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基于路徑幾何約束的高效機械手控制算法
Kang G. Shin and Neil D. McKay
Department of Electrical and Computer Engineering
The University of Michigan
Ann Arbor， Michigan 48109
摘要：傳統(tǒng)上，機械手控制運算法則被區(qū)分為兩級，即路徑規(guī)劃和路徑跟蹤（或路徑控制）。這種劃分方法已經(jīng)被主要地應用于減輕復雜連結(jié)的機械手動力學。不幸的是，這種簡單的劃分方法是以犧牲機械手的工作效率為代價的。
為了改善這種低效率的情況，本文認為要使機械手在最短時間內(nèi)沿著一條指定的幾何路徑移動受到輸入扭矩/扭力的限制。我們首先采用幾何學路徑約束引入避免碰撞和操作需求的變量函數(shù)來描述機械手動力要求，然后將輸入扭矩/扭力的限制參數(shù)轉(zhuǎn)變成這些變量。最后最短時間的求解就可用相平面技術進行推導運算求解。
1、前言
在過去的幾年人們主要關注于工業(yè)自動化技術，尤其是使用通用機器人技術。由于工業(yè)機器人的目的是為了提高生產(chǎn)力，如何使每1美元的機器人控制投入獲得盡可能多的效益成為越來越突出的問題。通常固定成本在生產(chǎn)項目成本中占主導地位，所以人們總希望在給定的時間中生產(chǎn)盡可能多的產(chǎn)品。
有多種算法可用于最短時間或接近最短時間機械手控制運算。這些算法通常劃分為兩個層次。第一個層次是所謂的路徑規(guī)劃，第二個層次是所謂的路徑跟蹤或路徑控制。通常路徑控制的定義是企圖實現(xiàn)讓機器人的實際位置和速度匹配理想的位置和速度。這種控制用控制器來實現(xiàn)?？刂破鹘邮丈弦淮斡嬎愕睦硐胛恢弥蹬c速度值進行路徑位置描述，然后通過路徑跟蹤系統(tǒng)跟蹤機械手實際位置和速度得到運動偏差。
這樣分開控制方案是基于機械手控制程序，如果把控制作為一個整體考慮將會非常復雜，由于幾乎最簡單的機械手的動力學之后是高度地非線性甚至更復雜。把控制分為兩部分來分別處理使得整個控制過程變得簡單。路徑追蹤通常是一個線性的控制算法，機械手動力學的非線性在這一個水平時常不被考慮，如此的追蹤控制通常能得到需要的軌道并使機械手運動與實際要求保持非常接近。使得精密加工得以實現(xiàn)，例如解析運動速度控制（參考文獻[1] ） ，突然的加速度控制（參考文獻[2] ）， 及斷續(xù)速度變化控制（參考文獻[3]-[5] ）。
不幸的是，單純地劃分為路徑規(guī)劃和路徑追蹤是以犧牲效率為代價的。效率低下的根源是路徑規(guī)劃，為了提高機械手的效率，路徑規(guī)劃時必須了解該機器人的動態(tài)特性，以及準確的動態(tài)模型。然而，規(guī)劃運算法則的大部份的路徑計算只與數(shù)據(jù)計算有關，有關機械手的動力學計算非常少。通常假定機械手的速度和加速度為恒定或按一定規(guī)律變化的（參考文獻[6，7]），并具有一定的區(qū)域邊界約束。事實上，這些約束因位置，負載大小，甚至隨有效載荷面積而改變。因此為了使邊界約束為有效的恒定值，速度面積法的邊界取值必須是速度和加速度的整體最低值；換句話說，對于最壞情況的限制必須有效。由于機械手關節(jié)處的轉(zhuǎn)動慣量加速度有限制，可能被三個或更多的條件所約束，這些多出的約束造成機械手的效率低下。
為了提高效率，本文提出了一種依據(jù)幾何路徑和輸入扭矩/扭力上的最短時間機械手路徑控制解決方案，方案以路徑運算法則的方式加入機械手動力學運算。
