同濟(jì)第六版《高等數(shù)學(xué)》教案WORD版-第11章 無(wú)窮級(jí)數(shù)

《同濟(jì)第六版《高等數(shù)學(xué)》教案WORD版-第11章 無(wú)窮級(jí)數(shù)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《同濟(jì)第六版《高等數(shù)學(xué)》教案WORD版-第11章 無(wú)窮級(jí)數(shù)（48頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

. 第十一章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 教學(xué)目的： 1．理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。 2．掌握幾何級(jí)數(shù)與P級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。 3．掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會(huì)用根值判別法。 4．掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法。 5．了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，以及絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系。 6．了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。 7．理解冪級(jí)數(shù)收斂半徑的概念，并掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。 8．了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分），會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。 9．了解函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件。 10．掌握，和的麥克勞林展開(kāi)式，會(huì)用它們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。 11. 了解傅里葉級(jí)數(shù)的概念和函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷定理，會(huì)將定義在[-l，l]上的函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，會(huì)將定義在[0，l]上的函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)，會(huì)寫(xiě)出傅里葉級(jí)數(shù)的和的表達(dá)式。 教學(xué)重點(diǎn) ： 1、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。 2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法、比值判別法和根值判別； 3、交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法； 4、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域； 5、，和的麥克勞林展開(kāi)式； 6、傅里葉級(jí)數(shù)。 教學(xué)難點(diǎn)： 1、 比較判別法的極限形式； 2、 萊布尼茨判別法； 3、 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂； 4、 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)； 5、 泰勒級(jí)數(shù)； 6、 傅里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷定理。 11. 1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì) 一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù): 給定一個(gè)數(shù)列 u1, u2, u3, , un, , 則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式 u1 + u2 + u3 + + un + 叫做常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù), 簡(jiǎn)稱(chēng)常數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù), 記為, 即 , 其中第n項(xiàng)u n 叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng). 級(jí)數(shù)的部分和: 作級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和 稱(chēng)為級(jí)數(shù)的部分和. 級(jí)數(shù)斂散性定義: 如果級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有極限s, 即, 則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂, 這時(shí)極限s叫做這級(jí)數(shù)的和, 并寫(xiě)成 ; 如果沒(méi)有極限, 則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散. 余項(xiàng): 當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 其部分和s n是級(jí)數(shù)的和s的近似值, 它們之間的差值 rn=s-sn=un+1+un+2+ 叫做級(jí)數(shù)的余項(xiàng). 