四川大學(xué)理論力學(xué)第11章第一課時.ppt

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歡迎光臨,理論力學(xué),,第11章動能定理,質(zhì)系動能定理建立了質(zhì)點系動能的變化率與作用于質(zhì)點系上的力所作的功之間的關(guān)系，從而揭示了機械運動和其它形式運動能量傳遞和轉(zhuǎn)化的規(guī)律。,本章主要內(nèi)容,11.1力的功11.2質(zhì)點系和剛體的動能11.3動能定理,11.1力的功,1．功的概念,力的功表示力在一段路程上對物體作用的累積效應(yīng),它包含力和路程兩個因素。,?W可寫成直角坐標形式,因,,在一無限小位移中力所做的功稱為元功，以?W表示。,,力在有限路程上的功為力在此路程上元功的定積分。,或,功的單位為焦耳(J),1J=1Nm=1kgm/s。,,合力的功：設(shè)作用于質(zhì)點的合力FR=∑Fi,則合力的功,即作用于質(zhì)點的合力在某一段路程上所作的功等于各分力在同一段路程上所作功的代數(shù)和。,2．常見力的功,（1）重力的功,重力在直角坐標軸上的投影為,重力的功為,重力的功僅與質(zhì)點運動起止位置的高度差有關(guān)，而與運動軌跡無關(guān)。,,,對于質(zhì)點系，所有質(zhì)點重力做功之和為,由質(zhì)心坐標公式，有,由此可得,即質(zhì)點系重力的功等于質(zhì)點系的總重量與其重心高度差之乘積,重心降低為正,重心升高為負。,重力的功與路徑無關(guān),僅取決于重心的始末位置。,（2）彈性力的功,設(shè)彈簧剛性系數(shù)為k，彈簧變形為?,則彈力為,彈性力的功為,彈性力在有限路程上的功只決定于彈簧在起始及終了位置的變形量，而與質(zhì)點的運動路徑無關(guān)。,（3）定軸轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功,作用于定軸轉(zhuǎn)動剛體上的力系的元功為,而,于是,力系在有限轉(zhuǎn)動中的功為,,（4）平面運動剛體上力系的功,其中FR為力系的主矢量，MC為力系對質(zhì)心C的主矩。,3．質(zhì)點系內(nèi)力的功,因,所以,上式說明，當(dāng)質(zhì)系內(nèi)質(zhì)點間的距離可變化時，內(nèi)力的元功之和不為零。,如兩質(zhì)點之間的距離不變，例如剛體上或剛性桿聯(lián)結(jié)的兩點，則內(nèi)力的元功之和為零，因此剛體內(nèi)力的功之和恒等于零。,4．理想約束,約束力的元功之和等于零的約束稱為理想約束，即??W=0。常見的理想約束有:,（1）光滑固定面和輥軸約束,其約束力垂直于作用點的位移，約束力不做功。,（2）光滑鉸鏈或軸承約束,由于約束力的方向恒與位移的方向垂直，所以約束力的功為零。,（3）剛性連接的約束,這種約束和剛體的內(nèi)力一樣，其元功之和恒等于零。如圖所示。,（4）聯(lián)結(jié)兩個剛體的鉸,如圖所示，兩個剛體相互間的約束力，大小相等、方向相反，即F=?F，兩力在點的微小位移上的元功之和等于零，即,（5）柔性而不可伸長的繩索約束,如圖示，繩索兩端的約束力大小相等，即,又因,因此不可伸長的繩索的約束力元功之和等于零，即,質(zhì)系內(nèi)力的功之和一般不為零，因此在計算力的功時，將作用力分為外力和內(nèi)力并不方便，在理想約束的情形下，若將作用力分為主動力與約束力，可使功的計算得到簡化。若約束是非理想的，如需考慮摩擦力的功，在此情形下可將摩擦力當(dāng)作主動力看待。,例1用跨過滑輪的繩子牽引質(zhì)量為2kg的滑塊A沿傾角為30?的光滑槽運動。設(shè)繩子拉力F=20N。計算滑塊由位置A至位置B時，重力與拉力F所作的總功。,解：滑塊由位置A至位置B所上升的高度為,力F作用點移動的距離為,所以，重力與拉力F所作的總功,,C,11.2質(zhì)點系和剛體的動能,1.質(zhì)點系的動能,設(shè)質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，任一質(zhì)點Mi在某瞬時的動能為,質(zhì)點系內(nèi)所有質(zhì)點在某瞬時動能的算術(shù)和稱為該瞬時質(zhì)點系的動能，即,動能是描述質(zhì)點系運動強度的一個物理量。動能的單位與功的單位相同。,2．