哈爾濱工業(yè)大學大學物理熱學部分部分習題.ppt

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大學物理習題課——熱學部分,2010.11.29,1,統(tǒng)計物理學,2,理想氣體狀態(tài)方程理想氣體壓強公式理想氣體內(nèi)能麥克斯韋速率分布分子碰撞統(tǒng)計規(guī)律（平均自由程和碰撞頻率）,基本規(guī)律1.理想氣體狀態(tài)方程,2.理想氣體壓強公式,4,3.溫度與分子平均平動動能的關系,5.理想氣體內(nèi)能公式,4.能量按自由度均分定理平衡態(tài)下，氣體分子的每一個自由度的平均動能都等于。若氣體分子具有i個自由度，則分子的能量為,5,6.麥克斯韋速率分布律數(shù)學表達式,物理意義：速率在區(qū)間氣體分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比，或者說一個分子的速率處于區(qū)間的概率。,速率分布函數(shù),物理意義：處在速率附近單位速率區(qū)間內(nèi)氣體分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。概率密度,6,三種特征速率,最概然速率：平均速率：方均根速率：,7,7.玻爾茲曼能量分布律,表示氣體處于平衡態(tài)時，在一定溫度下，在速度分布區(qū)間、、和坐標區(qū)間、、內(nèi)的分子數(shù)；是分子的平動動能；是分子在力場中的勢能,體積元dxdydz內(nèi)的總分子數(shù),n為空間粒子數(shù)密度,n0為Ep=0處的粒子數(shù)密度,8,重力場中粒子按高度的分布,--恒溫氣壓公式,8.平均碰撞頻率,平均自由程,9,五種類型問題(1)利用理想氣體方程、壓強公式、內(nèi)能公式，計算相關物理量(2)麥克斯韋速率分布率相關問題(3)利用三種特征速率公式的一些計算(4)平均自由程相關問題(5)玻爾茲曼能量分布律的應用,10,例1.體積和壓強都相同的氦氣和氫氣（均視為剛性分子理想氣體），在某一溫度T下混合，所有氫氣分子所具有的熱運動動能在系統(tǒng)總熱運動動能中所占的百分比是多少？,氫氣為雙原子分子，自由度為5，,一個分子平均動能：,所有氫氣分子總動能為,氦氣為單原子分子，自由度為3，,一個分子平均動能：,所有氦氣分子總動能為：,氫氣分子動能的百分比為,知道氫氣和氦氣分子的摩爾比就可確定氫氣分子動能百分比。,根據(jù)條件，兩種氣體P和V都相同，在同一溫度T下混合。,理想氣體壓強公式：,氫氣,氦氣,T相同，P相同，因此n1=n2,即分子數(shù)密度相同。V也相同。,,摩爾量為:,例2.容積為10L的盒子以速率V=200m/s勻速運動，容器中充有質(zhì)量為50g，溫度為18oC的氫氣，設盒子突然停止，氣體的全部定向運動動能都變?yōu)闅怏w分子熱運動的動能，容器與外界沒有能量交換，則達到平衡后氫氣的溫度和壓強增加多少？（氫氣分子視為剛性分子）,動能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，內(nèi)能只與溫度有關，內(nèi)能增加即溫度增加，等體變化中，溫度增加引起壓強增加。,定向運動動能,這些能量全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，氫氣分子內(nèi)能增加量為,1mol氫氣分子內(nèi)能與溫度關系：,50g氫氣總的內(nèi)能為,內(nèi)能增加量和溫度增加量之間存在關系,,理想氣體壓強方程P=nkT,,氣體總量不變，容器體積不變，因此分子數(shù)密度n沒有變化，壓強增加量和溫度增加量存在關系,例3.