例1 討論等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù)) 的斂散性, 其中a0, q叫做級(jí)數(shù)的公比. 例1 討論等比級(jí)數(shù)(a0)的斂散性. 解 如果q1, 則部分和 . 當(dāng)|q|<1時(shí), 因?yàn)? 所以此時(shí)級(jí)數(shù)收斂, 其和為. 當(dāng)|q|>1時(shí), 因?yàn)? 所以此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散. 如果|q|=1, 則當(dāng)q=1時(shí), sn =na, 因此級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)q=-1時(shí), 級(jí)數(shù)成為 a-a+a-a+ , 時(shí)|q|=1時(shí), 因?yàn)閟n 隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零, 所以sn的極限不存在, 從而這時(shí)級(jí)數(shù)也發(fā)散. 綜上所述, 如果|q|<1, 則級(jí)數(shù)收斂, 其和為; 如果|q|1, 則級(jí)數(shù)發(fā)散. 僅當(dāng)|q|<1時(shí), 幾何級(jí)數(shù)a0)收斂, 其和為. 例2 證明級(jí)數(shù) 1+2+3+ +n+ 是發(fā)散的. 證 此級(jí)數(shù)的部分和為 . 顯然, , 因此所給級(jí)數(shù)是發(fā)散的. 例3 判別無(wú)窮級(jí)數(shù) 的收斂性. 解 由于 , 因此 從而 , 所以這級(jí)數(shù)收斂, 它的和是1. 例3 判別無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? , 從而 , 所以這級(jí)數(shù)收斂, 它的和是1. 提示: . 二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)1 如果級(jí)數(shù)收斂于和s, 則它的各項(xiàng)同乘以一個(gè)常數(shù)k所得的級(jí)數(shù)也收斂, 且其和為ks. 性質(zhì)1 如果級(jí)數(shù)收斂于和s, 則級(jí)數(shù)也收斂, 且其和為ks. 性質(zhì)1 如果, 則. 這是因?yàn)? 設(shè)與的部分和分別為sn與sn, 則 . 這表明級(jí)數(shù)收斂, 且和為ks. 性質(zhì)2 如果級(jí)數(shù)、分別收斂于和s、s, 則級(jí)數(shù)也收斂, 且其和為ss. 性質(zhì)2 如果、, 則. 這是因?yàn)? 如果、、的部分和分別為sn、sn、tn, 則 . 性質(zhì)3 在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng), 不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性. 比如, 級(jí)數(shù)是收斂的, 級(jí)數(shù)也是收斂的, 級(jí)數(shù)也是收斂的. 性質(zhì)4 如果級(jí)數(shù)收斂, 則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂, 且其和不變. 應(yīng)注意的問(wèn)題: 如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)收斂, 則不能斷定去括號(hào)后原來(lái)的級(jí)數(shù)也收斂. 例如, 級(jí)數(shù) 1-1)+1-1) + 收斂于零, 但級(jí)數(shù)1-1+1-1+ 卻是發(fā)散的. 推論: 如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則原來(lái)級(jí)數(shù)也發(fā)散. 級(jí)數(shù)收斂的必要條件: 性質(zhì)5 如果收斂, 則它的一般項(xiàng)un 趨于零, 即. 性質(zhì)5 如果收斂, 則. 證 設(shè)級(jí)數(shù)的部分和為sn, 且, 則 . 應(yīng)注意的問(wèn)題: 級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級(jí)數(shù)收斂的充分條件. 例4 證明調(diào)和級(jí)數(shù) 是發(fā)散的. 例4 證明調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的. 證 假若級(jí)數(shù)收斂且其和為s, sn是它的部分和. 顯然有及. 于是. 但另一方面, , 故, 矛盾. 這矛盾說(shuō)明級(jí)數(shù)必定發(fā)散. 11. 2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 正項(xiàng)級(jí)數(shù): 各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級(jí)數(shù)稱(chēng)為正項(xiàng)級(jí)數(shù). 定理1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列{sn}有界. 定理2(比較審斂法)設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且unvn (n=1, 2, ). 若級(jí)數(shù)收斂, 則級(jí)數(shù)收斂; 反之, 若級(jí)數(shù)發(fā)散, 則級(jí)數(shù)發(fā)散. 定理2(比較審斂法) 設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且unvn(k>0, "nN). 若收斂, 則收斂; 若發(fā)散, 則發(fā)散. 設(shè)Sun和Svn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且unkvn(k>0, "nN). 