等比數(shù)列ppt課件
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2.4 等比數(shù)列 第1課時 等比數(shù)列,1,1.掌握等比數(shù)列的概念. 2.掌握等比數(shù)列的通項公式,并會應(yīng)用. 3.能夠應(yīng)用等比數(shù)列的概念判斷一個數(shù)列為等比數(shù)列.,2,1.等比數(shù)列的概念 (1)定義:一個數(shù)列從______起,每一項與它的前一項的比 等于_________. (2)公比:這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比. (3)公比的表示:________.,第2項,同一常數(shù),q(q≠0),3,2.等比中項 如果在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,G,b成_________, 那么G叫做a與b的等比中項,其滿足的關(guān)系式為_____. 3.等比數(shù)列的通項公式 首項是a1,公比是q(q≠0)的通項公式為an=_____(a1≠0, q≠0).,等比數(shù)列,ab=G2,a1qn-1,4,1.已知{an}是等比數(shù)列,a1=1,a4=2 ,則a3=( ) A.±2 B.2 C.-2 D.4 【解析】選B.因為a4=a1·q3,所以q3= 所以q= ,所以a3=a1q2=2.,5,2.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且a1=2,q=3,則an= . 【解析】由a1=2,q=3,所以an=2×3n-1. 答案:2×3n-1,6,3.若等比數(shù)列{an}的通項為an= ×5n,則a1= . 【解析】由通項an= ×5n,令n=1,得a1= 答案:,7,4.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,若a2=2,a5= 則q= . 【解析】由 得 解得q= 答案:,8,一、等比數(shù)列的通項 探究1:觀察等比數(shù)列的通項公式an=a1qn-1,思考下面的問 題: (1)公式中的q能否為零?請說明理由. 提示:不能,根據(jù)等比數(shù)列的定義,公比為每一項與前一項 的比即: =q,若q=0,則an=0,所以數(shù)列中每一項都為 零,所以an-1=0,這樣比值 無意義,所以q≠0.,9,(2)要想確定等比數(shù)列的通項公式,需要具備哪幾個條件? 提示:由等比數(shù)列的通項公式an=a1qn-1,要確定其通項公式,必須知道a1,q兩個條件.,10,探究2:根據(jù)等比數(shù)列的定義,如何推導(dǎo)出等比數(shù)列的通項公式? 提示:由等比數(shù)列的定義, 以上各式相乘可得an=a1qn-1(a1≠0,q≠0).,11,【拓展延伸】等比數(shù)列通項公式的兩種證法 (1)歸納法:a1=a1,a2=a1q,a3=a2q=a1q2, a4=a3q=a1q3,…,an=an-1q=a1qn-1. (2)迭代法:an=an-1q=an-2q2=…=a2qn-2 =a1qn-1.,12,【探究總結(jié)】對等比數(shù)列通項公式的兩點說明 (1)在等比數(shù)列的通項公式中含有4個基本量,只要知其中任意3個,可求第四個基本量. (2)通項公式的推導(dǎo)方法采用的是累乘法,該方法是求數(shù)列通項公式常用的方法.,13,二、等比數(shù)列的判定 探究1:根據(jù)等比數(shù)列的定義,判斷下面的數(shù)列是否為等比數(shù) 列? (1)1,3,32,33,…,3n-1,… 提示:記數(shù)列為{an},顯然a1=1,a2=3,…,an=3n-1,…,由 于 =3(n≥2,n∈N*),所以該數(shù)列為等比數(shù)列,公比 為3.,14,(2)-1,1,2,4,8,… 提示:記數(shù)列為{an},顯然a1=-1,a2=1,a3=2,… 由于 所以此數(shù)列不是等比數(shù)列.,15,(3)a,a2,a3,…,an,… 提示:當(dāng)a=0時,數(shù)列為0,0,0,…,是 常數(shù)列,不是等比數(shù)列;當(dāng)a≠0時,數(shù)列為a,a2,a3,…,an,…,顯然此數(shù)列為等比數(shù)列且公比為a.,16,探究2:在利用等比數(shù)列的定義判定一個數(shù)列為等比數(shù)列時應(yīng) 注意什么? 提示:根據(jù)等比數(shù)列的定義,要判斷一個數(shù)列為等比數(shù)列需 要注意:(1) =q(n∈N*)為常數(shù). (2)比值 為同一個常數(shù). (3)數(shù)列中的每一項都不能為0.,17,探究3:由等比數(shù)列的定義,要判斷一個數(shù)列是否為等比數(shù)列,只需判斷什么? 提示:只需判斷 是否為同一個常數(shù).,18,【探究總結(jié)】等比數(shù)列判定的三點說明 (1)利用定義判定應(yīng)注意公比為每一項與前一項的比. (2)必須說明是從第二項起每一項與前一項的比為同一個常數(shù). (3)若公比為1,則該數(shù)列為常數(shù)列,也為等比數(shù)列.,19,類型一 等比數(shù)列中基本量的求解 1.