路徑規(guī)劃輸出真實的最短時間，作為其它可被測量的路徑規(guī)劃的測量標準。
注意，本文提到的問題和解決辦法與參考文獻 [8，9] 中的接近最短時間控制理論不同。
本文分為五個部分分別論述，第二部分描述了使機械手輸入扭矩的動態(tài)約束方程更易于處理和控制的方法；第三部分考慮公式化－時間控制的細節(jié)問題；第四部分用狀態(tài)－平面的技術求解最優(yōu)解；第五部分是本文亮點，推導產(chǎn)生最佳的運動軌跡的運算法則；最后部分是該方法則使用意義討論。
2、機器人動力學與約束
在進行最短時間控制問題研究前，先考慮對系統(tǒng)的行為進行控制，即機器人的手臂動力學模型。有多種方法獲得的機器人臂的動力學方程，即方程中有關位置處的綜合力和扭矩，速度扭矩和加速度。最常使用的兩種方法是拉格朗日和牛頓、歐拉公式。牛頓、歐拉公式雖然計算效率高，但卻很難用于控制問題的遞推計算。拉格朗日雖然計算效率不高，但確實產(chǎn)生一組非常適用于機械手控制問題的微分方程式。在這里動力方程僅用于獲得分析結(jié)果，我們使用拉格朗日的方法得出以下機械手動力學方程(參考文獻[12，13])。
qi=vi (1a)
ui=Jijqvj+Rijvj+Cijkqvjvk+Giq (1b)
式中
qi=ith 廣義坐標
vi=ith 廣義速度
ui=ith 廣義力
Jij= 慣性矩陣
Gi = 在 ith 加上重力的力
Cijk= 科氏陣列
Rij= 粘性摩擦矩陣
愛因斯坦求和約束的使用使所有指數(shù)從1到n包含在n自由度機器人中。
慣性矩陣Jij的比例常數(shù)是施加于ith的總的扭矩/扭力與Jij上的總加速度?？评飱W利數(shù)列描述了結(jié)合 j 和 k 的速度進入Cijk的力。粘性摩擦矩陣R給出由于速度 j 產(chǎn)生的 i 而受到的摩擦力。注意這個矩陣為對角矩陣，所有輸入數(shù)值無負值。
機器人的手臂運動當然不會完全不受約束。事實上，在關節(jié)處機器人手臂必須限制在一個固定的空間運動，且運動軌跡為給定的參數(shù)化曲線。曲線被由參數(shù) λ 的n個函數(shù)集決定，所以我們有
qi=fiλ ， 0≤λ≤λmax (2)
其中λ為理想軌跡的一個參數(shù)，當λ從 0 到λmax變化時坐標 qi 也連續(xù)地變化且路徑不重復，即λ0=0 ，λtf=λmax .
應當指出，在實際空間的運動軌跡是建立在笛卡爾坐標上。一般很難把曲線從笛卡爾坐標完全轉(zhuǎn)換到機械臂關節(jié)空間坐標中，相對地執(zhí)行單個點的轉(zhuǎn)換卻很容易。在笛卡爾的路徑上拾足夠多的點進行坐標變換，利用插值法技術 （例如 三次樣條函數(shù)）獲得機械臂關節(jié)空間的一個相似的軌跡。（見［10］為一個例子）
回到之前的問題，我們用時間來區(qū)分參數(shù)化的qi 得到
其中μ =λ 運動方程沿著曲線（Le．幾何學的路徑）變成
注意，如果λ表示沿著路徑的弧長，那么μ和μ分別表示沿著路徑的速度和加速度。
基于這種參數(shù)化有兩個狀態(tài)變量，即λ和μ，但有（n + 1）個方程。選擇方程λ=μ和剩余方程序之一為狀態(tài)方程，其他方程作為輸入 μ 的約束。將ith乘以dfi(λ)dλ 就可以從給出的n個方程中得到一個狀態(tài)方程
這個公式有個明顯的優(yōu)點，在約束函數(shù)導出的向量中參數(shù)μ是二次的，當一階導數(shù)存在時曲線可以進行參數(shù)化，且慣性矩正定，整個的方程能被正的、非零的參數(shù)μ分開，由λ和μ得到μ的一個解。現(xiàn)在得到二個狀態(tài)方程，而最初的n個方程則由輸入和 μ 約束（關于這方面將在后面討論）。
通過變換，狀態(tài)方程變?yōu)?