若級(jí)數(shù)Svn收斂, 則級(jí)數(shù)Sun收斂; 反之, 若級(jí)數(shù)Sun發(fā)散, 則級(jí)數(shù)Svn發(fā)散. 證 設(shè)級(jí)數(shù)收斂于和s, 則級(jí)數(shù)的部分和 sn=u1+u2+ +unv1+ v2+ +vns (n=1, 2, ), 即部分和數(shù)列{sn}有界, 由定理1知級(jí)數(shù)收斂. 反之, 設(shè)級(jí)數(shù)發(fā)散, 則級(jí)數(shù)必發(fā)散. 因?yàn)槿艏?jí)數(shù) 收斂, 由上已證明的結(jié)論, 將有級(jí)數(shù)也收斂, 與假設(shè)矛盾. 證 僅就unvn (n=1, 2, )情形證明. 設(shè)級(jí)數(shù)Svn收斂, 其和為s, 則級(jí)數(shù)Sun的部分和 sn=u1+ u2+ + unv1+v2+ +vns (n=1, 2, ), 即部分和數(shù)列{sn}有界. 因此級(jí)數(shù)Sun收斂. 反之, 設(shè)級(jí)數(shù)Sun發(fā)散, 則級(jí)數(shù)Svn必發(fā)散. 因?yàn)槿艏?jí)數(shù) Svn收斂, 由上已證明的結(jié)論, 級(jí)數(shù)Sun也收斂, 與假設(shè)矛盾. 推論 設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 如果級(jí)數(shù)收斂, 且存在自然數(shù)N, 使當(dāng)nN時(shí)有unkvn(k>0)成立, 則級(jí)數(shù)收斂; 如果級(jí)數(shù)發(fā)散, 且當(dāng)nN時(shí)有unkvn(k>0)成立, 則級(jí)數(shù)發(fā)散. 例1 討論p-級(jí)數(shù) 的收斂性, 其中常數(shù)p>0. 例1 討論p-級(jí)數(shù)的收斂性. 解 設(shè)p1. 這時(shí), 而調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散, 由比較審斂法知, 當(dāng)p1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散. 設(shè)p>1. 此時(shí)有 (n=2, 3, ). 對(duì)于級(jí)數(shù), 其部分和 . 因?yàn)? 所以級(jí)數(shù)收斂. 從而根據(jù)比較審斂法的推論1可知, 級(jí)數(shù)當(dāng)p>1時(shí)收斂. 綜上所述, p-級(jí)數(shù)當(dāng)p>1時(shí)收斂, 當(dāng)p1時(shí)發(fā)散. 解 當(dāng)p1時(shí), , 而調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散, 由比較審斂法知, 當(dāng)p1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散. 當(dāng)p>1時(shí), (n=2, 3, ). 而級(jí)數(shù)是收斂的, 根據(jù)比較審斂法的推論可知, 級(jí)數(shù)當(dāng)p>1時(shí)收斂. 提示: 級(jí)數(shù)的部分和為 . 因?yàn)? 所以級(jí)數(shù)收斂. p-級(jí)數(shù)的收斂性: p-級(jí)數(shù)當(dāng)p>1時(shí)收斂, 當(dāng)p1時(shí)發(fā)散. 例2 證明級(jí)數(shù)是發(fā)散的. 證 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)是發(fā)散的, 根據(jù)比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)也是發(fā)散的. 定理3(比較審斂法的極限形式) 設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 如果(0N時(shí), 有不等式 , 即, 再根據(jù)比較審斂法的推論1, 即得所要證的結(jié)論. 例3 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)發(fā)散, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級(jí)數(shù)發(fā)散. 例4 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)收斂, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級(jí)數(shù)收斂. 定理4(比值審斂法, 達(dá)朗貝爾判別法) 若正項(xiàng)級(jí)數(shù)的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的極限等于r: , 則當(dāng)r<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r =1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 定理4(比值審斂法, 達(dá)朗貝爾判別法) 若正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿(mǎn)足, 則當(dāng)r<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散. 當(dāng)r =1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 定理4(比值審斂法, 達(dá)朗貝爾判別法)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 如果 , 則當(dāng)r<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r =1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例5 證明級(jí)數(shù) 是收斂的. 解 因?yàn)? 根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂. 