人教版九年級上冊 期末試卷（1）

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人教版九年級上冊 期末試卷（1） 一、精心選一選（本大題共10小題，每小題3分，共30分．每小題給出四個答案，其中只有一個是正確的） 1．（3分）下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（　?。? A．3（x+1）2=2（x+1） B． C．a(chǎn)x2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣1 2．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，將其折疊，使AB邊落在對角線AC上，得到折痕AE，則點E到點B的距離為（　　） A． B．2 C． D．3 3．（3分）在一個四邊形ABCD中，依次連接各邊的中點得到的四邊形是菱形，則對角線AC與BD需要滿足條件是（　?。? A．垂直 B．相等 C．垂直且相等 D．不再需要條件 4．（3分）已知點A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3）都在反比例函數(shù)y=的圖象上，則（　?。? A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 5．（3分）學生冬季運動裝原來每套的售價是100元，后經(jīng)連續(xù)兩次降價，現(xiàn)在的售價是81元，則平均每次降價的百分數(shù)是（　　） A．9% B．8.5% C．9.5% D．10% 6．（3分）甲、乙兩地相距60km，則汽車由甲地行駛到乙地所用時間y（小時）與行駛速度x（千米/時）之間的函數(shù)圖象大致是（　?。? A． B． C． D． 7．（3分）二次三項式x2﹣4x+3配方的結(jié)果是（　?。? A．（x﹣2）2+7 B．（x﹣2）2﹣1 C．（x+2）2+7 D．（x+2）2﹣1 8．（3分）函數(shù)y=的圖象經(jīng)過（1，﹣1），則函數(shù)y=kx﹣2的圖象是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如圖，矩形ABCD，R是CD的中點，點M在BC邊上運動，E，F(xiàn)分別是AM，MR的中點，則EF的長隨著M點的運動（　?。? A．變短 B．變長 C．不變 D．無法確定 10．（3分）如圖，點A在雙曲線y=上，且OA=4，過A作AC⊥x軸，垂足為C，OA的垂直平分線交OC于B，則△ABC的周長為（　?。? A． B．5 C． D． 　 二、你能填得又快又準嗎？（共8小題，每題4分，共32分） 11．（4分）反比例函數(shù)的圖象在一、三象限，則k應滿足　?。? 12．（4分）把一個三角形改做成和它相似的三角形，如果面積縮小到原來的倍，那么邊長應縮小到原來的　　倍． 13．（4分）已知一元二次方程（a﹣1）x2+7ax+a2+3a﹣4=0有一個根為零，則a的值為　?。? 14．（4分）已知==，則 =　?。? 15．（4分）如圖，雙曲線上有一點A，過點A作AB⊥x軸于點B，△AOB的面積為2，則該雙曲線的表達式為　?。? 16．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=1，BD=4，則CD=　?。? 17．（4分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于點O，S△AOD：S△COB=1：9，則S△DOC：S△BOC=　?。? 18．（4分）如圖，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC上，DE∥BC．若AD=4，DB=2，則的值為　?。? 　 三、解答題：（共9道題，總分88分） 19．（8分）解方程 （1）2x2﹣2x﹣5=0； （2）（y+2）2=（3y﹣1）2． 20．（8分）已知，如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，AB=5m，某一時刻AB在陽光下的投影BC=3m． （1）請你在圖中畫出此時DE在陽光下的投影； （2）在測量AB的投影時，同時測量出DE在陽光下的投影長為6m，請你計算DE的長． 21．（10分）如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，且AF=BD，連接BF． （1）線段BD與CD有什么數(shù)量關(guān)系，并說明理由； （2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD是矩形？并說明理由． 22．（10分）已知甲同學手中藏有三張分別標有數(shù)字，，1的卡片，乙同學手中藏有三張分別標有1，3，2的卡片，卡片外形相同．現(xiàn)從甲乙兩人手中各任取一張卡片，并將它們的數(shù)字分別記為a，b． （1）請你用樹形圖或列表法列出所有可能的結(jié)果． （2）現(xiàn)制定這樣一個游戲規(guī)則：若所選出的a，b能使得ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則稱甲獲勝；否則稱乙獲勝．請問這樣的游戲規(guī)則公平嗎？請你用概率知識解釋． 23．（10分）如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF． （1）試說明AC=EF； （2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形． 24．