高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)13 專題5 突破點13 直線與圓 理

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專題限時集訓(xùn)(十三)　直線與圓 建議A、B組各用時：45分鐘] A組　高考達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．已知直線l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對稱軸．過點A(－4，a)作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|＝(　　) A．2　　　　　　　　　 B．4 C．6 D．2 C　圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4，圓心為C(2,1)，半徑為r＝2，因此2＋a1－1＝0，所以a＝－1，從而A(－4，－1)， |AB|＝＝＝6.] 2．(2016衡水一模)已知圓x2＋y2＋mx－＝0與拋物線y＝x2的準(zhǔn)線相切，則m＝(　　) A．2 B． C. D. B　拋物線的準(zhǔn)線為y＝－1，將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得2＋y2＝，圓心到準(zhǔn)線的距離為1＝?m＝.] 3．(2016長春一模)若動點A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上運動，則AB的中點M到原點的距離最小值為(　　) A. B．2 C．3 D．4 C　由題意知AB的中點M的集合為到直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0的距離相等的直線，則點M到原點的距離的最小值為原點到該直線的距離．設(shè)點M所在的直線方程為：x＋y＋m＝0，根據(jù)平行線間的距離公式得， ＝，解得m＝－6，即l：x＋y－6＝0，再根據(jù)點到直線的距離公式得點M到原點的距離的最小值為＝3.] 4．(2016承德二模)一條光線從點(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：85952048】 A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ D　由光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點(2，－3)，設(shè)反射光線所在直線的斜率為k，則反射光線所在直線方程為y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0. 又因為光線與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，所以＝1， 整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－或k＝－，故選D.] 5．(2016湘潭二模)兩圓x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三條公切線，若a∈R，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為(　　) A．1　　　 B．3 C.　　　 D. A　x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0，即(x＋a)2＋y2＝4，x2＋y2－4by－1＋4b2＝0，即x2＋(y－2b)2＝1，依題意可得，兩圓外切，則兩圓心距離等于兩圓的半徑之和，則＝1＋2＝3，即a2＋4b2＝9，所以＋＝＝≥＝1，當(dāng)且僅當(dāng)＝即a＝b時取等號，故選A.] 二、填空題 6．(2016赤峰高三統(tǒng)考)已知⊙O：x2＋y2＝1，若直線y＝kx＋2上總存在點P，使得過點P的⊙O的兩條切線互相垂直，則實數(shù)k的取值范圍是________． (－∞，－1]∪1，＋∞)　因為圓心為O(0,0)，半徑R＝1. 設(shè)兩個切點分別為A，B， 則由題意可得四邊形PAOB為正方形， 故有PO＝R＝， 由題意知圓心O到直線y＝kx＋2的距離小于或等于PO＝，即≤，即1＋k2≥2，解得k≥1或k≤－1.] 7．