用絕熱材料制成的一個容器，體積為2V0，被絕熱板隔成A、B兩部分，A內(nèi)儲存有1mol單原子分子理想氣體，B沒儲存有2mol剛性雙原子分子理想氣體，A、B兩部分壓強相等，均為P0，兩部分體積均為V0，則（1）兩種氣體各自的內(nèi)能分別為多少？（2）抽取絕熱板，兩種氣體混合后處于平衡時的溫度為多少？,1mol理想氣體內(nèi)能為,A中為單原子理想氣體，自由度為3，因此內(nèi)能為,根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程：,A中氣體的內(nèi)能為：,（1）兩種氣體各自的內(nèi)能分別為多少？,B中為雙原子剛性理想氣體，自由度為5，因此內(nèi)能為,根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程：,帶入上式得出,（2）抽取絕熱板，兩種氣體混合后處于平衡時的溫度為多少？,混合后兩種氣體溫度相同，溫度與內(nèi)能有關。因此應從內(nèi)能入手。容器絕熱，外界沒有對氣體做功，也沒有熱傳遞。系統(tǒng)內(nèi)能量守恒。兩種氣體間存在能量轉(zhuǎn)移，但是總內(nèi)能不變。設混合后溫度為T，則混合后,A氣體內(nèi)能,B氣體內(nèi)能,混合前總內(nèi)能為：,混合后總內(nèi)能為：,混合前后內(nèi)能相同：,例4.容器內(nèi)盛有密度為r的單原子理想氣體，其壓強為p，此氣體分子的方均根速率為多少？單位體積內(nèi)氣體的內(nèi)能為多少？,方均根速率肯定和內(nèi)能有關，理想氣體分子平均內(nèi)能,理想氣體壓強公式P=nkT,,怎樣將密度r和壓強P聯(lián)系起來？,由上式可知,（1）,代入理想氣體壓強公式：,n為分子數(shù)密度，即單位體積內(nèi)分子個數(shù)。m為一個分子質(zhì)量。nm即為單位體積內(nèi)氣體分子的質(zhì)量，也就是密度r。,因此，方均根速率為,（2）單位體積內(nèi)氣體的內(nèi)能為多少？,一個分子平均內(nèi)能為,單位體積內(nèi)有n個分子，內(nèi)能為,例5：已知某氣體在溫度T時的速率分布函數(shù)為，說明下列各表達式的意義,(1)表示某氣體分子的速率在間隔內(nèi)的概率?；蛘哒f，速率在間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。,(2)表示在間隔的分子數(shù),(3)表示某氣體分子的速率在間隔內(nèi)的概率?；蛘哒f，速率在間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。,(4)表示在間隔內(nèi)的分子數(shù)。,26,例6N個質(zhì)量m的同種氣體分子，其速率分布如圖所示。(1)問圖中橫坐標、縱坐標及折線與橫坐標所包圍的面積的含義是什么？(2)已知N、v，求a(3)求速率在v0/2到3v0/2之間的分子數(shù)(4)求分子的平均速率和平均平動動能,解:(1)橫坐標表示氣體分子速率。縱坐標表示在速率v附近單位速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)；而Nf(v)dv表示分布在速率v-v+dv區(qū)間的分子數(shù)，對應于折線與橫坐標所包圍的面積。,27,(2)由圖可得分布函數(shù)為,由歸一化條件，得,所以,28,(3)所以速率在的分子數(shù)為,29,(5)求分子的平均速率和平均平動動能,由于,所以,30,,平均平動動能,例7.設有N個粒子，其速率分布函數(shù)為：,,（1）畫速率分布曲線；（2）由N和v0求常量a；（3）求粒子的最概然速率；（4）求N個粒子的平均速率；（5）求速率介于區(qū)間（0~v0/2）的粒子數(shù)；（6）求（v0/2~v0）區(qū)間內(nèi)分子的平均速率。