現(xiàn)在考慮由|ui|≤umaxi和公式（4a）限制的約束，動態(tài)方程（4a）可以寫成這樣的形式：ui=gi(λ)u+hi(λ，μ). 對于一個給定的狀態(tài)，也就是給定的 h 和，u，這是一個參數(shù)p的一組線性參數(shù)方程，約束存在于輸入變化區(qū)間及因輸入變化形成的約束矩陣中。因此把矩陣約束在u上，通過方程參數(shù)使輸入扭矩/扭力變化的所有位置、速度在路徑上彼此限制，給出初始的(λ，μ）及u的大小，如果知道機械手關節(jié)處的輸入扭矩、扭力這樣就能用數(shù)的處理來代替n個矢量的處理進而得到一系列的約束（路徑狀態(tài)方程）。
因為性能完全由u決定，我們用-umaxi≤ui≤+umaxi于是有：
簡化：
于是得到：
注意：前面的方程都是λ的函數(shù)，為了簡化計算，功能的依賴性在下面的計算不再指出。
給出的控制不等式：
另一種格式：
LBi≤u≤UBi，這些參數(shù)由n決定，u滿足：maxLBi≤u≤minUBi 或者
GLB(λ，μ)≤u≤LUB(λ，μ) （7e）
路徑計劃要呈現(xiàn)的運算法則與之前依照慣例得到方程的不同，可知參數(shù)λ 是笛卡爾的空間的弧長，μ是速度，μ是幾何加速度。傳統(tǒng)路徑規(guī)劃把加速度劃分為幾個常數(shù)間隔，于是：
GLB(λ，μ)≤umin≤u≤umax≤LUB(λ，μ)
式中umin 和 umax是常數(shù)。傳統(tǒng)方法把加速度進行了過多的約束，使速度也有過多的約束。
3、最佳控制問題的公式化
現(xiàn)在我們得到根據(jù)幾何路徑和輸入系統(tǒng)規(guī)定參數(shù)的機械手動力方程，就可以分析實際控制問題了。機械手控制的目的是以最小的輸入得到最大的動力輸出，這可以用最佳控制語言來描述，常用的方法使龐特里亞金最大值原理[11]。最大值問題即點的連接問題，除了一些簡單的點不能使用閉環(huán)控制，而且很難以數(shù)字的方式解決。我們使用最大值原理獲得加工質(zhì)量而不僅僅是獲得方程的解，這個解將用于之后的最小時間求解。
考慮實際情況，最低成本即最短加工時間，就是求機械手運動最大速度，可以表示為：
C=0tf l ? dt (8)
這里tf由電子激光器決定，價值函數(shù)C必須服從下面給出的3個約束：機械手的動力微分方程約束（即式（6a），(6b)）;輸入量要求，關節(jié)驅(qū)動器輸入扭矩允許范圍要求（即|ui|≤umaxi）；第三個參數(shù)是空間參數(shù)設置，機械手運動到達指定工位不能與如何物體相碰。假定理想的幾何方程已經(jīng)把最小時間控制參數(shù)化，就像之前希望的（即等式（3）），但最初的點為λ=0，結(jié)束點為λ=λmax且dfidλ存在，這樣保證（6a），（6b）存在，同時當λ從0到λmax方程是單調(diào)的。把這些代入動力方程，我們得到如下的最短時間方程（簡稱MTPP）。
MTPP：求出x0=λ0，μ0和ui0 通過將式（8）代入（6a），(6b)， |ui|≤umaxi ，及邊界條件