例6 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)發(fā)散. 例7 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 . 這時(shí)r=1, 比值審斂法失效, 必須用其它方法來(lái)判別級(jí)數(shù)的收斂性. 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂. 解 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂. 提示: , 比值審斂法失效. 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂. 定理5(根值審斂法, 柯西判別法) 設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 如果它的一般項(xiàng)un的n次根的極限等于r: , 則當(dāng)r<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r=1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 定理5(根值審斂法, 柯西判別法) 若正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿(mǎn)足, 則當(dāng)r<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散. 當(dāng)r=1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 定理5(根值審斂法, 柯西判別法) 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 如果 , 則當(dāng)r<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r=1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例8 證明級(jí)數(shù)是收斂的. 并估計(jì)以級(jí)數(shù)的部分和sn近似代替和s所產(chǎn)生的誤差. 解 因?yàn)? 所以根據(jù)根值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂. 以這級(jí)數(shù)的部分和sn 近似代替和s所產(chǎn)生的誤差為 + . 例6判定級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? , 所以, 根據(jù)根值審斂法知所給級(jí)數(shù)收斂. 定理6(極限審斂法) 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), (1)如果, 則級(jí)數(shù)發(fā)散; (2)如果p>1, 而, 則級(jí)數(shù)收斂. 例7 判定級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 故 , 根據(jù)極限審斂法, 知所給級(jí)數(shù)收斂. 例8 判定級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? , 根據(jù)極限審斂法, 知所給級(jí)數(shù)收斂. 二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 交錯(cuò)級(jí)數(shù): 交錯(cuò)級(jí)數(shù)是這樣的級(jí)數(shù), 它的各項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的. 交錯(cuò)級(jí)數(shù)的一般形式為, 其中. 例如, 是交錯(cuò)級(jí)數(shù), 但不是交錯(cuò)級(jí)數(shù). 定理6（萊布尼茨定理） 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿(mǎn)足條件: (1)unun+1 (n=1, 2, 3, ); (2), 則級(jí)數(shù)收斂, 且其和su1, 其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值|rn|un+1. 定理6（萊布尼茨定理） 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿(mǎn)足: (1); (2), 則級(jí)數(shù)收斂, 且其和su1, 其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值|rn|un+1. 簡(jiǎn)要證明: 設(shè)前n項(xiàng)部分和為sn. 由s2n=(u1-u2)+(u3-u4)+ +(u2n 1-u2n), 及 s2n=u1-(u2-u3)+(u4-u5)+ +(u2n-2-u2n-1)-u2n 看出數(shù)列{s2n}單調(diào)增加且有界(s2n|x0|的一切x使這冪級(jí)數(shù)發(fā)散. 定理1 (阿貝爾定理) 如果級(jí)數(shù)∑anxn當(dāng)x=x0 (x00)時(shí)收斂, 則適合不等式 |x|<|x0|的一切x使這冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 反之, 如果級(jí)數(shù)∑anxn當(dāng) x=x0時(shí)發(fā)散, 則適合不等式|x|>|x0|的一切x使這冪級(jí)數(shù)發(fā)散. 提示: ∑anxn是的簡(jiǎn)記形式. 證 先設(shè)x0是冪級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn), 即級(jí)數(shù)收斂. 根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件, 有, 于是存在一個(gè)常數(shù)M, 使 | anx0n |M(n=0, 1, 2, ). 