數(shù)學：第一章《統(tǒng)計案例》教案（新人教A版選修1-2）

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第一章 統(tǒng)計案例復習教案 一、本章知識脈絡： 統(tǒng)計案例 回歸分析 樣本點的中心 隨機誤差 殘差分析 建立回歸模型的基本步驟 回歸分析 列聯(lián)表 K2＝ 判斷結論成立可能性的步驟 二、本章要點追蹤： 1.樣本點的中心（，） 其中＝xi，＝ yi　. 2.線性回歸模型的完美表達式 3.類比樣本方差估計總體方差的思想，可以用 ＝i＝Q（，）（n＞2） 作為σ2的估計量　其中＝－ ＝ 4.我們可以用相關指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計算公式是： R2＝1－ 　　 R2取值越大，意味著殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果越好. 5.建立回歸模型的基本步驟： （1）確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預報變量； （2）畫出確定好的解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系（如是否存在線性關系等）； （3）由經(jīng)驗確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關系，則選用線性回歸方程y＝bx＋x）； （4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）； （5）得出結果后分析殘差圖是否有異常（個別數(shù)據(jù)對應殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性等等），若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。 6.作K2來確定結論“X與 Y有關系”的可信程度. 三、幾個典型例題： 例1　某地區(qū)10名健康兒童頭發(fā)和全血中的硒含量（1000ppm）如下， 血硒 74 66 88 69 91 73 66 96 58 73 發(fā)硒 13 10 13 11 16 9 7 14 5 10 （1）畫出散點圖； （2）求回歸方程； （3）如果某名健康兒童的血硒含量為94（1000ppm）預測他的發(fā)硒含量. 解（1）散點圖如下圖所示： （2）利用計算器或計算機，求得回歸方程： ＝0.2358x－6.9803 （3）當x＝94時，≈15.2 因此，當兒童的血硒含量為94（1000ppm）時，該兒童的發(fā)硒含量約為15.2（1000ppm）. 例2 某地大氣中氰化物測定結果如下： 污染源距離 50 100 150 200 250 300 400 500 氰化物濃度 0.687 0.398 0.200 0.121 0.09 0.05 0.02 0.01 （1）試建立氰化物濃度與距離之間的回歸方程. （2）求相關指數(shù). （3）作出殘差圖，并求殘差平方和 解析（1）選取污染源距離為變量x，氰化物濃度為自因變量y作散點圖. 從表中所給的數(shù)據(jù)可以看出，氰化物濃度與距離有負的相關關系，用非線性回歸方程來擬合，建立y關于x的指數(shù)回歸方程. ＝0.9293e－0.0094x （2）相關指數(shù)K2＝1－＝0.9915 （3） 編　號 1 2 3 4 5 6 7 8 污染源距離 50 100 150 200 250 300 400 500 氰化物濃度 0.687 0.398 0.2 0.121 0.09 0.05 0.02 0.01 殘　差 0.1061857 0.035 －0.027 －0.021 0.0014 －0.005 －0.002 0.0015 殘差平方和（yi－）2＝0.0118 例3　某大型企業(yè)人力資源部為了研究企業(yè)員工工作積極性和對待企業(yè)改革態(tài)度的關系，隨機制取了189名員工進行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下表所示： 積極支持企業(yè)改革 不太造成企業(yè)改革 合　計 工作積極 54 40 94 工作一般 32 63 95 合　計 86 103 189 對于人力資源部的研究項目，根據(jù)上述數(shù)據(jù)能得出什么結論？ 解：根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到K2＝＝10.76. 因為10.76＞6.635，所以有99%的把握說：員工“工作積極”與“積極支持企業(yè)改革”是有關的，可以認為企業(yè)的全體員工對待企業(yè)改革的態(tài)度與其工作積極性是有關的. 例4 有人統(tǒng)計了同一個省的6個城市某一年的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（即人均GDP）和這一年各城市患白血病的兒童數(shù)量，如下表： 人均GDP（萬元） 10 8 6 4 3 1 患白血病的兒童數(shù) 351 312 207 175 132 180 （1）畫出散點圖； （2）求對的回歸直線方程； （3）如果這個省的某一城市同時期年人均GDP為12萬元，估計這個城市一年患白血病的兒童數(shù)目； 分析：利用公式分別求出的值，即可確定回歸直線方程，然后再進行預測. 16題圖 解：（1）作與對應的散點圖，如右圖所示； （2）計算得 ， ∴，， ∴對的回歸直線方程是； （3）將代入得，估計這個城市一年患白血病的兒童數(shù)目約為381. 