2.3 第1課時 用公式法求解一元二次方程

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2.3用公式法求解一元二次方程 第1課時 用公式法求解一元二次方程 教學目標 1.理解一元二次方程求根公式的推導過程； 2．會用公式法解一元二次方程； 3．會用根的判別式b2－4ac判斷一元二次方程根的情況及相關應用． 教學重難點 【教學重點】 求根公式的推導和公式法的應用． 【教學難點】 一元二次方程求根公式的推導． 課前準備 課件等. 教學過程 一、情景導入 如果這個一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用配方法的步驟求出它們的兩根？請同學獨立完成下面這個問題． 問題：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，且b2－4ac≥0，試推導它的兩個根x1＝，x2＝. 二、合作探究 探究點一：用公式法解一元二次方程 方程3x2－8＝7x化為一般形式是__________，其中a＝________，b＝________，c＝________，方程的根為____________． 解析：將方程移項可化為3x2－7x－8＝0.其中a＝3，b＝－7，c＝－8，因為b2－4ac＝(－7)2－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x＝. 故答案分別為3x2－7x－8＝0，3，－7，－8，. 方法總結：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由方程的系數(shù)a，b，c確定的，只要確定了系數(shù)a，b，c的值，代入公式就可求得方程的根． 用公式法解下列方程： (1)－3x2－5x＋2＝0; (2)2x2＋3x＋3＝0； (3)x2－2x＋1＝0. 解析：先確定a，b，c及b2－4ac的值，再代入公式求解即可． 解：(1)－3x2－5x＋2＝0，3x2＋5x－2＝0. ∵a＝3，b＝5，c＝－2， ∴b2－4ac＝52－4×3×(－2)＝49＞0， ∴x＝＝， ∴x1＝，x2＝－2； (2)∵a＝2，b＝3，c＝3， ∴b2－4ac＝32－4×2×3＝9－24＝－15＜0， ∴原方程沒有實數(shù)根； (3)∵a＝1，b＝－2，c＝1， ∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0， ∴x＝＝， ∴x1＝x2＝1. 方法總結：用公式法解一元二次方程時，首先應將其變形為一般形式，然后確定公式中a，b，c的值，再求出b2－4ac的值與“0”比較，最后利用求根公式求出方程的根(或說明其沒有實數(shù)根)． 探究點二：一元二次方程根的判別式 【類型一】 用根的判別式判斷一元二次方程根的情況 已知一元二次方程x2＋x＝1，下列判斷正確的是(　　) A．該方程有兩個相等的實數(shù)根 B．該方程有兩個不相等的實數(shù)根 C．該方程無實數(shù)根 D．該方程根的情況不確定 解析：原方程變形為x2＋x－1＝0.∵b2－4ac＝12－4×1×(－1)＝5＞0，∴該方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選B. 方法總結：判斷一元二次方程根的情況的方法：利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況時，要先把方程轉(zhuǎn)化為一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．當b2－4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當b2－4ac＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當b2－4ac＜0時，方程無實數(shù)根． 【類型二】 根據(jù)方程根的情況確定字母的取值范圍 若關于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0，有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是(　　) A．k>－1 B．k>－1且k≠0 C．k<1 D．k<1且k≠0 解析：由根的判別式知，方程有兩個不相等的實數(shù)根，則b2－4ac>0，同時要求二次項系數(shù)不為0，即解得k>－1且k≠0，故選B. 易錯提醒：利用b2－4ac判斷一元二次方程根的情況時，容易忽略二次項系數(shù)不能等于0這一條件，本題中容易誤選A. 【類型三】 根的判別式與三角形的綜合應用 已知a，b，c分別是△ABC的三邊長，當m>0時，關于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2 ax＝0有兩個相等的實數(shù)根，請判斷△ABC的形狀． 解析：先將方程轉(zhuǎn)化為一般形式，再根據(jù)根的判別式確定a，b，c之間的關系，即可判定△ABC的形狀． 解：將原方程轉(zhuǎn)化為一般形式，得(b＋c)x2－2 ax＋(c－b)m＝0. ∵原方程有兩個相等的實數(shù)根， ∴(－2 a)2－4(b＋c)(c－b)m＝0， 即4m(a2＋b2－c2)＝0. 又∵m≠0，∴a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2. 根據(jù)勾股定理的逆定理可知△ABC為直角三角形． 方法總結：根據(jù)一元二次方程根的情況，利用判別式得到關于一元二次方程系數(shù)的等式或不等式，再結合其他條件解題． 三、板書設計 　 四、教學反思 經(jīng)歷從用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程到解字母系數(shù)的一元二次方程，探索求根公式，發(fā)展學生合情合理的推理能力，并認識到配方法是理解求根公式的基礎．通過對求根公式的推導，認識到一元二次方程的求根公式適用于所有的一元二次方程，操作簡單．體會數(shù)式通性，感受數(shù)學的嚴謹性和數(shù)學結論的確定性．提高學生的運算能力，并養(yǎng)成良好的運算習慣. - 3 -