高中數(shù)學(xué)必修3同步練習(xí)與單元檢測第二章 統(tǒng)計 2.1.3

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2.1.3　分層抽樣 課時目標(biāo)　1.理解分層抽樣的概念.2.掌握分層抽樣的使用條件和操作步驟，會用分層抽樣法進行抽樣． 1．分層抽樣的概念 在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣． 2．分層抽樣的適用條件 分層抽樣盡量利用事先所掌握的各種信息，并充分考慮保持樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，這對提高樣本的代表性非常重要．當(dāng)總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣的方法． 一、選擇題 1．有40件產(chǎn)品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件，現(xiàn)從中抽出8件進行質(zhì)量分析，問應(yīng)采取何種抽樣方法(　　) A．抽簽法 B．隨機數(shù)表法 C．系統(tǒng)抽樣 D．分層抽樣 答案　D 2．某城市有學(xué)校700所．其中大學(xué)20所，中學(xué)200所，小學(xué)480所，現(xiàn)用分層抽樣方法從中抽取一個容量為70的樣本，進行某項調(diào)查，則應(yīng)抽取中學(xué)數(shù)為(　　) A．70 B．20 C．48 D．2 答案　B 解析　由于＝10，即每10所學(xué)校抽取一所， 又因中學(xué)200所，所以抽取200÷10＝20(所)． 3．某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品的數(shù)量之比依次為3∶4∶7，現(xiàn)在用分層抽樣的方法抽出容量為n的樣本，樣本中A型號產(chǎn)品有15件，那么樣本容量n為(　　) A．50 B．60 C．70 D．80 答案　C 解析　由分層抽樣方法得：×n＝15， 解得n＝70. 4．下列問題中，最適合用分層抽樣方法抽樣的是(　　) A．某電影院有32排座位，每排有40個座位，座位號是1～40.有一次報告會坐滿了聽眾，報告會結(jié)束以后為聽取意見，要留下32名聽眾進行座談 B．從10臺冰箱中抽出3臺進行質(zhì)量檢查 C．某鄉(xiāng)農(nóng)田有山地8 000畝，丘陵12 000畝，平地24 000畝，洼地4 000畝，現(xiàn)抽取農(nóng)田480畝估計全鄉(xiāng)農(nóng)田平均產(chǎn)量 D．從50個零件中抽取5個做質(zhì)量檢驗 答案　C 解析　A的總體容量較大，宜采用系統(tǒng)抽樣方法；B的總體容量較小，用簡單隨機抽樣法比較方便；C總體容量較大，且各類田地的產(chǎn)量差別很大，宜采用分層抽樣方法；D與B類似． 5．要從其中有50個紅球的1 000個球中，采用按顏色分層抽樣的方法抽取100個進行分析，則應(yīng)抽取紅球的個數(shù)為(　　) A．5個 B．10個 C．20個 D．45個 答案　A 解析　由題意知每＝10(個)球中抽取一個，現(xiàn)有50個紅球，應(yīng)抽取＝5(個)． 6．某小學(xué)三個年級共有學(xué)生270人，其中一年級108人，二、三年級各81人，現(xiàn)要用抽樣方法抽取10人形成樣本，將學(xué)生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為1,2，…，270，如果 抽得號碼有下列四種情況： ①5,9,100,107,111,121,180,195,200,265； ②7,34,61,88,115,142,169,196,223,250； ③30,57,84,111,138,165,192,219,246,270； ④11,38,60,90,119,146,173,200,227,254； 其中可能是由分層抽樣得到，而不可能是由系統(tǒng)抽樣得到的一組號碼為(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 答案　D 解析　按照分層抽樣的方法抽取樣本，一、二、三年級抽取的人數(shù)分別為：，，，即4人，3人，3人；不是系統(tǒng)抽樣即編號的間隔不同，觀察①、②、③、④知：①④符合題意，②是系統(tǒng)抽樣，③中三年級人數(shù)為4人，不是分層抽樣． 二、填空題 7．某農(nóng)場在三種地上種玉米，其中平地210畝，河溝地120畝，山坡地180畝，估計產(chǎn)量時要從中抽取17畝作為樣本，則平地、河溝地、山坡地應(yīng)抽取的畝數(shù)分別是________． 答案　7,4,6 解析　應(yīng)抽取的畝數(shù)分別為210×＝7,120×＝4,180×＝6. 8．將一個總體分為A、B、C三層，其個體數(shù)之比為5∶3∶2.若用分層抽樣方法抽取容量為100的樣本，則應(yīng)從C中抽取________個個體． 答案　20 解析　由題意可設(shè)A、B、C中個體數(shù)分別為5k,3k,2k，所以C中抽取個體數(shù)為×100＝20. 9．某工廠生產(chǎn)A、B、C、D四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2∶3∶5∶1.現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個容量為n的樣本，樣本中A種型號有16件，那么此樣本的容量n為________． 