高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 64 條件概率與事件的獨(dú)立性學(xué)案 理
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第六十四課時 條件概率與事件的獨(dú)立 課前預(yù)習(xí)案 考綱要求 1.理解條件概率和兩個事件相互獨(dú)立的概念; 2.掌握n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及二項(xiàng)分布的概念; 3.掌握二項(xiàng)分布的含義,會從實(shí)際問題中抽象出二項(xiàng)分布模型. 基礎(chǔ)知識梳理 1. 條件概率及其性質(zhì) 條件概率的定義 條件概率公式 對于任何兩個事件A和B,在已知事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率叫做條件概率,用符號“ ”表示 P(B|A)= ,其中P(A)>0,A∩B稱為事件A與B的交(或積). 2. 事件的獨(dú)立性 (1)相互獨(dú)立的定義: 事件A是否發(fā)生對事件B發(fā)生的概率 ,即 ,這時,稱兩個事件A,B相互獨(dú)立,并把這兩個事件叫做相互獨(dú)立事件. (2)概率公式: 條件 公式 A,B相互獨(dú)立 P(A∩B)= A1,A2,…,An相互獨(dú)立 P(A1∩A2∩…∩An)= 3. 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 (1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn): ①定義:在 的條件下,重復(fù)地做n次試驗(yàn),各次試驗(yàn)的結(jié)果 ,那么一般就稱它們?yōu)閚次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn). ②概率公式:在一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p,則n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)= (k=0,1,2,…,n). (2)二項(xiàng)分布: 在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的次數(shù)用X表示,事件A不發(fā)生的概率為q=1-p,則n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率是P(X=k)= ,其中k=0,1,2,…,n.于是X的分布列: X 0 1 … k … n P … … 此時稱離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,記作X~ . 預(yù)習(xí)自測 1. 如圖所示的電路,有a,b,c三個開關(guān),每個開關(guān)開或關(guān)的概率都是, 且是相互獨(dú)立的,則燈泡甲亮的概率為________. 2. 某次知識競賽規(guī)則如下:在主辦方預(yù)設(shè)的5個問題中,選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題,即停止答題,晉級下一輪.假設(shè)某選手正確回答每個問題的概率都是0.8,且每個問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立,則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率為________. 3. 某一部件由三個電子元件按如圖所示方式連接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,則部件正常工作,設(shè)三個電子元件的使用壽命(單位:小時)均服從正態(tài)分布N(1 000,502),且各個元件能否正常工作相互獨(dú)立,那么該部件的使用壽命超過1 000小時的概率為________. 4. 把一枚硬幣連續(xù)拋兩次,記“第一次出現(xiàn)正面”為事件A,“第二次出現(xiàn)正面”為事件B,則P(B|A)等于 ( ) A. B. C. D. 5. 如果X~B,則使P (X=k)取最大值的k值為 ( ) A.3 B.4 C.5 D.3或4 課堂探究案 典型例題 考點(diǎn)1 條件概率 【典例1】在100件產(chǎn)品中有95件合格品,5件不合格品.現(xiàn)從中不放回地取兩次,每次任取一 件,則在第一次取到不合格品后,第二次再次取到不合格品的概率為________. 【變式1】如圖,EFGH是以O(shè)為圓心,半徑為1的圓的內(nèi)接正方形.將 一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi),用A表示事件“豆子落在正方形EFGH 內(nèi)”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”,則 (1)P(A)=________; (2)P(B|A)=________. 考點(diǎn)2 相互獨(dú)立事件的概率 【典例2】甲、乙兩個籃球運(yùn)動員互不影響地在同一位置投球,命中率分別為與p,且乙投球2 次均未命中的概率為. (1)求乙投球的命中率p; (2)求甲投球2次,至少命中1次的概率; (3)若甲、乙兩人各投球2次,求共命中2次的概率. 【變式2】紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽,甲對A、乙對B、丙對C各一盤.