(2016合肥一模)設(shè)點P在直線y＝2x＋1上運動，過點P作圓(x－2)2＋y2＝1的切線，切點為A，則切線長|PA|的最小值是________． 2　圓心C(2,0)到直線2x－y＋1＝0的距離d＝，所以|PA|＝≥＝2.] 8．(2016長沙二模)若直線l1：y＝x＋a和直線l2：y＝x＋b將圓(x－1)2＋(y－2)2＝8分成長度相等的四段弧，則a2＋b2＝________. 18　由題意得直線l1：y＝x＋a和直線l2：y＝x＋b截得圓的弦所對圓周角相等，皆為直角，因此圓心到兩直線距離皆為r＝2，即＝＝2?a2＋b2＝(2＋1)2＋(－2＋1)2＝18.] 三、解答題 9．(2016南昌一模)已知圓C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，點A(3,5)． (1)求過點A的圓的切線方程； (2)O點是坐標(biāo)原點，連接OA，OC，求△AOC的面積S. 解]　(1)由圓C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，配方得(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓心C(2,3).2分 當(dāng)斜率存在時， 設(shè)過點A的圓的切線方程為y－5＝k(x－3)， 即kx－y＋5－3k＝0. 由d＝＝1，得k＝.4分 又斜率不存在時直線x＝3也與圓相切，5分 故所求切線方程為x＝3或3x－4y＋11＝0.6分 (2)直線OA的方程為y＝x，即5x－3y＝0，8分 點C到直線OA的距離為d＝＝.10分 又|OA|＝＝，∴S＝|OA|d＝.12分 10．(2016洛陽一模)已知點P(0,5)及圓C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0. (1)若直線l過點P且被圓C截得的線段長為4，求l的方程； (2)求過P點的圓C的弦的中點的軌跡方程． 解]　(1)如圖所示， |AB|＝4，將圓C方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y－6)2＝16，2分 所以圓C的圓心坐標(biāo)為(－2,6)，半徑r＝4，設(shè)D是線段AB的中點，則CD⊥AB， 所以|AD|＝2，|AC|＝4，C點坐標(biāo)為(－2,6)． 在Rt△ACD中，可得|CD|＝2. 若直線l的斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為y－5＝kx，即kx－y＋5＝0. 由點C到直線AB的距離公式：＝2，得k＝. 故直線l的方程為3x－4y＋20＝0.4分 直線l的斜率不存在時，也滿足題意，此時方程為x＝0.6分 所以所求直線l的方程為x＝0或3x－4y＋20＝0.7分 (2)設(shè)過P點的圓C的弦的中點為D(x，y)， 則CD⊥PD，即＝0， 所以(x＋2，y－6)(x，y－5)＝0，10分 化簡得所求軌跡方程為x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.12分 B組　名校沖刺] 一、選擇題 1．已知圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝9，點P(2,2)是該圓內(nèi)一點，過點P的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 D　依題意，圓的最長弦為直徑，最短弦為過點P垂直于直徑的弦，所以|AC|＝23＝6.因為圓心到BD的距離為＝，所以|BD|＝2＝2.則四邊形ABCD的面積為S＝|AC||BD|＝62＝6.故選D.] 2．若直線l：ax＋by＋1＝0始終平分圓M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周長，則(a－2)2＋(b－2)2的最小值為(　　) A.　　　 B．5 C．2　　　 D．10 B　由題意，知圓心M的坐標(biāo)為(－2，－1)，所以－2a－b＋1＝0. 因為(a－2)2＋(b－2)2表示點(a，b)與(2,2)的距離的平方， 而的最小值為＝，所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值為5.故選B.] 3．命題p：4＜r＜7，命題q：圓(x－3)2＋(y＋5)2＝r2(r＞0)上恰好有兩個點到直線4x－3y＝2的距離等于1，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 B　因為圓心(3，－5)到直線4x－3y＝2的距離等于5，所以圓(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上恰好有兩個點到直線4x－3y＝2的距離等于1時，4＜r＜6，所以p是q的必要不充分條件．] 