μ0=μ0 , μtf=μf (9a)
λ0=0 , λtf=λmax (9b)
3.1、最大原則的應用
為了使0≤λ≤λmax需要增加一個第三個狀態(tài)方程，第三狀態(tài)v，并要求：
v=λ2l-λ+λmax-λ2lλ-λmax (10)
其中：lx=1 (x≥0) 0 (x<0)
v≥0要求邊界約束v0=vtf=0這樣v無限接近0，當λ在0≤λ≤λmax中間隔取值使v無限接近0。
在對狀態(tài)方程進行變化前，先定義函數(shù)：
這樣就可以簡化公式，得到：
區(qū)間M表示機械手功能的二次形式，如果把參數(shù)qi加入到動能方程，得到K=Mμ2/2 ；Q表示科里奧利的組成和沿著路勁加上參數(shù)化的地心引力；區(qū)間R表示摩擦力，S給出沿著路勁的地心引力，U表示輸入重力區(qū)間。
之前的MTPP可以這樣變化
將（8）代入（11a），(11b)，(11c)，(7d)，(9a)，(9b)求y0=λ0，μ0，v0和U0的極小值，通過MTPP變換哈米爾頓函數(shù)變?yōu)椋?
或使用前面的替換得到哈米爾頓函數(shù)
對μ求導，
對λ求導，
最后對v求導，
應用最大值原理，我們需求出H在（12b）中的最小值，聯(lián)合各式（11a），(11b)，(11c)，(9a)及（7b），且H必須滿足邊界條件。
這里y是矢量（λ，μ，v）的狀態(tài)向量，我們得到一個簡單的輸入?yún)^(qū)間
在式（14）中知道H不明確依賴t，也可以看作 是由約束（9）和vtf=0得到。
注：哈米爾頓函數(shù)（12b）在U上線性，且由于ui和dfidλ在[0，λmax]有界使得U有界，這就要求U的最優(yōu)解必須滿足繼電氣控制邏輯，
在最優(yōu)軌跡上任意點的式（12b）中U的解是U的最大或最小值，通過對ui求導得到U的極值，關于ui的等式約束為ui=gi(λ)μ+ hi (λ，μ)，得到
由于U的繼電器控制和給定的參數(shù)（λ，μ）U的大小線性地跟隨μ，μ也必須滿足繼電氣控制邏輯。因此μ等于GLB(λ，μ)或LUB(λ，μ)。再考慮三維空間，μ作用于不均等加工時輸入等式約束線上一點，如果 i－th 的聯(lián)合輸入在約束的一邊慢慢趨近于最大值，將推使機械手向正方向推動。
無論輸入的系數(shù)是否為零以上的推論都成立，即p2在（13a）中不為0。如果p2只在孤立的點處為0，則得到各處的最佳控制。另一方面，如果p2在某些區(qū)間內(nèi)為0，我們有下列的定理。
定理1：如果p2在區(qū)間[t1，t2] (t1
S0>Umin(0) 則p2(0)<0，p2(tf)>0 ;
證明：已知0≤λ≤λmax則當t=tf有μ≤0，又μtf=0，則當tλmax。但在tf處μtf=M-1U-S<0，又M>0于是U-S<0，在時間tf時H的值為0，則
如果p2(tf)≤0，那么Htf>0，矛盾，故有p2(tf)>0；
確定p2(0)的符號及μ（0）的大小，同理可得μ0>0 ，則U-S>0，使用繼電器控制于是有U=Umax否則 U=Umin且Umin-S<0，但如果U=Umax則p2<0，于是p2(0)<0.