已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5.假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立. (1)求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率; (2)用ξ表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ). 考點(diǎn)3 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 【典例3】某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%,計(jì)算:(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第2位) (1)5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率; (2)5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確的概率; (3)5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確,且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率. 【變式3】某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會和計(jì)算機(jī)培訓(xùn),以提高下崗人員的再就業(yè)能力,每名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn),已知參加過財(cái)會培訓(xùn)的有60%,參加過計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有75%,假設(shè)每個人對培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的,且各人的選擇相互之間沒有影響. (1)任選1名下崗人員,求該人參加過培訓(xùn)的概率; (2)任選3名下崗人員,記X為3人中參加過培訓(xùn)的人數(shù),求X的分布列. 當(dāng)堂檢測 1.從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù),事件A=“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”,事件B=“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”,則P(B|A)等于 ( ) A. B. C. D. 2. 如圖,用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng).當(dāng)K正常工作且A1、A2至少有一個正常工作時,系統(tǒng)正常工作.已知K、A1、A2正常工作的概率依次為0.9、0.8、0.8,則系統(tǒng)正常工作的概率為( ) A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576 3.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽,現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲冠軍,乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍,若兩隊(duì)勝每局的概率相同,則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為( ) A. B. C. D. 4. 已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X~B(6,),則P(X=2)等于 ( ) A. B. C. D. 5. 明天上午李明要參加奧運(yùn)志愿者活動,為了準(zhǔn)時起床,他用甲、乙兩個鬧鐘叫醒自己.假設(shè)甲鬧鐘準(zhǔn)時響的概率為0.80,乙鬧鐘準(zhǔn)時響的概率是0.90,則兩個鬧鐘至少有一個準(zhǔn)時響的概率是________. 課后拓展案 A組全員必做題 1. 某種元件的使用壽命超過1年的概率為0.6,使用壽命超過2年的概率為0.3,則使用壽命超過1年的元件還能繼續(xù)使用的概率為 ( ) A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.1 2. 位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個質(zhì)點(diǎn)P按下述規(guī)則移動:質(zhì)點(diǎn)每次移動一個單位;移動的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴?,并且向上、向右移動的概率都?質(zhì)點(diǎn)P移動五次后位于點(diǎn)(2,3)的概率是( ) A.5 B.C5 C.C3 D.CC5 3. 兩個實(shí)習(xí)生每人加工一個零件,加工為一等品的概率分別為和,兩個零件是否加工為一等品相互獨(dú)立,則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為 ( ) A. B. C. D. 4. 