（10分）如圖，已知A （﹣4，n），B （2，﹣4）是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù)的圖象的兩個交點； （1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式； （2）求直線AB與x軸的交點C的坐標及△AOB的面積； （3）求不等式的解集（請直接寫出答案）． 25．（10分）某商場禮品柜臺元旦期間購進大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元．為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價每降低0.1元，那么商場平均每天可多售出100張，商場要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應降價多少元？ 26．（10分）如圖，P1、P2是反比例函數(shù)（k＞0）在第一象限圖象上的兩點，點A1的坐標為（2，0），若△P1OA1與△P2A1A2均為等邊三角形． （1）求此反比例函數(shù)的解析式； （2）求A2點的坐標． 27．（12分）如圖，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，動點E（與點A，C不重合）在AC邊上，EF∥AB交BC于F點． （1）當△ECF的面積與四邊形EABF的面積相等時，求CE的長； （2）當△ECF的周長與四邊形EABF的周長相等時，求CE的長； （3）試問在AB上是否存在點P，使得△EFP為等腰直角三角形？若不存在，請簡要說明理由；若存在，請求出EF的長． 　  參考答案與試題解析 一、精心選一選（本大題共10小題，每小題3分，共30分．每小題給出四個答案，其中只有一個是正確的） 1．（3分）下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（　?。? A．3（x+1）2=2（x+1） B． C．a(chǎn)x2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣1 【考點】一元二次方程的定義． 【分析】一元二次方程有四個特點： （1）只含有一個未知數(shù)； （2）未知數(shù)的最高次數(shù)是2； （3）是整式方程． （4）二次項系數(shù)不為0． 【解答】解： A、3（x+1）2=2（x+1）化簡得3x2+4x﹣4=0，是一元二次方程，故正確； B、方程不是整式方程，故錯誤； C、若a=0，則就不是一元二次方程，故錯誤； D、是一元一次方程，故錯誤． 故選：A． 【點評】判斷一個方程是不是一元二次方程： 首先要看是不是整式方程； 然后看化簡后是不是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2． 這是一個需要識記的內(nèi)容． 　 2．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，將其折疊，使AB邊落在對角線AC上，得到折痕AE，則點E到點B的距離為（　?。? A． B．2 C． D．3 【考點】翻折變換（折疊問題）；勾股定理；矩形的性質(zhì)． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】由于AE是折痕，可得到AB=AF，BE=EF，設出未知數(shù)，在Rt△EFC中利用勾股定理列出方程，通過解方程可得答案． 【解答】解：設BE=x， ∵AE為折痕， ∴AB=AF，BE=EF=x，∠AFE=∠B=90°， Rt△ABC中，AC===5， ∴Rt△EFC中，F(xiàn)C=5﹣3=2，EC=4﹣X， ∴（4﹣x）2=x2+22， 解得x=． 故選A． 【點評】本題考查了折疊問題、勾股定理和矩形的性質(zhì)；解題中，找準相等的量是正確解答題目的關(guān)鍵． 　 3．（3分）在一個四邊形ABCD中，依次連接各邊的中點得到的四邊形是菱形，則對角線AC與BD需要滿足條件是（　?。? A．垂直 B．相等 C．垂直且相等 D．不再需要條件 【考點】中點四邊形． 【分析】因為菱形的四邊相等，再根據(jù)三角形的中位線定理可得，對角線AC與BD需要滿足條件是相等． 【解答】解：∵四邊形EFGH是菱形， ∴EH=FG=EF=HG=BD=AC，故AC=BD． 故選B． 【點評】本題很簡單，考查的是三角形中位線的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于牢記有關(guān)的判定定理，難度不大． 　 4．（3分）已知點A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3）都在反比例函數(shù)y=的圖象上，則（　?。? A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征． 【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點解答即可． 【解答】解：∵k＞0，函數(shù)圖象在一，三象限，由題意可知，點A、B在第三象限，點C在第一象限， ∵第三象限內(nèi)點的縱坐標總小于第一象限內(nèi)點的縱坐標， ∴y3最大， ∵在第三象限內(nèi)，y隨x的增大而減小， ∴y2＜y1． 故選：D． 【點評】在反比函數(shù)中，已知各點的橫坐標，比較縱坐標的大小，首先應區(qū)分各點是否在同一象限內(nèi)．在同一象限內(nèi)，按同一象限內(nèi)點的特點來比較，不在同一象限內(nèi)，按坐標系內(nèi)點的特點來比較． 　 5．