評注：本題涉及的是一個和我們生活息息相關，也是一個愈來愈嚴峻的問題——環(huán)保問題.本題告訴了我們一個沉痛的事實：現(xiàn)如今，一個城市愈發(fā)達，這個城市患白血病的兒童愈多.原因在于，城市的經(jīng)濟發(fā)展大都以犧牲環(huán)境為代價的，經(jīng)濟發(fā)展造成了大面積的環(huán)境污染，空氣、水源中含有的大量的有害物質(zhì)是導致白血病患者增多的罪魁禍首，所以，我們一定要增強自我保護意識和環(huán)境保護意識. 例5 寒假中，某同學為組織一次愛心捐款，于2008年2月1日在網(wǎng)上給網(wǎng)友發(fā)了張?zhí)?，并號召網(wǎng)友轉發(fā)，下表是發(fā)帖后一段時間的收到帖子的人數(shù)統(tǒng)計： 天數(shù) 1 2 3 4 5 6 7 人數(shù) 7 11 21 24 66 115 325 （1）作出散點圖，并猜測與之間的關系； （2）建立與的關系，預報回歸模型并計算殘差； （3）如果此人打算在2008年2月12日（即帖子傳播時間共10天）進行募捐活動，根據(jù)上述回歸模型，估計可去多少人. 分析：先通過散點圖，看二者是否具有線性相關關系，若不具有，可通過相關函數(shù)變換，轉化為線性相關關系. 解：（1）散點圖略.從散點圖可以看出與不具有線性相關關系，同時可發(fā)現(xiàn)樣本點分布在某一個指數(shù)函數(shù)曲線的周圍，其中是參數(shù)； （2）對兩邊取對數(shù)，把指數(shù)關系變成線性關系.令，則變換后的樣本點分布在直線的周圍，這樣就可以利用線性回歸模型來建立與之間的非線性回歸方程了，數(shù)據(jù)可以轉化為： 天數(shù) 1 2 3 4 5 6 7 人數(shù) 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784 求得回歸直線方程為， ∴. （3）截止到2008年2月12日，，此時（人）. ∴估計可去1530人. 評注：現(xiàn)如今是網(wǎng)絡時代，很多同學都會通過互聯(lián)網(wǎng)發(fā)帖子，所以此類問題為同學們司空見慣.但如何預測發(fā)帖后的效果，這卻是個新課題，通過本題你是否已明確. 例6 有人發(fā)現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象，中國人的郵箱名稱里含有數(shù)字的比較多，而外國人郵箱名稱里含有數(shù)字的比較少.為了研究國籍和郵箱名稱里是否含有數(shù)字的關系，他收集了124個郵箱名稱，其中中國人的70個，外國人的54個，中國人的郵箱中有43個含數(shù)字，外國人的郵箱中有27個含數(shù)字. （1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2的列聯(lián)表； （2）他發(fā)現(xiàn)在這組數(shù)據(jù)中，外國人郵箱名稱里含數(shù)字的也不少，他不能斷定國籍和郵箱名稱里含有數(shù)字是否有關，你能幫他判斷一下嗎？ 分析：按題中數(shù)據(jù)建列聯(lián)表，然后根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)求出值，即可判定. 解：（1）2×2的列聯(lián)表 中國人 外國人 總計 有數(shù)字 43 27 70 無數(shù)字 21 33 54 總計 64 60 124 （2）假設“國籍和郵箱名稱里是否含有數(shù)字無關”. 由表中數(shù)據(jù)得， 因為，所以有理由認為假設“國籍和郵箱名稱里是否含有數(shù)字無關”是不合理的，即有的把握認為“國籍和郵箱名稱里是否含有數(shù)字有關”. 評注：獨立性檢驗類似于反證法，其一般步驟為：第一步：首先假設兩個分類變量幾乎沒有關系（幾乎獨立）；第二步：求隨機變量的值；第三步.判斷兩個分類變量有關的把握（即概率）有多大. 例7 針對時下的“韓劇熱”，某校團委對“學生性別和是否喜歡韓劇是否有關”作了一次調(diào)查，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生喜歡韓劇的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡韓劇人數(shù)占女生人數(shù)的. （1）若有的把握認為是否喜歡韓劇和性別有關，則男生至少有多少人； （2）若沒有充分的證據(jù)顯示是否喜歡韓劇和性別有關，則男生至多有多少人. 分析：有的把握認為回答結果對錯和性別有關，說明，沒有充分的證據(jù)顯示回答結果對錯和性別有關，說明.設出男生人數(shù)，并用它分別表示各類別人數(shù)，代入的計算公式，建立不等式求解即可. 解：設男生人數(shù)為，依題意可得列聯(lián)表如下： 喜歡韓劇 不喜歡韓劇 總計 男生 女生 總計 （1）若有的把握認為回答結果的對錯和性別有關，則， 由，解得， ∵為整數(shù)，∴若有的把握認為回答結果的對錯和性別有關，則男生至少有12人； （2）沒有充分的證據(jù)顯示回答結果的對錯和性別有關，則， 由，解得， ∵為整數(shù)，∴若沒有充分的證據(jù)顯示回答結果的對錯和性別有關，則男生至多有6人. 評注：這是一個獨立性檢驗的創(chuàng)新問題，解答時要注意理解“至少”、“至多”的含義. 通過上面幾例，大家是否已體會到了回歸分析和獨立性檢驗思想方法的應用的廣泛性和重要性.其實，這兩種思想方法并不神秘，你身邊有很多問題可信手拈來，用它們處理，這一點還請同學們多思考、勤嘗試. - 7 -