這樣級(jí)數(shù)的的一般項(xiàng)的絕對(duì)值 . 因?yàn)楫?dāng)|x|<|x0|時(shí), 等比級(jí)數(shù)收斂, 所以級(jí)數(shù)收斂, 也就是級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 簡(jiǎn)要證明 設(shè)∑anxn在點(diǎn)x0收斂, 則有anx0n0(n) , 于是數(shù)列{anx0n}有界, 即存在一個(gè)常數(shù)M, 使| anx0n |M(n=0, 1, 2, ). 因?yàn)? , 而當(dāng)時(shí), 等比級(jí)數(shù)收斂, 所以級(jí)數(shù)∑|anxn|收斂, 也就是級(jí)數(shù)∑anxn絕對(duì)收斂. 定理的第二部分可用反證法證明. 倘若冪級(jí)數(shù)當(dāng)x=x0時(shí)發(fā)散而有一點(diǎn)x1適合|x1|>|x0|使級(jí)數(shù)收斂, 則根據(jù)本定理的第一部分, 級(jí)數(shù)當(dāng)x=x0時(shí)應(yīng)收斂, 這與所設(shè)矛盾. 定理得證. 推論 如果級(jí)數(shù)不是僅在點(diǎn)x=0一點(diǎn)收斂, 也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂, 則必有一個(gè)完全確定的正數(shù)R存在, 使得 當(dāng)|x|R時(shí), 冪級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)x=R與x=-R時(shí), 冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 收斂半徑與收斂區(qū)間: 正數(shù)通常叫做冪級(jí)數(shù)的收斂半徑. 開(kāi)區(qū)間(-R, R)叫做冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間. 再由冪級(jí)數(shù)在x=R處的收斂性就可以決定它的收斂域. 冪級(jí)數(shù)的收斂域是(-R, R)(或[-R, R)、(-R, R]、[-R, R]之一. 規(guī)定: 若冪級(jí)數(shù)只在x=0收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=0 , 若冪級(jí)數(shù)對(duì)一切x都收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=+, 這時(shí)收斂域?yàn)?-, +). 定理2 如果, 其中an、an+1是冪級(jí)數(shù)的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù), 則這冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 . 定理2 如果冪級(jí)數(shù)系數(shù)滿(mǎn)足, 則這冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 . 定理2 如果, 則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R為: 當(dāng)r0時(shí), 當(dāng)r=0時(shí)R=+, 當(dāng)r=+時(shí)R=0. 簡(jiǎn)要證明: . (1)如果01即時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散, 所以收斂半徑為. 提示: . 例5 求冪級(jí)數(shù)的收斂域. 解 令t=x-1, 上述級(jí)數(shù)變?yōu)? 因?yàn)?, 所以收斂半徑R=2. 當(dāng)t=2時(shí), 級(jí)數(shù)成為, 此級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)t=-2時(shí), 級(jí)數(shù)成為, 此級(jí)數(shù)收斂. 因此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?2t<2. 因?yàn)?2x-1<2, 即-1x<3, 所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇-1, 3). 三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算 設(shè)冪級(jí)數(shù)及分別在區(qū)間(-R, R)及(-R, R)內(nèi)收斂, 則在(-R, R)與(-R, R)中較小的區(qū)間內(nèi)有 加法: , 減法: , 設(shè)冪級(jí)數(shù)∑anxn及∑bnxn分別在區(qū)間(-R, R)及(-R, R)內(nèi)收斂, 則在(-R, R)與(-R, R)中較小的區(qū)間內(nèi)有 加法: ∑anxn+∑bnxn =∑(an+bn)xn , 減法: ∑anxn-∑bnxn =∑(an-bn)xn . 乘法: =a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+ +(a0bn+a1bn-1+ +anb0)xn+ 性質(zhì)1 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù). 如果冪級(jí)數(shù)在x=R (或x=-R)也收斂, 則和函數(shù)s(x)在(-R, R](或[-R, R))連續(xù). 性質(zhì)2 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積, 并且有逐項(xiàng)積分公式 (xI ), 逐項(xiàng)積分后所得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑. 性質(zhì)3 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(-R, R)內(nèi)可導(dǎo), 并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式 (|x|