（3分）學生冬季運動裝原來每套的售價是100元，后經(jīng)連續(xù)兩次降價，現(xiàn)在的售價是81元，則平均每次降價的百分數(shù)是（　?。? A．9% B．8.5% C．9.5% D．10% 【考點】一元二次方程的應用． 【專題】增長率問題． 【分析】設平均每次降價的百分數(shù)是x，則第一次降價后的價格是100（1﹣x），第二次降價后的價格是100（1﹣x）（1 ﹣x），根據(jù)“現(xiàn)在的售價是81元”作為相等關(guān)系列方程求解． 【解答】解：設平均每次降價的百分數(shù)是x，依題意得100（1﹣x）2=81， 解方程得x1=0.1，x2=1.9（舍去） 所以平均每次降價的百分數(shù)是10%． 故選D． 【點評】本題運用增長率（下降率）的模型解題．若設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2=b．（當增長時中間的“±”號選“+”，當降低時中間的“±”號選“﹣”） 　 6．（3分）甲、乙兩地相距60km，則汽車由甲地行駛到乙地所用時間y（小時）與行駛速度x（千米/時）之間的函數(shù)圖象大致是（　　） A． B． C． D． 【考點】反比例函數(shù)的應用． 【分析】根據(jù)實際意義，寫出函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的類型，以及自變量的取值范圍即可進行判斷． 【解答】解：根據(jù)題意可知時間y（小時）與行駛速度x（千米/時）之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=（x＞0），所以函數(shù)圖象大致是B． 故選B． 【點評】主要考查了反比例函數(shù)的應用．解題的關(guān)鍵是根據(jù)實際意義列出函數(shù)關(guān)系式從而判斷它的圖象類型，要注意自變量x的取值范圍，結(jié)合自變量的實際范圍作圖． 　 7．（3分）二次三項式x2﹣4x+3配方的結(jié)果是（　?。? A．（x﹣2）2+7 B．（x﹣2）2﹣1 C．（x+2）2+7 D．（x+2）2﹣1 【考點】配方法的應用． 【分析】在本題中，若所給的式子要配成完全平方式，常數(shù)項應該是一次項系數(shù)﹣4的一半的平方；可將常數(shù)項3拆分為4和﹣1，然后再按完全平方公式進行計算． 【解答】解：x2﹣4x+3=x2﹣4x+4﹣1=（x﹣2）2﹣1． 故選B． 【點評】在對二次三項式進行配方時，一般要將二次項系數(shù)化為1，然后將常數(shù)項進行拆分，使得其中一個常數(shù)是一次項系數(shù)的一半的平方． 　 8．（3分）函數(shù)y=的圖象經(jīng)過（1，﹣1），則函數(shù)y=kx﹣2的圖象是（　　） A． B． C． D． 【考點】一次函數(shù)的圖象；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征． 【專題】待定系數(shù)法． 【分析】先根據(jù)函數(shù)y=的圖象經(jīng)過（1，﹣1）求出k的值，然后求出函數(shù)y=kx﹣2的解析式，再根據(jù)一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點坐標解答． 【解答】解：∵圖象經(jīng)過（1，﹣1）， ∴k=xy=﹣1， ∴函數(shù)解析式為y=﹣x﹣2， 所以函數(shù)圖象經(jīng)過（﹣2，0）和（0，﹣2）． 故選A． 【點評】主要考查一次函數(shù)y=kx+b的圖象．當k＜0，b＜0時，函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限． 　 9．（3分）如圖，矩形ABCD，R是CD的中點，點M在BC邊上運動，E，F(xiàn)分別是AM，MR的中點，則EF的長隨著M點的運動（　?。? A．變短 B．變長 C．不變 D．無法確定 【考點】三角形中位線定理；矩形的性質(zhì)． 【專題】壓軸題；動點型． 【分析】易得EF為三角形AMR的中位線，那么EF長恒等于定值AR的一半． 【解答】解：∵E，F(xiàn)分別是AM，MR的中點， ∴EF=AR， ∴無論M運動到哪個位置EF的長不變，故選C． 【點評】本題考查三角形中位線等于第三邊的一半的性質(zhì)． 　 10．（3分）如圖，點A在雙曲線y=上，且OA=4，過A作AC⊥x軸，垂足為C，OA的垂直平分線交OC于B，則△ABC的周長為（　?。? A． B．5 C． D． 【考點】反比例函數(shù)綜合題． 【專題】綜合題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合． 【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可知AB=OB，由此推出△ABC的周長=OC+AC，設OC=a，AC=b，根據(jù)勾股定理和函數(shù)解析式即可得到關(guān)于a、b的方程組，解之即可求出△ABC的周長． 【解答】解：∵OA的垂直平分線交OC于B， ∴AB=OB， ∴△ABC的周長=OC+AC， 設OC=a，AC=b， 則：， 解得a+b=2， 即△ABC的周長=OC+AC=2． 故選：A． 【點評】本題考查反比例函數(shù)圖象性質(zhì)和線段中垂線性質(zhì)，以及勾股定理的綜合應用，關(guān)鍵是一個轉(zhuǎn)換思想，即把求△ABC的周長轉(zhuǎn)換成求OC+AC即可解決問題． 　 二、你能填得又快又準嗎？（共8小題，每題4分，共32分） 11．（4分）反比例函數(shù)的圖象在一、三象限，則k應滿足　k＞﹣2　． 