在一段線路中并聯(lián)兩個自動控制的常用開關(guān),只要其中有一個開關(guān) 能夠閉合,線路就能正常工作.假定在某段時間內(nèi)每個開關(guān)能夠閉 合的概率都是0.7,則這段時間內(nèi)線路正常工作的概率為_______. 5. 某籃球隊(duì)員在比賽中每次罰球的命中率相同,且在兩次罰球中至多命中一次的概率為,則該隊(duì)員每次罰球的命中率為________. 6. 市場上供應(yīng)的燈泡中,甲廠產(chǎn)品占70%,乙廠產(chǎn)品占30%,甲廠產(chǎn)品的合格率是95%,乙廠產(chǎn)品的合格率是80%,則從市場上買到一個是甲廠生產(chǎn)的合格燈泡的概率是______. B組提高選做題 1.甲罐中有5個紅球,2個白球和3個黑球,乙罐中有4個紅球,3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐,分別以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球,白球和黑球的事件;再從乙罐中隨機(jī)取出一球,以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件,則下列結(jié)論中正確的是________.(寫出所有正確結(jié)論的編號) ①P(B)=; ②P(B|A1)=; ③事件B與事件A1相互獨(dú)立; ④A1,A2,A3是兩兩互斥的事件; ⑤P(B)的值不能確定,因?yàn)樗cA1,A2,A3中究竟哪一個發(fā)生有關(guān). 2.某籃球隊(duì)與其他6支籃球隊(duì)依次進(jìn)行6場比賽,每場均決出勝負(fù),設(shè)這支籃球隊(duì)與其他籃球隊(duì)比賽勝場的事件是獨(dú)立的,并且勝場的概率是. (1)求這支籃球隊(duì)首次勝場前已經(jīng)負(fù)了兩場的概率; (2)求這支籃球隊(duì)在6場比賽中恰好勝了3場的概率. 3.某公司是否對某一項(xiàng)目投資,由甲、乙、丙三位決策人投票決定,他們?nèi)硕加小巴狻薄ⅰ爸辛ⅰ?、“反對”三類票各一張,投票時,每人必須且只能投一張票,每人投三類票中的任何一類票的概率都為,他們的投票相互沒有影響,規(guī)定:若投票結(jié)果中至少有兩張“同意”票,則決定對該項(xiàng)目投資;否則,放棄對該項(xiàng)目的投資. (1)求該公司決定對該項(xiàng)目投資的概率; (2)求該公司放棄對該項(xiàng)目投資且投票結(jié)果中最多有一張“中立”票的概率. 參考答案 預(yù)習(xí)自測 1. 【答案】 【解析】理解事件之間的關(guān)系,設(shè)“a閉合”為事件A,“b閉合”為事件B,“c閉合”為事件C,則燈亮應(yīng)為事件AC,且A,C,之間彼此獨(dú)立,且P(A)=P()=P(C)=. 所以P(AC)=P(A)P()P(C)=. 2.【答案】0.128 【解析】依題意可知,該選手的第二個問題必答錯,第三、四個問題必答對,故該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率P=10.20.80.8=0.128. 3.【答案】 【解析】設(shè)元件1,2,3的使用壽命超過1 000小時的事件分別記為A,B,C,顯然P(A)=P(B)=P(C)=, ∴該部件的使用壽命超過1 000小時的事件為(++AB)C, ∴該部件的使用壽命超過1 000小時的概率 P==. 4. 【答案】 A 【解析】 P(B|A)===. 5. 【答案】 D 【解析】 ∵P(X=3)=C312,P(X=4)=C411, P(X=5)=C510,從而易知P(X=3)=P(X=4)>P(X=5). 典型例題 【典例1】【答案】 【解析】方法一 設(shè)A={第一次取到不合格品},B={第二次取到不合格品},則P(AB)=, 所以P(B|A)===. 方法二 第一次取到不合格品后還剩余99件產(chǎn)品,其中有4件不合格品, 故第二次取到不合格品的概率為. 【變式1】【答案】(1);(2) 【解析】(1)由題意可得,事件A發(fā)生的概率 P(A)===. (2)事件AB表示“豆子落在△EOH內(nèi)”, 則P(AB)===. 故P(B|A)===. 【典例2】【解】 (1)方法一 設(shè)“甲投一次球命中”為事件A,“乙投一次球命中”為事件B. 由題意得[1-P(B)]2=(1-p)2=, 解得p=或p=(舍去), 所以乙投球的命中率為. 方法二 設(shè)“甲投一次球命中”為事件A,“乙投一次球命中”為事件B. 由題意得:P()P()=, 于是P()=或P()=-(舍去). 故p=1-P()=. 所以乙投球的命中率為. (2)方法一 由題設(shè)知,P(A)=,P()=. 故甲投球2次,至少命中1次的概率為 1-P()=. 方法二 由題設(shè)知,P(A)=,P()=. 故甲投球2次,至少命中1次的概率為 CP(A)P ()+P(A)P(A)=. (3)由題設(shè)和(1)知, P(A)=,P()=,P(B)=,P()=. 甲、乙兩人各投球2次,共命中2次有三種情況:甲、乙兩人各中一次;甲中2次,乙2次均不中;甲2次均不中,乙中2次. 概率分別為CP(A)P()CP(B)P()=, P(A)P (A)P()P()=, P()P()P(B)P(B)=. 所以甲、乙兩人各投球2次,共命中2次的概率為 ++=. 【變式2】解 (1)設(shè)甲勝A的事件為D,乙勝B的事件為E,丙勝C的事件為F,則,,分別表示甲不勝A,乙不勝B,丙不勝C的事件. 因?yàn)镻(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5, 由對立事件的概率公式知P()=0.4,P()=0.5, P()=0.5. 