,例8一絕熱容器，體積為2Vo，由絕熱板將其分隔成相等的兩部分A和B，如圖所示。設A內(nèi)貯有1mol的He分子的氣體，B內(nèi)貯有2mol的H2分子的氣體，A、B兩部分的壓強均為PO。如果把兩種氣體都看作理想氣體。現(xiàn)在抽去絕熱板，求兩種氣體混合后達到平衡狀態(tài)時的溫度和壓強。,解：混合前，兩種氣體的內(nèi)能為：,因此兩種氣體的總內(nèi)能為：,33,設混合氣體的溫度為T，其內(nèi)能為：,因為混合前后內(nèi)能不變，所以,所以,由理想氣體狀態(tài)方程可以得到壓強為：,34,例9：由麥克斯韋速率分布律出發(fā)，求：(1)平動動能介于之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率；(2)平動動能的最概然值,解:(1)根據(jù)麥克斯韋速率分布律，速率介于之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為,由于，，即,35,將，代入(1)式，得平動動能介于之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率,(2)由式對求極值，可得平動動能的最概然值,即,36,熱力學,熱力學,基本概念,1.熱力學系統(tǒng)（開放、封閉、孤立系統(tǒng)）,2.熱力學過程（準靜態(tài)、非準靜態(tài)過程）,3.功,2)氣體膨脹時，，表示系統(tǒng)對外界作功，,氣體壓縮時，，表示外界對系統(tǒng)作功，,3)功的幾何意義：在圖上，準靜態(tài)過程由一條曲線表示，曲線下面的面積表示該過程中系統(tǒng)所作的功。,1)對于平衡過程,38,5.摩爾熱容：1mol物質(zhì)溫度升高1k時所吸收的熱量。,6.摩爾等體熱容,7.摩爾等壓熱容,8.內(nèi)能：狀態(tài)量，只與溫度有關,熱容是過程量，同一物質(zhì)不同過程中其熱容是不同的,對于理想氣體,對于理想氣體,邁耶公式,4.熱量,39,基本規(guī)律,,1.熱力學第零定律：如果兩個熱力學系統(tǒng)中的每一個都與第三個熱力學系統(tǒng)處于熱平衡，則它們彼此處于熱平衡。,2.熱力學第一定律：第一類永動機不能實現(xiàn),3.熱力學第二定律：第二類永動機不能實現(xiàn),1)開爾文表述：不可能從單一熱源吸取熱量使之完全變?yōu)橛杏霉Γ灰鹌渌魏巫兓?2)克勞修斯表述：熱量不能自動地從低溫物體傳向高溫物體,40,熱一律的應用，幾個重要的熱力學過程,等體,等壓,等溫,絕熱,特點,V=C,,P=C,T=C,Q=0,過程方程,Q,W,,0,0,0,三種類型問題：,(1)當理想氣體狀態(tài)發(fā)生變化時，求解各有關的物理量,(2)有關循環(huán)過程和循環(huán)效率,(3)熵變計算,功、熱量、內(nèi)能的計算,42,功、熱量、內(nèi)能的計算,（1）直接計算,計算公式,適用對象,適用條件,任何系統(tǒng),任何系統(tǒng),理想氣體,準靜態(tài)過程,始末態(tài)為平衡態(tài)，Cm=const.,始末態(tài)為平衡態(tài)，CV,m=const.,43,（2）用熱力學第一定律計算,Q=?E+W,—適用于任何系統(tǒng)和任何過程,44,（3）用p—V圖分析,1）過程曲線與V軸所圍的面積=?W?,2）理想氣體等溫線上?E=0,3）絕熱線上Q=0,,兩條重要的參考線,45,卡諾定理：工作于相同的高溫熱源和相同的低溫熱源之間的一切可逆熱機，其效率都相同，與工作物質(zhì)無關。工作于兩熱源間的一切不可逆熱機的效率都不可能大于可逆熱機的效率。