【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】由于反比例函數(shù)的圖象在一、三象限內(nèi)，則k+2＞0，解得k的取值范圍即可． 【解答】解：由題意得，反比例函數(shù)的圖象在二、四象限內(nèi)， 則k+2＞0， 解得k＞﹣2． 故答案為k＞﹣2． 【點評】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，重點是注意y=（k≠0）中k的取值，①當k＞0時，反比例函數(shù)的圖象位于一、三象限；②當k＜0時，反比例函數(shù)的圖象位于二、四象限． 　 12．（4分）把一個三角形改做成和它相似的三角形，如果面積縮小到原來的倍，那么邊長應縮小到原來的　　倍． 【考點】相似三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方解答即可． 【解答】解：∵改做的三角形與原三角形相似，且面積縮小到原來的倍， ∴邊長應縮小到原來的倍． 故答案為：． 【點評】本題考查了相似三角形面積的比等于相似比的平方的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 13．（4分）已知一元二次方程（a﹣1）x2+7ax+a2+3a﹣4=0有一個根為零，則a的值為　﹣4?。? 【考點】一元二次方程的解；一元二次方程的定義． 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立；將x=0代入原方程即可求得a的值． 【解答】解：把x=0代入一元二次方程（a﹣1）x2+7ax+a2+3a﹣4=0， 可得a2+3a﹣4=0， 解得a=﹣4或a=1， ∵二次項系數(shù)a﹣1≠0， ∴a≠1， ∴a=﹣4． 故答案為：﹣4． 【點評】本題逆用一元二次方程解的定義易得出a的值，但不能忽視一元二次方程成立的條件a﹣1≠0，因此在解題時要重視解題思路的逆向分析． 　 14．（4分）已知==，則 =　?。? 【考點】比例的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)已知比例關(guān)系，用未知量k分別表示出a、b和c的值，代入原式中，化簡即可得到結(jié)果． 【解答】解：設===k， ∴a=5k，b=3k，c=4k， ∴===， 故答案為：． 【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 15．（4分）如圖，雙曲線上有一點A，過點A作AB⊥x軸于點B，△AOB的面積為2，則該雙曲線的表達式為　y=﹣?。? 【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義． 【專題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合． 【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)圖象所在的象限判斷出k的符號，再根據(jù)S△AOB=2求出k的值即可． 【解答】解：∵反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，∴k＜0， ∵S△AOB=2，∴|k|=4，∴k=﹣4，即可得雙曲線的表達式為：y=﹣， 故答案為：y=﹣． 【點評】本題考查的是反比例系數(shù)k的幾何意義，即在反比例函數(shù)的圖象上任意一點象坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構(gòu)成的三角形的面積是，且保持不變． 　 16．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=1，BD=4，則CD=　2?。? 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】首先證△ACD∽△CBD，然后根據(jù)相似三角形的對應邊成比例求出CD的長． 【解答】解：Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB； ∴∠ACD=∠B=90°﹣∠A； 又∵∠ADC=∠CDB=90°， ∴△ACD∽△CBD； ∴CD2=AD?BD=4，即CD=2． 【點評】此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)． 　 17．（4分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于點O，S△AOD：S△COB=1：9，則S△DOC：S△BOC=　1：3?。? 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；梯形． 【專題】壓軸題． 【分析】根據(jù)在梯形ABCD中，AD∥BC，AC，易得△AOD∽△COB，且S△AOD：S△COB=1：9，可求=，則S△AOD：S△DOC=1：3，所以S△DOC：S△BOC=1：3． 【解答】解：根據(jù)題意，AD∥BC ∴△AOD∽△COB ∵S△AOD：S△COB=1：9 ∴= 則S△AOD：S△DOC=1：3 所以S△DOC：S△BOC=3：9=1：3． 【點評】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，相似三角形面積的比等于相似比的平方． 　 18．（4分）如圖，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC上，DE∥BC．若AD=4，DB=2，則的值為　　． 