下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)

• 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔，確保文檔完整性，對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
• 2.下載的文檔，不會(huì)出現(xiàn)我們的網(wǎng)址水印。
• 3、該文檔所得收入（下載+內(nèi)容+預(yù)覽）歸上傳者、原創(chuàng)作者；如果您是本文檔原作者，請(qǐng)點(diǎn)此認(rèn)領(lǐng)！既往收益都?xì)w您。

同意并開(kāi)始全文預(yù)覽

文檔包含非法信息？點(diǎn)此舉報(bào)后獲取現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)！

文檔加載中……請(qǐng)稍候！
如果長(zhǎng)時(shí)間未打開(kāi)，您也可以點(diǎn)擊刷新試試。

下載文檔到電腦，查找使用更方便

25 積分

下載

還剩頁(yè)未讀，繼續(xù)閱讀

舉報(bào)
版權(quán)申訴 word格式文檔無(wú)特別注明外均可編輯修改；預(yù)覽文檔經(jīng)過(guò)壓縮，下載后原文更清晰！ 立即下載

配套講稿：

如PPT文件的首頁(yè)顯示word圖標(biāo)，表示該P(yáng)PT已包含配套word講稿。雙擊word圖標(biāo)可打開(kāi)word文檔。

特殊限制：

部分文檔作品中含有的國(guó)旗、國(guó)徽等圖片，僅作為作品整體效果示例展示，禁止商用。設(shè)計(jì)者僅對(duì)作品中獨(dú)創(chuàng)性部分享有著作權(quán)。

關(guān) 鍵  詞：

高等數(shù)學(xué) 同濟(jì)第六版高等數(shù)學(xué)教案WORD版-第11章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 同濟(jì) 第六 教案 WORD 11 無(wú)窮 級(jí)數(shù)

溫馨提示:
1: 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明，都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
2: 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等，如果需要附件，請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶(hù)所有。
3.本站RAR壓縮包中若帶圖紙，網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽，若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
5. 裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間，僅對(duì)用戶(hù)上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理，對(duì)用戶(hù)上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯，并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容，請(qǐng)與我們聯(lián)系，我們立即糾正。
7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶(hù)因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

  裝配圖網(wǎng)所有資源均是用戶(hù)自行上傳分享，僅供網(wǎng)友學(xué)習(xí)交流，未經(jīng)上傳用戶(hù)書(shū)面授權(quán)，請(qǐng)勿作他用。

關(guān)于本文

本文標(biāo)題：同濟(jì)第六版《高等數(shù)學(xué)》教案WORD版-第11章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
鏈接地址：http://m.zhongcaozhi.com.cn/p-12838330.html

最新文檔

• 2023年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)6整理和復(fù)習(xí)2圖形與幾何第7課時(shí)圖形的位置練習(xí)課件新人教版
• 2023年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)6整理和復(fù)習(xí)2圖形與幾何第1課時(shí)圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量1平面圖形的認(rèn)識(shí)練習(xí)課件新人教版
• 2023年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)6整理和復(fù)習(xí)1數(shù)與代數(shù)第10課時(shí)比和比例2作業(yè)課件新人教版
• 2023年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)4比例1比例的意義和基本性質(zhì)第3課時(shí)解比例練習(xí)課件新人教版
• 2023年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)3圓柱與圓錐1圓柱第7課時(shí)圓柱的體積3作業(yè)課件新人教版
• 2023年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)3圓柱與圓錐1圓柱第1節(jié)圓柱的認(rèn)識(shí)作業(yè)課件新人教版
• 2023年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)2百分?jǐn)?shù)(二)第1節(jié)折扣和成數(shù)作業(yè)課件新人教版
• 2023年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)1負(fù)數(shù)第1課時(shí)負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)作業(yè)課件新人教版
• 2023年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)考前模擬期末模擬訓(xùn)練二作業(yè)課件蘇教版
• 2023年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末豐收?qǐng)@作業(yè)課件蘇教版
• 2023年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)易錯(cuò)清單十二課件新人教版
• 標(biāo)準(zhǔn)工時(shí)講義
• 2021年一年級(jí)語(yǔ)文上冊(cè)第六單元知識(shí)要點(diǎn)習(xí)題課件新人教版
• 2022春一年級(jí)語(yǔ)文下冊(cè)課文5識(shí)字測(cè)評(píng)習(xí)題課件新人教版
• 2023年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)6整理和復(fù)習(xí)4數(shù)學(xué)思考第1課時(shí)數(shù)學(xué)思考1練習(xí)課件新人教版