關(guān)概念 定義：由n條不在同一直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形，記為n邊形，又稱多邊形。 一個n邊形有n個內(nèi)角，有2n個外角。 如果多邊形的各邊都相等，各內(nèi)角也都相等，則稱為正多邊形，如正三角形、正四邊形(正方形)、正五邊形等等。 對角線：連結(jié)多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線。 從n邊形的一個頂點引對角線，可以引(n-3)條，這(n-3)條對角線把n邊形分成（n-2）個三角形。 從n邊形的所有頂點引對角線的總條數(shù)為：條。 2．多邊形的內(nèi)角和公式 n邊形的內(nèi)角和＝(n-2)180 3．多邊形的外角和。 （1）多邊形的外角和定義：從與每個內(nèi)角相鄰的兩個外角中分別取一個相加，得到的和稱為多邊形的外角和。 （2）多邊形的外角和定理：多邊形的外角和等于360。 多邊形的外角和與多邊形的邊數(shù)無關(guān)。 （五）用正多邊形拼地板 1．用相同的正多邊形拼地板：能拼成既不留空隙，又不重疊的平面圖形的關(guān)鍵是圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角相加恰好等于360。 在正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形中能夠拼出完整地面是 這就是說，當(dāng)(360 )為正整數(shù)時 即為正整數(shù)時，用這樣的正n邊形就可以鋪滿地面。 設(shè)正多邊形的個數(shù)為n，每個內(nèi)角為α，則要鋪滿地面，它們滿足下列關(guān)系：αn=360 2．用多種正多邊形拼地板 鋪墊滿地面的標(biāo)志：滿足圍繞一點的這幾個正多邊形的一個內(nèi)角的和等于360 設(shè)正多邊形甲的個數(shù)為n，每個內(nèi)角為α，正多邊形乙的個數(shù)為m，每個內(nèi)角為β，則它們滿足下列關(guān)系：αn+βm=360 第十章 軸對稱、平移與旋轉(zhuǎn) 一、軸對稱： 1.軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線對折，對折后的兩部分能 ， 那么這個圖形就是 ，這條直線就是它的 。 2.兩個圖形成軸對稱：如果一個圖形沿一條直線折疊后，它能與另一個圖形 那么這兩個圖形成 ，這條直線就是它們的 ， 折疊時重合的對應(yīng)點就是 3.軸對稱的性質(zhì)：軸對稱(成軸對稱的兩個)圖形的對應(yīng)線段 ，對應(yīng)角 4.垂直平分線的定義： 5.對稱軸的畫法：先連結(jié)一對 點，再作所連線段的 6.對稱點的畫法：過已知點作對稱軸的 并 二、平移 圖形的平移：一個圖形沿著一定的方向平行移動一定的距離，這樣的圖形運動稱 為 ，它是由移動的 和 所決定。 平移的特征：經(jīng)過平移后的圖形與原圖形對應(yīng)線段 (或在同一直線上)且 ， 對應(yīng)角 ,圖形的 與 都沒有發(fā)生變化，即平移前后的兩個圖形 連結(jié)每對對應(yīng)點所得的線段 (或在同一直線上)且 。 三、旋轉(zhuǎn) 圖形的旋轉(zhuǎn)：把一個圖形繞一個 沿某個 旋轉(zhuǎn)一定 的變換， 叫做 ，這個定點叫做 。 圖形的旋轉(zhuǎn)由 、 和 所決定。 注意：①旋轉(zhuǎn) 在旋轉(zhuǎn)過程中保持不動． ②旋轉(zhuǎn) 分為 時針 和 時針。 ③旋轉(zhuǎn) 一般小于360。 旋轉(zhuǎn)的特征：圖形中每一點都繞著 旋轉(zhuǎn)了 的角度，對應(yīng)點到旋 轉(zhuǎn)中心的 相等，對應(yīng)線段 ，對應(yīng)角 ，圖形的 和 都沒有發(fā)生變化，也就是旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形 。 旋轉(zhuǎn)對稱圖形：若一個圖形繞一定點旋轉(zhuǎn)一定角度(不超過180)后，能與 重合，這種圖形就叫 。 四、中心對稱 中心對稱圖形：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn) 后，如果能夠與 重合， 那么這個圖形叫做 圖形，這個點就是它的 。 成中心對稱：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn) 后，如果它能夠與 重合 那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點成 ，這個點叫做 。 這兩個圖形中的對應(yīng)點叫做關(guān)于中心的 。 中心對稱的性質(zhì)：關(guān)于中心對稱的圖形，對應(yīng)點所連線段都經(jīng)過 ， 而且被對稱中心 。(中心對稱是旋轉(zhuǎn)對稱的特殊情況)。 中心對稱點的作法——連結(jié) 和 ，并延長一倍。 對稱中心的求法——方法①：連結(jié)一對對應(yīng)點，再求其 ； 方法②：連結(jié)兩對對應(yīng)點，找他們的 。 五、圖形的全等 1.全等圖形定義：能夠完全 的兩個圖形叫做全等圖形。 2.圖形變換與全等：一個圖形經(jīng)翻折、平移、旋轉(zhuǎn)變換所得到的新圖形與 全等；全等的兩個圖形經(jīng)過上述變換后一定能夠 。 3.全等多邊形：⑴有關(guān)概念：對應(yīng)頂點、對應(yīng)邊、對應(yīng)角等。 ⑵性質(zhì)：全等多邊形的 、 相等； ⑶判定： 、 分別對應(yīng)相等的兩個多邊形全等。 4.全等三角形：⑴性質(zhì)：全等三角形的 、 相等； ⑵判定： 、 分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等。 12