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】由AD=3，DB=2，即可求得AB的長，又由DE∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得DE：BC=AD：AB，則可求得答案． 【解答】解：∵AD=4，DB=2， ∴AB=AD+BD=4+2=6， ∵DE∥BC， △ADE∽△ABC，∴=， 故答案為：． 【點評】此題考查了平行線分線段成比例定理．此題比較簡單，注意掌握比例線段的對應關(guān)系是解此題的關(guān)鍵． 　 三、解答題：（共9道題，總分88分） 19．（8分）解方程 （1）2x2﹣2x﹣5=0； （2）（y+2）2=（3y﹣1）2． 【考點】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法． 【分析】（1）利用求根公式計算即可； （2）利用因式分解可得到（4y+1）（3﹣2y）=0，可求得方程的解． 【解答】解： （1）∵a=2，b=﹣2，c=﹣5， ∴△=（﹣2）2﹣4×2×（﹣5）=48＞0， ∴方程有兩個不相等的實數(shù)根， ∴x==， 即x1=，x2=， （2）移項得（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0， 分解因式得（4y+1）（3﹣2y）=0， 解得y1=﹣，y2=． 【點評】本題主要考查一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式是解題的關(guān)鍵． 　 20．（8分）已知，如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，AB=5m，某一時刻AB在陽光下的投影BC=3m． （1）請你在圖中畫出此時DE在陽光下的投影； （2）在測量AB的投影時，同時測量出DE在陽光下的投影長為6m，請你計算DE的長． 【考點】平行投影；相似三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定． 【專題】計算題；作圖題． 【分析】（1）根據(jù)投影的定義，作出投影即可； （2）根據(jù)在同一時刻，不同物體的物高和影長成比例；構(gòu)造比例關(guān)系．計算可得DE=10（m）． 【解答】解：（1）連接AC，過點D作DF∥AC，交直線BC于點F，線段EF即為DE的投影． （2）∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE． ∵∠ABC=∠DEF=90°∴△ABC∽△DEF． ∴，∴∴DE=10（m）． 說明：畫圖時，不要求學生做文字說明，只要畫出兩條平行線AC和DF，再連接EF即可． 【點評】本題考查了平行投影特點：在同一時刻，不同物體的物高和影長成比例．要求學生通過投影的知識并結(jié)合圖形解題． 　 21．（10分）如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，且AF=BD，連接BF． （1）線段BD與CD有什么數(shù)量關(guān)系，并說明理由； （2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD是矩形？并說明理由． 【考點】矩形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角邊”證明△AEF和△DEC全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AF=CD，再利用等量代換即可得證； （2）先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形AFBD是平行四邊形，再根據(jù)一個角是直角的平行四邊形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知必須是AB=AC． 【解答】解：（1）BD=CD． 理由如下：依題意得AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE， ∵E是AD的中點，∴AE=DE， 在△AEF和△DEC中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD， ∵AF=BD，∴BD=CD； （2）當△ABC滿足：AB=AC時，四邊形AFBD是矩形． 理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形， ∵AB=AC，BD=CD（三線合一），∴∠ADB=90°，∴?AFBD是矩形． 【點評】本題考查了矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，是基礎題，明確有一個角是直角的平行四邊形是矩形是解本題的關(guān)鍵． 　 22．（10分）已知甲同學手中藏有三張分別標有數(shù)字，，1的卡片，乙同學手中藏有三張分別標有1，3，2的卡片，卡片外形相同．現(xiàn)從甲乙兩人手中各任取一張卡片，并將它們的數(shù)字分別記為a，b． （1）請你用樹形圖或列表法列出所有可能的結(jié)果． （2）現(xiàn)制定這樣一個游戲規(guī)則：若所選出的a，b能使得ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則稱甲獲勝；否則稱乙獲勝．請問這樣的游戲規(guī)則公平嗎？請你用概率知識解釋． 【考點】游戲公平性；根的判別式；列表法與樹狀圖法． 