平動剛體的動能,當(dāng)剛體平動時，剛體上各點速度相同，于是平動剛體的動能為,3．定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能,當(dāng)剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動時，如圖示，其上任一點的速度為,于是繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能為,為剛體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量，所以得,,4．平面運動剛體的動能,根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理有,代入上式得,而,，因此,上式表明，平面運動剛體的動能等于跟隨質(zhì)心平動的動能與繞通過質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的動能之和。,(a):,(b):,(c):,,,,,,,,,,,,,,,?,O,A,?,(e),,例2均質(zhì)桿AB靠在光滑墻面上，已知桿的質(zhì)量為m，桿長l。圖示瞬時B點的速度為vB，?=60。設(shè)地面光滑。求此時桿的動能。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,?,A,B,,vB,解：桿AB作平面運動，點D是速度瞬心，質(zhì)心速度,,vA,,,D,,vC,C,,動能也可用下法求得,,例3.質(zhì)量為m的均質(zhì)桿與相同質(zhì)量的均質(zhì)小球固結(jié),以角速度ω繞軸O轉(zhuǎn)動,如圖示。已知桿長為l,小球半徑為r,求組合體的動能(小球?qū)χ睆捷S的轉(zhuǎn)動慣量為2mr2/5)。,例4.己知長l的桿和半徑為r的均質(zhì)圓盤質(zhì)量均為m,均質(zhì)圓盤沿水平面純滾,質(zhì)心速度為u，試求圖示位置時系統(tǒng)的動能。,,,O,2u,例5.己知m、u,α=45,桿重不計,均質(zhì)圓盤沿斜面純滾,試求系統(tǒng)的動能。,,,u,u,,,C,課后作業(yè)：,11.2、11.5、11.6、11.7,11.3動能定理,1．質(zhì)點動能定理,牛頓第二定律給出,兩邊點乘dr,上式稱為質(zhì)點動能定理的微分形式，即質(zhì)點動能的微小變化等于作用于質(zhì)點上的力的元功。,,,,或,從質(zhì)點運動的位置1到位置2積分上式得,上式為質(zhì)點動能定理的積分形式，即在任一路程中質(zhì)點動能的變化，等于作用在質(zhì)點上的力在同一路程上所作的功。,或,其中,2．質(zhì)點系動能定理,對于質(zhì)點系中任一質(zhì)點有,n個方程相加，則得,或,上式為質(zhì)點系動能定理的微分形式,即質(zhì)系動能的微小變化，等于作用于質(zhì)系上所有外力和內(nèi)力的元功之和。,從質(zhì)點系運動的位置1到位置2積分上式得,上式為質(zhì)點系動能定理的積分形式,即在任一路程中，質(zhì)點系動能的變化，等于作用在質(zhì)點系上的所有外力和內(nèi)力在同一路程中所作功之和。,動能定理也可表達為,,,質(zhì)點系的動能定理在應(yīng)用中的注意事項:,方程的右邊為代數(shù)和,求和時應(yīng)注意符號;方程的右邊應(yīng)包含作用于系統(tǒng)的所有力的功,既包括外力的功,也包括內(nèi)力的功;注意微分形式與積分形式的區(qū)別:對于微分形式,應(yīng)首先求出任意位置系統(tǒng)動能的一般表達式,然后再微分求出dT;對于積分形式必須首先明確系統(tǒng)的始末位置,然后再分別求出始末位置的系統(tǒng)動能T1和T2。,例1、質(zhì)量為m的物塊，自高度h處自由落下，落到有彈簧支承的板上，如圖所示。彈簧的剛性系數(shù)為k，不計彈簧和板的質(zhì)量。求彈簧的最大變形。,解：物塊落在板上后繼續(xù)向下運動，當(dāng)速度等于零時，彈簧被壓縮到最大變形。應(yīng)用動能定理，有,解得,由于彈簧的變形量是正值，因此取正號，即,例2、鏈條長l，質(zhì)量m，展開放在光滑的桌面上，如圖所示。開始時鏈條靜止，并有長度為a的一段下垂。求鏈條離開桌面時的速度。