,循環(huán)過程和循環(huán)效率,熱機：,46,熵的計算,只適用于可逆過程,R,熵增加原理：孤立系統(tǒng)中，所自發(fā)發(fā)生的一切過程，總是朝著熵增加或不變的方向進行。,對不可逆過程的熵變，,可以在初末態(tài)之間設計一個可逆過程，利用熵為態(tài)函數(shù)，,與過程無關,通過計算可逆過程熵變得到不可逆過程熵變.,47,例1.已知一定量的理想氣體經(jīng)歷P-T圖上所示的循環(huán)過程，試分析圖中個過程的吸熱、放熱情況。,,,,,,,12過程中，T增加，內(nèi)能增加，V增加，對外做功，A>0因此Q>0,吸熱。,23為等溫過程，根據(jù)PV=vRT可知P增加，V減小。熱一律,13為等壓過程，根據(jù)PV=vRT,T減小，V減小。,T減小內(nèi)能減小，A<0,QT2，等容升溫過程，氣體吸熱,熵增加。,在絕熱線上,59,代入上式有,第三個過程ca是等溫放熱過程，熵一定減少,第三過程熵變?yōu)?60,(2)等容過程系統(tǒng)從外界吸熱，外界向系統(tǒng)放熱，系統(tǒng)和外界構成絕熱系統(tǒng)，因為經(jīng)歷的過程是可逆的，所以大系統(tǒng)的熵不變，即,(3)因為熵是狀態(tài)函數(shù)，系統(tǒng)經(jīng)歷一個循環(huán)過程回到原態(tài)，故,(2)求等容過程與外界環(huán)境的總熵變是多少？(3)整個循環(huán)過程系統(tǒng)的熵變是多少？,61,例6.有1mol剛性多原子分子的理想氣體，原來的壓強為1.0atm，溫度為27oC，若經(jīng)過一個絕熱過程，使其壓強增加到16atm，試求：（1）氣體內(nèi)能的增量；（2）在該過程中氣體所作的功；（3）終態(tài)時氣體的分子數(shù)密度；,（1）氣體內(nèi)能的變化？內(nèi)能只與溫度有關，考慮溫度變化。絕熱過程P和V關系,多原子分子自由度為6,內(nèi)能變化,絕熱過程溫度和體積關系,（2）在該過程中氣體所作的功；,絕熱過程Q=0,（3）終態(tài)時氣體的分子數(shù)密度；,理想氣體壓強方程,例7.已知:一氣缸如圖,A,B內(nèi)各有1mol理想氣體氮氣.AB之間有一固定導熱板，且VA=VB,TA=TB.有335J的熱量緩慢地傳給氣缸,活塞上方的壓強始終是1atm(忽略導熱板的吸熱,活塞重量及摩擦)。,求:(1)A,B兩部分溫度的增量及凈吸的熱量.,(2)若導熱隔板換成可自由滑動的絕熱隔板,再求第(1)問的各量。,66,【解】(1)求A,B兩部分溫度的增量及凈吸的熱量.,A:等容過程,B:等壓過程,解(1)(2)聯(lián)立，得,所以,因為隔板導熱，,67,凈吸的熱量,溫度的增量,68,方法二:“整體法”將A,B看成一個整體,（結果相同）,69,(2)若將導熱隔板換成可自由滑動的絕熱隔板,原來A,B內(nèi)各有1mol理想氣體氮氣，因為VA=VB,TA=TB所以PA=PB=1atm.,A吸熱膨脹，要推隔板,B的壓強略增就要推活塞,---A,B都始終保持1atm.的壓強。,70,A:等壓吸熱過程,B:等壓絕熱過程,由于B壓強不變,而且溫度也不變,所以體積也不變,B室整個向上平移.,71,例8某熱機循環(huán)從高溫熱源獲得熱量QH，并把熱量QL排給低溫熱源。設高溫熱源的溫度為TH=2000K，低溫熱源的溫度為TL=300K，試確定在下列條件下熱機是可逆，不可逆或不可能的。(1)QH=1000J，W=900J；(2)QH=2000J，QL=300J；(3)W=1500J，QL=500J。,72,解：,不可能,可逆,不可逆,(1)QH=1000J，W=900J,(2)QH=2000J，QL=300J,(3)W=1500J，QL=500J,73,