這些理論的一個重要原則是開關點個數(shù)為奇數(shù)，如果開關點個數(shù)為偶數(shù)，p2(tf)的符號將和p2(0)的符號相同，則sinp2tf=（-1）msin( p20)其中m為符號變化次數(shù)。
4、相平面解釋
在相位平面中審查系統(tǒng)行為，相位平面軌跡的方程由方程（11 b ）及（11 a）獲得
有趣的是整個時間T從開始到結(jié)束可以寫為
然后將得到給定的整體最小參數(shù)，這就希望μ越大越好。
參數(shù)μ有兩個影響因數(shù)：運動軌跡的斜率和μ值的大小。用μ除以μ得到dμdλ=μμ ；為了得到μ就必須考慮μ的范圍，通過λ和μ的特征值，我們有LUB(λ，μ)< GLB(λ，μ)， μ不存在允許值。對于λ的每個值，對應一個由不等式UBi(λ，μ)- LBi (λ，μ)≥0決定的μ值。對于所有的i，j不等式UBi(λ，μ)- LBi (λ，μ)≥0都成立。不等式?jīng)Q定的區(qū)間重合處相平面的軌跡不能丟失，這一區(qū)域?qū)鳛閕和j不等式最大、最小相位檢測區(qū)，即
對不等式進行變化
或
除以Mi?Mj
左邊是關于μ的二次方程，如果對于所有的i，Si≤umaxi成立，則μ=0時上面的不等式成立，就能從二次方式中得到μ的邊界值。
引入簡化方程：
不要把Cij和C或Cijk弄混了，于是不等式簡化為：
Aijμ2+Bijμ+Cij+Dij≥0 (17b)
注：由定義Aij=-Aji，Bij=-Bji，Cij=-Cji，Dij=-Dji，對于所有的i和j能被互相交換、對稱或者系數(shù)的反對稱，得到不等式
-Aijμ2-Bijμ+Cij-Dij≥0 (17c)
當i≠j時，有n(n-1)/2對方程，n為機械手自由度數(shù)。
5、最佳軌跡確定
為了說明我們先找出一個無摩擦機械手最優(yōu)軌跡的運算法則，運算法則包含普通情況，在零磨擦情況，我們有n（n -1)/2 個關于μ的解，每一個解都是關于μ=0對稱的。在相平面內(nèi)沒有需要避開的孤島，唯一的限制是 μ由一對連續(xù)的曲線軌跡分段連續(xù)導出。最佳的軌跡能構(gòu)建在叫做構(gòu)建無摩擦最優(yōu)軌跡運算法則（簡稱ACOTNF）。
第一步：從λ=0，μ=μ0構(gòu)建具有最大加速度值的軌跡，延長這一曲線直到它在相平面內(nèi)穿越過可行域或越過λ=λmax，注意“離開可行域 " 暗示如果軌道的一部份碰巧與可行域接口的一個斷面重合，那么軌跡應該沿著接口被延長，直到碰觸到可行域的邊緣，否則軌跡將不連續(xù)。
第二步：從λ=λmax，μ=μf 轉(zhuǎn)折點建立第二個曲線軌跡，它是一個減速曲線。這一個曲線應該被延長，直到它離開可行域或越過λ=0。
第三步：這兩個曲線交點即轉(zhuǎn)折點，從λ=0到轉(zhuǎn)折點的第一條曲線和從轉(zhuǎn)折點到λ=λmax的第二條曲線組成運動的最佳軌跡。運算法則到此次結(jié)束。
第四步：如果兩條曲線在區(qū)域內(nèi)不相交，那么它們一定離開可行域，稱加速度離開可行域的點為λ1，這是可行域邊界曲線上的一個點。如果邊界曲線由μ=g(λ)給出，從λ1處沿著曲線搜索，直到找到點使 dμdλ=dgdλ 。這個點作為下一個轉(zhuǎn)換點，記為λd。
第五步：從λd向后建立一個減速曲線，直到它與加速曲線相交，這樣得到另一個轉(zhuǎn)折點。
第六步：從λd建立一個加速曲線，延長曲線直到它與減速曲線相交或者離開可行域。如果它與減速曲線相交，那么得到另一個轉(zhuǎn)折點。如果曲線離開可行域，那么重新計算第四步。