已知等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=3,a2+a3=6,則a7等于( ) A.64 B.81 C.128 D.243 2.(2014·天津高考)設(shè){an}是首項為a1,公差為-1的等差數(shù) 列,Sn為其前n項和,若S1,S2,S4成等比數(shù)列,則a1=( ) A.2 B.-2 C. D.- 3.(2014·濟(jì)寧高二檢測)已知數(shù)列{an}為遞增的等比數(shù)列, 其中a2=9,a1+a3=30.求數(shù)列{an}的通項公式.,20,【解題指南】1.根據(jù)條件a1+a2=3,a2+a3=6求出公比和首項,再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出a7. 2.根據(jù)S1,S2,S4成等比數(shù)列建立關(guān)于a1的方程求解. 3.先根據(jù)a2=9,a1+a3=30,求出q,再代入等比數(shù)列的通項公式求得.,21,【自主解答】1.選A.因為{an}為等比數(shù)列,所以 =q=2. 又a1+a2=3,所以a1=1.故a7=1×26=64. 2.選D.因為S1,S2,S4成等比數(shù)列,所以S22=S1·S4, 即(a1+a1-1)2=a1(4a1- ×4×3),解得a1=- . 3.設(shè)等比數(shù)列的公比為q,又由已知a2=9,a1+a3=30, 可得 +9q=30,解得q=3或q= 由已知,數(shù)列為遞增數(shù)列,所以q=3, 即an=a2qn-2=9×3n-2=3n.,22,【規(guī)律總結(jié)】等比數(shù)列中任意項求解的兩種方法 (1)若已知a1和q,利用通項公式an=a1qn-1可求等比數(shù)列中的任意一項. (2)若已知等比數(shù)列中任意兩項的前提下,利用an=amqn-m可求等比數(shù)列中任意一項.,23,【變式訓(xùn)練】在等比數(shù)列{an}中,已知a1= an= q= 則n為( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】選C.等比數(shù)列{an}中,a1= an= q= 所以an=a1qn-1= 所以 即n-1=3,n=4.,24,【加固訓(xùn)練】在等比數(shù)列{an}中,若2a4=a6-a5,則公比q是 . 【解析】由已知得2a1q3=a1q5-a1q4,即2=q2-q, 所以q=-1或q=2. 答案:-1或2,25,類型二 等比中項及應(yīng)用 1.(2014·濟(jì)寧高二檢測)已知等比數(shù)列{an}中,a1=2,a5=18,則a2a3a4等于( ) A.36 B.216 C.±36 D.±216 2.(2015·蘭州高二檢測)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,則a4a5a6=( ) A.5 B.7 C.6 D.4,26,3.已知等比數(shù)列{an}的前三項依次為a-1,a+1,a+4,則an= .,27,【解題指南】1.由a1,a3,a5成等比數(shù)列,求出a3,再由a2,a3, a4成等比數(shù)列,求出a2·a4. 2.根據(jù)等比中項得a2,a8,從而得q,進(jìn)而求出a5,得a4a5a6. 3.由a-1,a+1,a+4成等比數(shù)列,根據(jù)等比中項的概念求出a 的值,從而得出通項.,28,【自主解答】1.選B.由a1,a3,a5成等比數(shù)列, 故a32=a1·a5=36,所以a3=6或a3=-6(舍), 又a2,a3,a4成等比數(shù)列, 所以a2·a4=a32, 故a2·a3·a4=a33=63=216. 2.選A.由a1a2a3=5,所以a2= 又a7a8a9=a83=10,故a8= 所以 =q6= ,所以q= 所以a4a5a6=a53=(a2·q3)3=a23·q9=( )3·( )9=,29,3.由已知可得(a+1)2=(a-1)(a+4), 解得a=5,所以a1=4,a2=6,所以q= 所以an= 答案:,30,【規(guī)律總結(jié)】等比中項應(yīng)用的三點注意 (1)由等比中項的定義可知 ?G2=ab?G=± ,所以只 有a,b同號時,a,b的等比中項有兩個,異號時,沒有等比中 項. (2)在一個等比數(shù)列中,從第二項起,每一項(有窮數(shù)列的末項 除外)都是它的前一項和后一項的等比中項. (3)a,G,b成等比數(shù)列等價于G2=ab(ab0).,31,【變式訓(xùn)練】 1.在等比數(shù)列{an}中,a1=-16,a4=8,則a7=( ) A.-4 B.±4 C.-2 D.±2 【解析】選A.因為數(shù)列{an}為等比數(shù)列,所以a42=a1·a7, 所以a7= =-4.,32,2.若a=45,b=80,則a,b的等比中項為 . 【解析】設(shè)a,b的等比中項為G,則G2=ab=45×80=3 600,所以G=±60. 答案:±60,33,【加固訓(xùn)練】如果-1,a,b,c,-9成等比數(shù)列,那么( ) A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9 C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9 【解析】選B.