4．(2016蘭州二模)已知直線x＋y－k＝0(k＞0)與圓x2＋y2＝4交于不同的兩點A，B，O為坐標(biāo)原點，且有|＋|≥||，則k的取值范圍是(　　) A．(，＋∞) B．，2) C．，＋∞) D．，2) B　由已知得圓心到直線的距離小于半徑，即＜2， 由k＞0，得0＜k＜2.① 如圖，又由|＋|≥||，得|OM|≥|BM|?∠MBO≥，因|OB|＝2，所以|OM|≥1， 故≥1?k≥.② 綜①②得≤k＜2.] 二、填空題 5．已知直線x＋y－a＝0與圓x2＋y2＝2交于A，B兩點，O是坐標(biāo)原點，向量，滿足|2－3|＝|2＋3|，則實數(shù)a的值為________. 【導(dǎo)學(xué)號：85952049】 　由|2－3|＝|2＋3|得 ＝0，即OA⊥OB，則直線x＋y－a＝0過圓x2＋y2＝2與x軸，y軸正半軸或負(fù)半軸的交點，故a＝.] 6．已知圓C的圓心與拋物線y2＝4x的焦點關(guān)于直線y＝x對稱，直線4x－3y－2＝0與圓C相交于A，B兩點，且|AB|＝6，則圓C的方程為________． x2＋(y－1)2＝10　設(shè)所求圓的半徑為r，拋物線y2＝4x的焦點坐標(biāo)為(1,0)，則圓C的圓心坐標(biāo)是(0,1)，圓心到直線4x－3y－2＝0的距離d＝＝1， 故圓C的方程是x2＋(y－1)2＝10.] 三、解答題 7．已知半徑為2，圓心在直線y＝－x＋2上的圓C. (1)當(dāng)圓C經(jīng)過點A(2,2)，且與y軸相切時，求圓C的方程； (2)已知E(1,1)，F(xiàn)(1，－3)，若圓C上存在點Q，使|QF|2－|QE|2＝32，求圓心的橫坐標(biāo)a的取值范圍． 解]　(1)∵圓心在直線y＝－x＋2上，半徑為2， ∴可設(shè)圓的方程為(x－a)2＋y－(－a＋2)]2＝4，2分 其圓心坐標(biāo)為(a，－a＋2)． ∵圓C經(jīng)過點A(2,2)，且與y軸相切， ∴有 解得a＝2，4分 ∴圓C的方程是(x－2)2＋y2＝4.5分 (2)設(shè)Q(x，y)，由|QF|2－|QE|2＝32， 得(x－1)2＋(y＋3)2－(x－1)2＋(y－1)2]＝32， 解得y＝3，∴點Q在直線y＝3上.7分 又∵點Q在圓C：(x－a)2＋y－(－a＋2)]2＝4上， ∴圓C與直線y＝3必須有公共點． ∵圓C圓心的縱坐標(biāo)為－a＋2，半徑為2， ∴圓C與直線y＝3有公共點的充要條件是 1≤－a＋2≤5，即－3≤a≤1.10分 ∴圓心的橫坐標(biāo)a的取值范圍是－3,1].12分 8．已知△ABC的三個頂點A(－1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圓為⊙H. (1)若直線l過點C，且被⊙H截得的弦長為2，求直線l的方程； (2)對于線段BH上的任意一點P，若在以點C為圓心的圓上都存在不同的兩點M，N，使得點M是線段PN的中點，求⊙C的半徑r的取值范圍． 解]　(1)線段AB的垂直平分線方程為x＝0，線段BC的垂直平分線方程為x＋y－3＝0，所以外接圓圓心為H(0,3)，半徑為＝， ⊙H的方程為x2＋(y－3)2＝10. 設(shè)圓心H到直線l的距離為d，因為直線l被⊙H截得的弦長為2，所以d＝＝3.3分 當(dāng)直線l垂直于x軸時，顯然符合題意，即x＝3為所求；4分 當(dāng)直線l不垂直于x軸時，設(shè)直線方程為y－2＝k(x－3)，則＝3，解得k＝，直線方程為4x－3y－6＝0. 綜上，直線l的方程為x＝3或4x－3y－6＝0.5分 (2)直線BH的方程為3x＋y－3＝0， 設(shè)P(m，n)(0≤m≤1)，N(x，y)， 因為點M是線段PN的中點， 所以M， 又M，N都在半徑為r的⊙C上， 所以 即7分 因為該關(guān)于x，y的方程組有解， 即以(3,2)為圓心，r為半徑的圓與以(6－m,4－n)為圓心， 2r為半徑的圓有公共點， 所以(2r－r)2≤(3－6＋m)2＋(2－4＋n)2≤(r＋2r)2，8分 又3m＋n－3＝0， 所以r2≤10m2－12m＋10≤9r2對?m∈0,1]成立． 而f(m)＝10m2－12m＋10在0,1]上的值域為，故r2≤且10≤9r2.10分 又線段BH與圓C無公共點， 所以(m－3)2＋(3－3m－2)2＞r2對?m∈0,1]成立， 即r2＜. 故⊙C的半徑r的取值范圍為.12分