這個運算法則依次交替加速減速計算給出最佳的運動軌跡，在討論軌道的最優(yōu)性之前，必須保證ACOTNF 的所有階段是可行的而且 ACOTNF 會結(jié)束。
回到最初的問題，步驟1、2、3、5、6明確可行，但是第4步要求找到函數(shù)的0點。在給定的狀態(tài)之下，函數(shù)至少存在一個零點嗎？回答是的，可由下證明：
注意，在λ=λ1處 ，曲線軌跡從可行域溢出。
同樣地，在點λ=λ2 處減速曲線在可行域外經(jīng)過，軌跡一定穿過內(nèi)部。如果在這些點處可行域的邊界曲線的斜率連續(xù)，那么我們有
g(λ)是可行域邊界方程，dμdλ=dg（λ）dλ的值必須在λ1和λ2之間變化。如果 g（λ ）在這一范圍內(nèi)連續(xù)，那么至少存在一個零點。然而， g（ λ ）只是大體上分段地可見，所以可能導出不連續(xù)的點，這種情況有可能「零點不存在」，事實上零點總是存在的，我們通過下列的定理證明。
定理3a：左導數(shù)使?λ=dμdλ-dg（λ）dλ，如果?λ1>0且?λ2<0，則?λ在區(qū)間[λ1，λ2]至少存在一個零點。
證明：如果g（ λ ）的微分在區(qū)間[λ1，λ2]連續(xù)，那么一定存在一個零點。如果g（ λ ）不連續(xù)，假設不存在零點，則在g（ λ ）溢出區(qū)間存在一個或更多的點，符號變化發(fā)生于這一個或更多的這些點。
如果不是這樣，那么在g（ λ ）存在一個符號變化的點使g（ λ ）微分連續(xù)，而且因此會有一個零點。兩個限制參數(shù)記為g1，g2;g1作用于λ<λd，g2作用于λ>λd，由limλ>0>limφλ有
對于ε>0我們有代入約束，由g（ λ ）=min gi（ λ ）得g1 λd+ε λdi的約束解，和假設矛盾。這樣至少存在一個點使?λ為零。這一個定理的圖解意義在圖 7 說明。從圖中看出， g（ λ ）一定超出區(qū)域，且?λ是分段連續(xù)的，曲線向上跳躍。證明完畢。
為了要證明ACOTNF 結(jié)束，我們對函數(shù)fi(λ) 進行一些假設 ，假設fi可分段求解且由有限個不含實際價值的數(shù)組成。非正式地，因為慣性矩陣，科里奧利數(shù)列，重力加速度等是全局解析函數(shù)，而且自從路徑被限制之后是分段求解的，我們已經(jīng)處理的所有函數(shù)也是分段求解的，函數(shù)?λ也是分段求解的，于是將會因此在每個區(qū)域中產(chǎn)生一個零點或有限個零點。如果?λ間隔地為0，軌跡將沿著邊界停止在間隔結(jié)束的地方，相同的零間隔不會引起問題。只有間隔的最右面點可能是一個交換點，因此只有如此有限的間隔會引起ACOTNF 有限的反復。如此收斂被保證，因此有限數(shù)目的解域我們有下列的定理：
定理3b：如果函數(shù)fi有有限個實際價值解，那么函數(shù)?λ存在一定數(shù)量的間隔結(jié)束于區(qū)域外的零。
證明：慣性矩陣，科里奧利陣列，重力加速度在 qi 中分段解，fiλ在λ處的解等等作為λ函數(shù)（就像公式（4a）和(4b)）的分段解或有限的單解。公式（7b）中的M，Q，R，S也是單個的解。一個在有限區(qū)間內(nèi)沒有奇點的實際價值的解析函數(shù)，一定存在有限個零點或同一零點，工程量M必須在區(qū)間內(nèi)為零。如果假設