因為b2=(-1)×(-9)=9,且b與首項-1同號,所以b=-3,且a,c必同號. 所以ac=b2=9.,34,類型三 等比數(shù)列的證明 1.已知{an},{bn}都是等比數(shù)列,那么( ) A.{an+bn},{an·bn}都一定是等比數(shù)列 B.{an+bn}一定是等比數(shù)列,但{an·bn}不一定是等比數(shù)列 C.{an+bn}不一定是等比數(shù)列,但{an·bn}一定是等比數(shù)列 D.{an+bn},{an·bn}都不一定是等比數(shù)列 2.在數(shù)列{an}中,若an+1=2an+3(n≥1,n∈N*), 證明:數(shù)列{an+3}是等比數(shù)列.,35,【解題指南】1.對于能構(gòu)成等比數(shù)列的利用等比數(shù)列的定義 判定,而構(gòu)不成等比數(shù)列的可通過特例說明. 2.根據(jù)等比數(shù)列的定義,只需證明 等于常數(shù)即可.,36,【自主解答】1.選C.{an+bn}不一定是等比數(shù)列,如an=1,bn= -1,因為an+bn=0,所以{an+bn}不是等比數(shù)列.設(shè){an},{bn}的 公比分別為p,q,因為 =pq≠0,所以{an·bn} 一定是等比數(shù)列. 2.令an+1+λ=2(an+λ),與已知an+1=2an+3比較知λ=3, 所以an+1+3=2(an+3),即 =2, 所以數(shù)列{an+3}是首項為a1+3,公比為q=2的等比數(shù)列.,37,【延伸探究】題2條件不變,若a1=2,求數(shù)列{an}的通項公式. 【解析】由數(shù)列{an+3}是等比數(shù)列,當(dāng)a1=2時,a1+3=5,所以數(shù)列{an+3}是首項為5,公比q=2的等比數(shù)列,所以an+3= 5×2n-1, 即an=5×2n-1-3.,38,【規(guī)律總結(jié)】證明一個數(shù)列為等比數(shù)列的三種方法 (1)定義法:驗證 =q(常數(shù))是否成立. (2)等比中項法:證明an+12=anan+2,注意an≠0. (3)通項公式法:證明an=a1qn-1,這里a1≠0且q≠0. 提醒:利用等比數(shù)列的定義證明數(shù)列為等比數(shù)列時必須說明 為同一常數(shù).,39,類型四 等比數(shù)列中常見項的設(shè)法 1.(2014·紹興高一檢測)在3和9之間插入兩個正數(shù),使前3個 數(shù)成等比數(shù)列,后3個數(shù)成等差數(shù)列,則這兩個正數(shù)之和為 ( ),40,2.一個等比數(shù)列有三項,如果把第二項加上4,那么所得的三項就成為等差數(shù)列;如果再把這個等差數(shù)列的第三項加上32,那么所得的三項又成等比數(shù)列.求原來的等比數(shù)列.,41,【解題指南】1.根據(jù)前3個數(shù)成等比數(shù)列,設(shè)出這兩個數(shù),再由后三個數(shù)成等差數(shù)列列方程求解. 2.根據(jù)三個數(shù)成等比數(shù)列,設(shè)出這三個數(shù),再根據(jù)條件建立方程組求解.,42,【自主解答】1.選B.設(shè)這兩個正數(shù)為3q,3q2,則3q,3q2,9 成等差數(shù)列,所以6q2=3q+9,即2q2-q-3=0, 解得q= ,q=-1(舍),所以這兩個數(shù)為 ,其和為,43,2.設(shè)所求的等比數(shù)列為 ,a,aq. 由已知條件,得 化簡,得 解得 或 由q=3,a=6得所求數(shù)列為2,6,18. 由q=-5,a= 得所求數(shù)列為 經(jīng)檢驗,均符合題意, 故所求的等比數(shù)列為2,6,18或,44,【規(guī)律總結(jié)】幾個數(shù)成等比數(shù)列的設(shè)法 (1)三個數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為 ,a,aq. 推廣到一般:奇數(shù)個數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為: … , ,a,aq,aq2… (2)四個符號相同的數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為: , ,aq,aq3. 推廣到一般:偶數(shù)個符號相同的數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為: … , , ,aq,aq3,aq5…,45,【變式訓(xùn)練】有四個數(shù),前三個數(shù)成等比數(shù)列,后三個數(shù)成等差數(shù)列,首末兩項的和為21,中間兩項的和為18,求這四個數(shù).,46,【解析】設(shè)前三個數(shù)為 x,xq,第四個數(shù)為b, 因為后三個數(shù)成等差數(shù)列,所以有2xq=x+b, 解得b=2xq-x. 因首末兩項的和為21,中間兩項的和為18, 所以有 解得 或 故所求的四個數(shù)為3,6,12,18或,47,48,- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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