紅隊(duì)至少兩人獲勝的事件有DE,DF,EF,DEF. 由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立, 因此紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率為 P=P(DE)+P(DF)+P(EF)+P(DEF) =0.60.50.5+0.60.50.5+0.40.50.5+0.60.50.5=0.55. (2)由題意知ξ可能的取值為0,1,2,3. 又由(1)知 F,E,D 是兩兩互斥事件,且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立, 因此P(ξ=0)=P( )=0.40.50.5=0.1, P(ξ=1)=P( F)+P(E)+P(D ) =0.40.50.5+0.40.50.5+0.60.50.5 =0.35, P(ξ=3)=P(DEF)=0.60.50.5=0.15. 由對立事件的概率公式得 P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=0.4. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 0.1 0.35 0.4 0.15 因此E(ξ)=00.1+10.35+20.4+30.15=1.6. 【典例3】解 令X表示5次預(yù)報(bào)中預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的次數(shù),則X~B,故其分布列為P(X=k)=Ck5-k(k=0,1,2,3,4,5). (1)“5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確”的概率為P(X=2)=C23=10≈0.05. (2)“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的概率為P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-C05-C4=1-0.000 32-0.006 4≈0.99. (3)“5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確,且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確”的概率為C3≈0.02. 【變式3】解 (1)任選1名下崗人員,記“該人參加過財(cái)會培訓(xùn)”為事件A,“該人參加過計(jì)算機(jī)培訓(xùn)”為事件B,由題設(shè)知,事件A與B相互獨(dú)立,且P(A)=0.6,P(B)=0.75. 所以,該下崗人員沒有參加過培訓(xùn)的概率是 P( )=P()P()=(1-0.6)(1-0.75)=0.1. ∴該人參加過培訓(xùn)的概率為1-0.1=0.9. (2)因?yàn)槊總€人的選擇是相互獨(dú)立的,所以3人中參加過培訓(xùn)的人數(shù)X服從二項(xiàng)分布X~B(3,0.9), P(X=k)=C0.9k0.13-k,k=0,1,2,3, ∴X的分布列是 X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 當(dāng)堂檢測 1.【答案】B 【解析】P(A)==,P(AB)==, P(B|A)==. 2. 【答案】B 【解析】 方法一 由題意知K,A1,A2正常工作的概率分別為P(K)=0.9,P(A1)=0.8,P(A2)=0.8, ∵K,A1,A2相互獨(dú)立, ∴A1,A2至少有一個正常工作的概率為P(A2)+P(A12)+P(A1A2)=(1-0.8)0.8+0.8(1-0.8)+0.80.8=0.96. ∴系統(tǒng)正常工作的概率為P(K)[P(A2)+P(A12)+P(A1A2)]=0.90.96=0.864. 方法二 A1,A2至少有一個正常工作的概率為1-P(1 2)=1-(1-0.8)(1-0.8)=0.96,∴系統(tǒng)正常工作的概率為P(K)[1-P(1 2)]=0.90.96=0.864. 3【答案】D 【解析】甲隊(duì)若要獲得冠軍,有兩種情況,可以直接勝一局,獲得冠軍,概率為,也可以乙隊(duì)先勝一局,甲隊(duì)再勝一局,概率為=,故甲隊(duì)獲得冠軍的概率為+=. 4.【答案】 D 【解析】 P(X=2)=C(24=. 5.【答案】 0.98 【解析】 1-(1-0.80)(1-0.90)=1-0.02=0.98. A組全員必做題 1. 【答案】 B 【解析】 設(shè)事件A為“該元件的使用壽命超過1年”,B為“該元件的使用壽命超過2年”,則P(A)=0.6,P(B)=0.3. 因?yàn)锽?A,所以P(AB)=P(B)=0.3,于是P(B|A)===0.5. 2.【答案】 B 3.【答案】B 【解析】設(shè)事件A:甲實(shí)習(xí)生加工的零件為一等品; 事件B:乙實(shí)習(xí)生加工的零件為一等品, 則P(A)=,P(B)=, 所以這兩個零件中恰有一個一等品的概率為 P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B) =+=. 4. 【答案】 0.91 【解析】線路不能正常工作的概率為P( )=P()P()=(1-0.7)(1-0.7)=0.09. ∴能夠正常工作的概率為1-0.09=0.91. 5.【答案】 【解析】 設(shè)該隊(duì)員每次罰球的命中率為p(其中0
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