,解：將鏈條分為兩段考慮，下垂段重力作功為,桌面段重力作功為,由動能定理得,解得,例3、兩均質(zhì)桿AC和BC的質(zhì)量均為m，長均為l，在點C由鉸鏈相連接，放在光滑水平面上，如圖所示。由于A和B端的滑動，桿系在其鉛直面內(nèi)落下。點C的初始高度為h。開始時桿系靜止，求鉸鏈C與地面相碰時的速度v。,解：取桿AC，當(dāng)鉸鏈C與地面相碰時，速度瞬心D與A重合。根據(jù)對稱性，由動能定理得,解得,例4、均質(zhì)連桿AB質(zhì)量為4kg，長l=600mm。均質(zhì)圓盤質(zhì)量為6kg，半徑r=100mm。彈簧剛度為2N/mm，不計套筒A及彈簧的質(zhì)量。如連桿在圖示位置被無初速釋放后，A端沿光滑桿滑下，圓盤作純滾動。求：（1）當(dāng)AB達水平位置而接觸彈簧時，圓盤與連桿的角速度；（2）彈簧的最大壓縮量?。,解：（1）AB達水平位置時vB=0，所以,由動能定理有,,解得,（2）從桿被釋放到停止，應(yīng)用動能定理有,解得,,,vA,vB,,,C,例5、均質(zhì)圓盤，質(zhì)量為m，半徑為R，彈簧剛度為k，原長為R。圓盤由圖示位置無初速釋放，求圓盤在最低位置時的角速度?。,解：圓盤作定軸轉(zhuǎn)動，由動能定理,所以,（設(shè)k足夠小，滿足?>0）,例6、卷揚機如圖所示。鼓輪在常力偶矩M作用下將圓柱體沿斜面上拉。已知鼓輪的半徑為R1,質(zhì)量為m1，質(zhì)量分布在輪緣上；圓柱體的半徑為R2，質(zhì)量為m2，質(zhì)量均勻分布。設(shè)斜面的傾角為?，圓柱體沿斜面只滾不滑。系統(tǒng)從靜止開始運動，求圓柱體上升路程為s時，其中心C的速度及加速度。,解：取整個系統(tǒng)為研究對象，主動力的功為,設(shè)圓柱體中心的速度為vC，則系統(tǒng)的動能,,式中,，,代入后得,應(yīng)用動能定理,得,(1),所以，得,式(1)兩邊求導(dǎo),解得,,點評:(1)應(yīng)用動能定理的積分形式求解單自由度系統(tǒng)的速度(或角速度)問題十分方便;(2)當(dāng)末位置的速度(或角速度)是任意位置的函數(shù)時,則可求時間導(dǎo)數(shù)來得到加速度(或角加速度)。,例6、卷揚機如圖所示。鼓輪在常力偶矩M作用下將圓柱體沿斜面上拉。已知鼓輪的半徑為R1,質(zhì)量為m1，質(zhì)量分布在輪緣上；圓柱體的半徑為R2，質(zhì)量為m2，質(zhì)量均勻分布。設(shè)斜面的傾角為?，圓柱體沿斜面只滾不滑。求圓柱體中心C的加速度。,解：取整個系統(tǒng)為研究對象，主動力的元功為,設(shè)任意時刻圓柱體中心的速度為vC，則系統(tǒng)的動能為,,式中,，,代入后得,應(yīng)用動能定理,得,上式兩邊同除以dt,解得,,例7、均質(zhì)桿AB長l，質(zhì)量為m。質(zhì)量為M的重塊B在常力F作用下，由圖示靜止位置開始運動。求AB桿運動到鉛垂位置時重塊B的速度vB。不計摩擦及A塊重量。,解：取AB桿與重塊B組成的系統(tǒng)。,AB桿在鉛垂位置的運動分析如下圖示。,,系統(tǒng)具有理想約束，主動力的功為,根據(jù)動能定理,所以,,例8、如圖示，滾輪重P3，半徑為r2，對質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑為?C，半徑為r1的軸頸沿AB作無滑動滾動?；喼豍2，半徑為r，回轉(zhuǎn)半徑為?，重塊重P1。求重塊的加速度。,,解：設(shè)任意時刻重塊的速度為v,滑輪的角速度為?，滾輪質(zhì)心C點速度為vC。則,系統(tǒng)在任意位置的動能,,,,,,令,稱為當(dāng)量質(zhì)量或折合質(zhì)量，則,所以重塊的加速度,,由動能定理的微分形式,兩邊同除以時間dt,,設(shè)任意時刻重塊的位移為s，系統(tǒng)初始動能為T0，由動能定理,兩邊對時間求導(dǎo)數(shù),例9、均質(zhì)細桿重Q、長為l，上端靠在光滑的墻上，下端A以鉸鏈和一均質(zhì)圓柱的中心相連。圓柱重P、半徑為R，放在粗糙的地面上，從圖示位置（?=45）由靜止開始作純滾動。求A點在初瞬時的加速度。,解：取系統(tǒng)為研究對象。則任意瞬時系統(tǒng)動能為,其中,所以,,由于系統(tǒng)為理想約束，只有重力作功，所以元功為,由動能定理的微分形式,得,,,因,所以,解得,令?=45，vA=0，得,,兩邊同除以時間dt，因,,課后作業(yè)：,11.12、11.14、11.16、11.19、11.21,,