答案　88 解析　在分層抽樣中，每一層所抽的個體數(shù)的比例與總體中各層個體數(shù)的比例是一致的．所以，樣本容量n＝×16＝88. 三、解答題 10．某小學(xué)有1 800名學(xué)生，6個年級中每個年級的人數(shù)大致相同，男女生的比例也大致相同，要從中抽取48名學(xué)生，測試學(xué)生100米跑的成績．你認(rèn)為應(yīng)該用什么樣的方法？怎樣抽樣？為什么要用這個方法？ 解　應(yīng)該用分層抽樣的方法．因為小學(xué)的不同年級之間，男女生之間百米跑的成績有較大差異，所以將1 800名學(xué)生按不同年級、性別分成12組，每組隨機抽取4名，一共抽取48名學(xué)生．這樣的抽樣方法可使樣本的結(jié)構(gòu)與總體的結(jié)構(gòu)保持一致． 11．某工廠有3條生產(chǎn)同一產(chǎn)品的流水線，每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)分別是3 000件，4 000件，8 000件．若要用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為150件產(chǎn)品的樣本，應(yīng)該如何抽樣？ 解　總體中的個體數(shù)N＝3 000＋4 000＋8 000＝15 000，樣本容量n＝150，抽樣比例為＝＝，所以應(yīng)該在第1條流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取3 000×＝30(件)產(chǎn)品，在第2條流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取4 000×＝40(件)產(chǎn)品，在第3條流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取8 000×＝80(件)產(chǎn)品．這里因為每條流水線所生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)都較多，所以，在每條流水線的產(chǎn)品中抽取樣品時，宜采用系統(tǒng)抽樣方法． 能力提升 12．某單位有技師18人，技術(shù)員12人，工程師6人，需要從這些人中抽取一個容量為n的樣本，如果采用系統(tǒng)抽樣和分層抽樣方法抽取，都不用剔除個體；如果樣本容量增加1，則在采用系統(tǒng)抽樣時，需要在總體中剔除1個個體，求樣本容量n. 解　因為采用系統(tǒng)抽樣和分層抽樣時不用剔除個體，所以n是36的約數(shù)，且是6的約數(shù)，即n又是6的倍數(shù)，n＝6,12,18或36，又n＋1是35的約數(shù)，故n只能是4,6,34，綜合得n＝6，即樣本容量為6. 13．選擇合適的抽樣方法抽樣，寫出抽樣過程． (1)有甲廠生產(chǎn)的30個籃球，其中一箱21個，另一箱9個，抽取3個． (2)有30個籃球，其中甲廠生產(chǎn)的有21個，乙廠生產(chǎn)的有9個，抽取10個． (3)有甲廠生產(chǎn)的300個籃球，抽取10個． (4)有甲廠生產(chǎn)的300個籃球，抽取30個． 解　(1)總體容量較小，用抽簽法． ①將30個籃球編號，號碼為00,01，…，29； ②將以上30個編號分別寫在完全一樣的小紙條上，揉成小球，制成號簽； ③把號簽放入一個不透明的袋子中，充分?jǐn)嚢瑁? ④從袋子中逐個抽取3個號簽，并記錄上面的號碼； ⑤找出和所得號碼對應(yīng)的籃球即可得到樣本． (2)總體由差異明顯的兩個層次組成，需選用分層抽樣法． ①確定抽取個數(shù)．因為＝3，所以甲廠生產(chǎn)的應(yīng)抽取＝7(個)，乙廠生產(chǎn)的應(yīng)抽取＝3(個)； ②用抽簽法分別抽取甲廠生產(chǎn)的籃球7個，乙廠生產(chǎn)的籃球3個．這些籃球便組成了我們要抽取的樣本． (3)總體容量較大，樣本容量較小，宜用隨機數(shù)法． ①將300個籃球用隨機方式編號，編號為000,001，…，299； ②在隨機數(shù)表中隨機的確定一個數(shù)作為開始，如第8行第29列的數(shù)“7”開始．任選一個方向作為讀數(shù)方向，比如向右讀； ③從數(shù)“7”開始向右讀，每次讀三位，凡不在000～299中的數(shù)跳過去不讀，遇到已經(jīng)讀過的數(shù)也跳過去不讀，便可依次得到10個號碼，這就是所要抽取的10個樣本個體的號碼． (4)總體容量較大，樣本容量也較大宜用系統(tǒng)抽樣法． ①將300個籃球用隨機方式編號，編號為001,002,003，…，300，并分成30段，其中每一段包含＝10(個)個體； ②在第一段001,002,003，…，010這十個編號中用簡單隨機抽樣抽出一個(如002)作為起始號碼； ③將編號為002,012,022，…，292的個體抽出，組成樣本 1．分層抽樣的概念和特點 當(dāng)總體由有明顯差別的幾部分組成時，為了使抽取的樣本更好地反映總體的情況，常采用分層抽樣． 分層抽樣的優(yōu)點是使樣本具有較強的代表性，而且在各層抽樣時又可靈活地選用不同的抽樣法． 2．三種抽樣方法的選擇 簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣及分層抽樣的共同特點是在抽樣過程中每一個個體被抽取的機會都相等，體現(xiàn)了抽樣方法的公平性和客觀性．其中簡單隨機抽樣是最基本的抽樣方法，在系統(tǒng)抽樣和分層抽樣中都要用到簡單隨機抽樣．當(dāng)總體中的個體數(shù)較少時，常采用簡單隨機抽樣；當(dāng)總體中的個體數(shù)較多時，常采用系統(tǒng)抽樣；當(dāng)已知總體是由差異明顯的幾部分組成時，常采用分層抽樣．