【分析】（1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后根據(jù)樹狀圖即可求得所有等可能的結(jié)果； （2）利用一元二次方程根的判別式，即可判定各種情況下根的情況，然后利用概率公式求解即可求得甲、乙獲勝的概率，比較概率大小，即可確定這樣的游戲規(guī)是否公平． 【解答】解：（1）畫樹狀圖得： ∵（a，b）的可能結(jié)果有（，1）、（，3）、（，2）、（，1）、（，3）、（，2）、（1，1）、（1，3）及（1，2）， ∴（a，b）取值結(jié)果共有9種； （2）∵當a=，b=1時，△=b2﹣4ac=﹣1＜0，此時ax2+bx+1=0無實數(shù)根， 當a=，b=3時，△=b2﹣4ac=7＞0，此時ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根， 當a=，b=2時，△=b2﹣4ac=2＞0，此時ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根， 當a=，b=1時，△=b2﹣4ac=0，此時ax2+bx+1=0有兩個相等的實數(shù)根， 當a=，b=3時，△=b2﹣4ac=8＞0，此時ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根， 當a=，b=2時，△=b2﹣4ac=3＞0，此時ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根， 當a=1，b=1時，△=b2﹣4ac=﹣3＜0，此時ax2+bx+1=0無實數(shù)根， 當a=1，b=3時，△=b2﹣4ac=5＞0，此時ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根， 當a=1，b=2時，△=b2﹣4ac=0，此時ax2+bx+1=0有兩個相等的實數(shù)根， ∴P（甲獲勝）=P（△＞0）=＞P（乙獲勝）=， ∴這樣的游戲規(guī)則對甲有利，不公平． 【點評】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平． 　 23．（10分）如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF． （1）試說明AC=EF； （2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形． 【考點】平行四邊形的判定；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】（1）首先由Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又由△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后證得△AFE≌△BCA，繼而證得結(jié)論； （2）根據(jù)（1）知道EF=AC，而△ACD是等邊三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根據(jù)平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ADFE是平行四邊形． 【解答】證明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°， ∴AB=2BC， 又∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB， ∴AB=2AF ∴AF=BC， 在Rt△AFE和Rt△BCA中， ， ∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL）， ∴AC=EF； （2）∵△ACD是等邊三角形， ∴∠DAC=60°，AC=AD， ∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90° 又∵EF⊥AB， ∴EF∥AD， ∵AC=EF，AC=AD， ∴EF=AD， ∴四邊形ADFE是平行四邊形． 【點評】此題考查了平行四邊形的判定、等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意證得Rt△AFE≌Rt△BCA是關(guān)鍵． 　 24．（10分）如圖，已知A （﹣4，n），B （2，﹣4）是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù)的圖象的兩個交點； （1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式； （2）求直線AB與x軸的交點C的坐標及△AOB的面積； （3）求不等式的解集（請直接寫出答案）． 【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題． 【專題】計算題；壓軸題；待定系數(shù)法． 【分析】（1）把A（﹣4，n），B（2，﹣4）分別代入一次函數(shù)y=kx+b和反比例函數(shù)y=，運用待定系數(shù)法分別求其解析式； （2）把三角形AOB的面積看成是三角形AOC和三角形OCB的面積之和進行計算； （3）由圖象觀察函數(shù)y=的圖象在一次函數(shù)y=kx+b圖象的上方，對應的x的范圍． 【解答】解：（1）∵B（2，﹣4）在y=上， ∴m=﹣8． ∴反比例函數(shù)的解析式為y=﹣． ∵點A（﹣4，n）在y=﹣上， ∴n=2． ∴A（﹣4，2）． ∵y=kx+b經(jīng)過A（﹣4，2），B（2，﹣4）， ∴． 