高中數(shù)學(xué) 第2講 證明不等式的基本方法 1 比較法、綜合法與分析法課后練習(xí) 新人教A版選修4-5
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2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2講 證明不等式的基本方法 1 比較法、綜合法與分析法課后練習(xí) 新人教A版選修4-5 一、選擇題 1．設(shè)02，∴a－2>0， P＝a＋＝a－2＋＋2≥2＋2＝4. 又Q＝x2－2≤－2＝4.∴P≥Q. 答案： A 4．已知a，b∈R，則“a＋b>2，ab>1”是“a>1，b>1”的( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析： ∵a>1，b>1?a＋b>2，ab>1 a＋b>2，ab>1?/ a>1，b>1 舉例說明a＝3，b＝. 答案： B 二、填空題 5．設(shè)a>b>0，x＝－，y＝－，則x，y的大小關(guān)系是x________y. 解析： ∵a>b>0， ∴x－y＝－－(－) ＝－ ＝<0. 答案： < 6．在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，若∠C＝90，則的取值范圍是________． 解析： 由題意知c2＝a2＋b2≥2ab， 即≤. ∴＝＝≤. (當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào))． 又三角形中a＋b>c.∴1<≤. 答案： (1，] 三、解答題 7．設(shè)a≥b>0，求證：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. 證明： 3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．因?yàn)閍≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0， 從而(3a2－2b2)(a－b)≥0，即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. 8．已知a，b都是正實(shí)數(shù)，且a＋b＝2.求證：＋≥1. 解答：證明： 因?yàn)閍，b都是正實(shí)數(shù)，所以原不等式等價(jià)于 a2(b＋1)＋b2(a＋1)≥(a＋1)(b＋1)， 即a2b＋a2＋ab2＋b2≥ab＋a＋b＋1. 等價(jià)于a2＋b2＋ab(a＋b)≥ab＋a＋b＋1， 將a＋b＝2代入，只需要證明a2＋b2＋ab＝(a＋b)2＝4≥ab＋3，即ab≤1. 而由已知a＋b≥2，可得ab≤1成立，所以原不等式成立． 另證：因?yàn)閍，b都是正實(shí)數(shù)，所以＋≥a，＋≥b. 兩式相加得＋＋＋≥a＋b， 因?yàn)閍＋2＝2，所以－≥1. 9．設(shè)a，b，c是不全相等的正實(shí)數(shù)． 求證：lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c. 證明： 方法一：要證：lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c 只需證：lg＞lg(abc) 只需證：＞abc ∵≥＞0，≥＞0，≥＞0， ∴≥abc＞0成立． ∵a，b，c為不全等的正數(shù)，∴上式中等號(hào)不成立． ∴原不等式成立． 方法二：∵a，b，c∈{正實(shí)數(shù)}， ∴≥＞0，≥＞0，≥＞0， 又∵a，b，c為不全相等的實(shí)數(shù)， ∴＞abc， ∴l(xiāng)g＞lg(abc)， 即lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.
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