我們可以得到所有的Mi零點。如果其中一個Mi不為零，就不存在邊界曲線，就沒有零點。只要有兩個或更多不為零的點，就可得到邊界曲線。坐標i，j代入式(17b)(用=代替≥)得到曲線，式（17b）中系數(shù)A，B，C，D排除在Mi中的零之外，由于Mi存在零點，考慮用Mi中的零點進行區(qū)間分割。在每個小區(qū)間內(nèi)，只有一個（17b）方程有效。在區(qū)間內(nèi)μ是λ的一個解，邊界曲線g（ λ ）是特解，?λ也是特解且在每個區(qū)間內(nèi)存在一個或數(shù)個零點。由于?λ在區(qū)間內(nèi)存在一個或數(shù)個零點，因此區(qū)間個數(shù)是有限的，且結(jié)束于區(qū)域外的零。證明完畢。
定理4：由ACOTNF產(chǎn)生的任何軌跡在最短時間控制上是最優(yōu)的。
證明：該定理的證明是直接證明。假設一個軌跡比由ACOTNF算法產(chǎn)生的軌跡有更小的運動時間。由等式（8）可知，必然存在λ使新軌跡上的點（λ，μ’）高于ACOTNF軌跡上的點（λ，μ），即μ’>μ。否則，就不存在一個運動時間更短的軌跡。我們根據(jù)最大原則分析可知解不唯一，即存在數(shù)條最大加減速曲線，所以我們只能應用那些不確定的軌跡?，F(xiàn)在有四種可能，（λ，μ’）可能位于ACOTNF軌跡初始的加速段，也可能位于最后的減速段，也有可能位于其他的加速或減速軌跡上。在第一種情況下，新軌跡的初始值必須大于ACOTNF的初始值。否則，新的軌跡必須在某些點上具有比ACOTNF更大的加速度，而這是不可能的，因為ACOTNF軌跡擁有可允許的最大加速度。新軌跡因此就可能達到合適的臨界條件。第二種情況與之類似。因為（λ，μ’）點在ACOTNF軌跡上，新軌跡必須比擁有最大的減速度的ACOTNF軌跡減速更快才能達到相同的臨界條件。這也是不可能的，因為ACOTNF使用最大的減速度。在第三種情況下，（λ，μ’）在其他的加速軌跡上，在這種情況下，通向（λ，μ’）點的軌跡必須移出可行域的邊界。否則，這些軌跡必須通過ACOTNF軌跡的加速階段，因為它們通過邊界上的一個點。新軌跡在該相交點的加速度將大于ACOTNF的軌跡，同樣，這也是不可能的。最后一種情況與前者類似。從（λ，μ’）出發(fā)的加速或者減速軌跡必須要么與可行域的邊界相交，要么比ACOTNF減速軌跡減速快，因此，無解。證明完畢。
這種產(chǎn)生最優(yōu)軌跡的方法可以在相位平面內(nèi)任何有可行域的情況下工作，而不只是無摩擦的情況?；舅枷胧菬o限接近可行域的邊緣而不超出它。因此軌跡僅僅是沒有接觸到非可行域。在實際中這當然會很危險，因為控制系統(tǒng)輸入和測試系統(tǒng)參數(shù)的小錯誤都將很可能使機器人偏離預定的軌跡。然而從理論上說，這個軌跡是最節(jié)約時間的。
我們現(xiàn)在考慮一般的情況，即摩擦力足以使相位平面產(chǎn)生孤島。在這種情況下，該算法必須用一種超微不同的形式來展現(xiàn)。因為存在數(shù)條邊界曲線而不是一個，不可能像ACOTNF中做的那樣只研究零點的一個函數(shù)。因此我們不再在算法過程中尋找零點，而是一次性的全找出來。然后建立沒有邊界的軌跡，不管這些邊界是可行域的邊緣還是孤島的邊緣。合適的軌跡可以通過搜索結(jié)果曲線圖找到——一直選擇盡可能高的軌跡，有必要的話回溯。更正式的，最優(yōu)軌跡建立算法是：
第一步：建立初始的加速軌跡。（與ACOTNF相同）
第二步：建立最終的減速軌跡。（與ACOTNF相同）
第三步：計算可行域邊線和所有的孤島邊線的函數(shù)?（λ）。在每一個零點，建立一個以零點為轉(zhuǎn)換點的軌跡，就像ACOTNF的第五步和第六步。轉(zhuǎn)換方向（加速到減速或者反過來）應該以不使軌跡離開可行域為準來選擇。延長每條軌跡，使它或者離開可行域或者通過λmax.