解之得 ． ∴一次函數(shù)的解析式為y=﹣x﹣2． （2）∵C是直線AB與x軸的交點， ∴當y=0時，x=﹣2． ∴點C（﹣2，0）． ∴OC=2． ∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=×2×2+×2×4=6． （3）不等式的解集為：﹣4＜x＜0或x＞2． 【點評】本題考查了用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的比例系數(shù)k，求出函數(shù)解析式；要能夠熟練借助直線和y軸的交點運用分割法求得不規(guī)則圖形的面積．同時間接考查函數(shù)的增減性，從而來解不等式． 　 25．（10分）某商場禮品柜臺元旦期間購進大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元．為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價每降低0.1元，那么商場平均每天可多售出100張，商場要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應降價多少元？ 【考點】一元二次方程的應用． 【專題】經(jīng)濟問題；壓軸題． 【分析】等量關(guān)系為：（原來每張賀年卡盈利﹣降價的價格）×（原來售出的張數(shù)+增加的張數(shù)）=120，把相關(guān)數(shù)值代入求得正數(shù)解即可． 【解答】解：設每張賀年卡應降價x元，現(xiàn)在的利潤是（0.3﹣x）元，則商城多售出100x÷0.1=1000x張． （0.3﹣x）（500+1000x）=120， 解得x1=﹣0.3（降價不能為負數(shù)，不合題意，舍去），x2=0.1． 答：每張賀年卡應降價0.1元． 【點評】考查一元二次方程的應用；得到每降價x元多賣出的賀年卡張數(shù)是解決本題的難點；根據(jù)利潤得到相應的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵． 　 26．（10分）如圖，P1、P2是反比例函數(shù)（k＞0）在第一象限圖象上的兩點，點A1的坐標為（2，0），若△P1OA1與△P2A1A2均為等邊三角形． （1）求此反比例函數(shù)的解析式； （2）求A2點的坐標． 【考點】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】（1）首先作P1B⊥OA1于點B，由等邊△P1OA1中，OA1=2，可得OB=1，P1B=，繼而求得點P1的坐標，然后利用待定系數(shù)法即可求得此反比例函數(shù)的解析式； （2）首先作P2C⊥A1A2于點C，由等邊△P2A1A2，設A1C=a，可得P2C=，OC=2+a，然后把P2點坐標（2+a，）代入，繼而求得a的值，則可求得A2點的坐標． 【解答】解：（1）作P1B⊥OA1于點B， ∵等邊△P1OA1中，OA1=2， ∴OB=1，P1B=， 把P1點坐標（1，）代入， 解得：， ∴； （2）作P2C⊥A1A2于點C， ∵等邊△P2A1A2，設A1C=a， 則P2C=，OC=2+a， 把P2點坐標（2+a，）代入， 即：， 解得，（舍去）， ∴OA2=2+2a=， ∴A2（，0）． 【點評】此題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式以及等邊三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應用． 　 27．（12分）如圖，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，動點E（與點A，C不重合）在AC邊上，EF∥AB交BC于F點． （1）當△ECF的面積與四邊形EABF的面積相等時，求CE的長； （2）當△ECF的周長與四邊形EABF的周長相等時，求CE的長； （3）試問在AB上是否存在點P，使得△EFP為等腰直角三角形？若不存在，請簡要說明理由；若存在，請求出EF的長． 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】（1）因為EF∥AB，所以容易想到用相似三角形的面積比等于相似比的平方解題； （2）根據(jù)周長相等，建立等量關(guān)系，列方程解答； （3）先畫出圖形，根據(jù)圖形猜想P點可能的位置，再找到相似三角形，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答． 【解答】解：（1）∵△ECF的面積與四邊形EABF的面積相等 ∴S△ECF：S△ACB=1：2 又∵EF∥AB∴△ECF∽△ACB == ∵AC=4， ∴CE=； （2）設CE的長為x ∵△ECF∽△ACB ∴= ∴CF= 由△ECF的周長與四邊形EABF的周長相等， 得x+EF+x=（4﹣x）+5+（3﹣x）+EF 解得 ∴CE的長為； （3）△EFP為等腰直角三角形，有兩種情況： ①如圖1，假設∠PEF=90°，EP=EF 由AB=5，BC=3，AC=4，得∠C=90° ∴Rt△ACB斜邊AB上高CD= 設EP=EF=x，由△ECF∽△ACB，得： = 即= 解得x=，即EF= 當∠EFP′=90°，EF=FP′時，同理可得EF=； ②如圖2，假設∠EPF=90°，PE=PF時，點P到EF的距離為EF 設EF=x，由△ECF∽△ACB，得： =，即= 解得x=，即EF= 綜上所述，在AB上存在點P，使△EFP為等腰直角三角形，此時EF=或EF=． 【點評】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，有一定的開放性，難點在于作出輔助線就具體情況進行分類討論． 第29頁（共29頁）