第四步:找到軌跡的所有交點。這是潛在的轉(zhuǎn)換點。
第五步：從λ=0，μ=μC穿過網(wǎng)格，這些網(wǎng)格是由從起始點到終點的最高的軌跡形成的。這在下面的網(wǎng)格穿越算法中有介紹。
穿越有上面的第三步和第四步產(chǎn)生的軌跡形成的網(wǎng)格是對曲線圖的一個搜索，目的是要找到最終的減速軌跡。如果設想一個人沿著這些軌跡搜索這些網(wǎng)格，那么如果這可能的話他就會一直左轉(zhuǎn)。如果一個轉(zhuǎn)向引向了死角，那么就有必要回溯，然后就向右轉(zhuǎn)了。整個過程是遞歸的，就像瀏覽樹狀圖的過程一樣。
算法包含兩個過程，一個是搜索加速曲線，另一個搜索減速曲線。算法是：
加速搜索：在當前的（加速）軌跡上，找到最后一個轉(zhuǎn)換點。在這一點，當前的軌跡到達一個減速軌跡。如果那條曲線是最終的減速軌跡，那么現(xiàn)在考慮的轉(zhuǎn)換點就是最終的最優(yōu)軌跡的一個轉(zhuǎn)換點。否則，從當前的轉(zhuǎn)換點開始進行減速搜索。如果減速搜索成功，那么當前的點就是最優(yōu)軌跡的一個轉(zhuǎn)換點。否則，沿當前的加速曲線回到前一個轉(zhuǎn)換點，重復這個過程。
減速搜索：在當前的（減速）軌跡，找到第一個轉(zhuǎn)換點。從該點開始應用加速搜索。如果成功，那么當前的點就是一個最優(yōu)軌跡的轉(zhuǎn)換點，則前移至下一個轉(zhuǎn)換點并重復這個過程。
這兩個算法一直是首先尋找速度最高的曲線，因為加速搜索總是從加速曲線的末端開始，而減速搜索總是從減速曲線的開端開始。因此算法找到（如果有可能）速度最快的軌跡，因此搜索時間最短。
這個算法的最優(yōu)性和一致性的證明實質(zhì)上與ACOTNF是一樣的，這里不再重復。注意在ACOTNF的一致性證明中，在零摩擦情況下只存在一條邊界曲線的事實沒有用到；因此同樣的證明也適用于高摩擦條件下。
6.討論和總結(jié)
在這篇文章里，我們展示了一種獲得在提供理想的幾何軌跡和輸入扭轉(zhuǎn)約束力的條件下機械手運動最小時間控制軌跡的方法。
就像前面提出的，最優(yōu)軌跡可能接觸到可行域的邊界，產(chǎn)生相當危險的情況。但是，如果在計算中使用略微保守的扭轉(zhuǎn)約束值，那么實際的可行域就會略微大于計算可行域，留出失誤的空間。
在高摩擦和低摩擦情況下的算法都已經(jīng)展示了。在這兩種情況下，算法產(chǎn)生“僅僅丟失”非可行域的軌跡，不管丟失的非可行域部分是一個孤島還是有較高的速度限制形成的域。
假設機器人的輸入轉(zhuǎn)矩被約束，我們得到一個測試機器人沿給定的空間路徑運動的最小時間開環(huán)控制的算法。但是，對不同的輸入?yún)?shù)也應該可能獲得解。因為該算法產(chǎn)生真正的最小時間解，而不是一個近似值，所以該算法的結(jié)果能夠為其他的路徑設計算法提供一個絕對的測量參考。
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附圖：
附件2
外文資料