全易通數學湘教版八年級上期末測試題

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期末測試題 一、選擇題（每小題3分，共10小題，滿分30分．請把表示正確答案的字母填入下表中對應的題號下．） 1．（3分）下列代數式①，②，③，④中，分式有（ ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 2．（3分）根據分式的基本性質填空：=，括號內應填（ ） A．x2﹣3x B．x3﹣3 C．x2﹣3 D．x4﹣3x 3．（3分）下列計算正確的是（ ） A．30=0 B．3﹣2=﹣6 C．3﹣2=﹣ D．3﹣2= 4．（3分）若代數式有意義，則x必須滿足條件（ ） A．x≥﹣1 B．x≠﹣1 C．x≥1 D．x≤﹣1 5．（3分）已知一個等腰三角形的兩邊長分別是5cm與6cm，則這個等腰三角形的周長為（ ） A．16cm B．17cm C．16cm或17cm D．無法確定 6．（3分）下列命題是真命題的是（ ） A．如果a是整數，那么a是有理數 B．內錯角相等 C．任何實數的絕對值都是正數 D．兩邊一角對應相等的兩個三角形全等 7．（3分）不等式組的解集在數軸上表示如圖所示，則該不等式組可能為（ ） A． B． C． D． 8．（3分）（﹣4）2的平方根是（ ） A．4 B．±4 C．2 D．±2 9．（3分）已知a，b均為有理數，且a+b=（2﹣）2，則a、b的值為（ ） A．a=4，b=3 B．a=4，b=4 C．a=7，b=﹣4 D．a=7，b=4 10．（3分）方程的解是x等于（ ） A．2 B．﹣2 C．±2 D．無解 二、填空題（每小題3分，共8小題，滿分24分） 11．（3分）科學實驗發(fā)現有一種新型可入肺顆粒物的直徑約為2.5μm（1μm=0.000001m），用科學記數法表示這種顆粒物的直徑約為 m． 12．（3分）在實數范圍內分解因式：x2﹣3= ． 13．（3分）實數﹣4的絕對值等于 ． 14．（3分）如圖，在△BCD中，∠C=30°，∠D=40°，點A為CB的延長線上一點，BE為∠ABD的角平分線，則∠ABE= °． 15．（3分）如圖，已知AD=BC，則再添加一個條件 （只填一種），可證出△ABC≌△BAD． 16．（3分）計算：（）2015（）2016= ． 17．（3分）巳知等腰三角形一底角為30°，則這個等腰三角形頂角的大小是 度． 18．（3分）如圖，已知在△ABC中，BC=10cm，AB的垂直平分線EF交BC與點F，AC的垂直平分線MN交BC于點N，則△AFN的周長為 cm． 三、解答題（19題每小題8分，20題6分，滿分14分） 19．（8分）①化簡： ②計算：． 20．（6分）求當x取何值時，代數式﹣的值不小于1？ 四、分析與說理（每小題8分，共2小題，滿分16分） 21．（8分）已知：如圖所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BD⊥AC，垂足為點D，CE⊥AB，垂足為點E．求證：BD=CE． 22．（8分）已知：如圖所示，點D、E分別在等邊△ABC的邊BC、AC上，且AE=CD，AD與BE相交于點F． （1）求證：△ABE≌△CAD； （2）求∠BFD的度數． 五、實踐與應用（每小題8分，共2小題，滿分16分） 23．（8分）婁底到長沙的距離約為120km，小劉開著小轎車，小張開著大貨車，都從婁底去長沙，小劉比小張晚出發(fā)15分鐘，最后兩車同時到達長沙，已知小轎車的速度是大貨車速度的1.2倍，求小轎車和大貨車的速度各是多少？（列方程解答） 24．（8分）某校組織開展了“婁底是我家，建設婁底靠大家”的環(huán)保知識競賽，共25道競賽題，選對一題得4分，不選或選錯每題扣2分，大賽組委會規(guī)定總得分不低于80分獲獎，那么至少應選對多少道題才能獲獎？（列不等式解答） 六、閱讀與探究（每小題10分，共2小題，滿分20分） 25．（10分）閱讀下列材料，并解決問題： ①已知方程x2+3x+2=0的兩根分別為x1=﹣1，x2=﹣2，計算：x1+x2= ，x1?x2= ②已知方程x2﹣3x﹣4=0的兩根分別為x1=4，x2=﹣1，計算：x1+x2= ，x1?x2= ③已知關于x的方程x2+px+q=0有兩根分別記作x1，x2，且x1=，x2=，請通過計算x1+x2及x1?x2，探究出它們與p、q的關系． 26．（10分）在長方形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中點，一塊三角板的直角頂點與點E重合，將三角板繞點E按順時針方向旋轉，當三角板的兩直角邊分別與AB、BC分別相交于點M，N時，觀察或測量BM與CN的長度，你能得到什么結論？并證明你的結論．  參考答案： 一、選擇題（每小題3分，共10小題，滿分30分．請把表示正確答案的字母填入下表中對應的題號下．） 1．（3分）下列代數式①，②，③，④中，分式有（ ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【分析】根據分式的定義看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式，即可得出答案． 【解答】解：①是分式；②分母中不含字母，不是分式；③分母中不含字母，不是分式；④分母中含有字母是分式． 故選：B． 【點評】本題主要考查分式的定義，明確π不是字母是一個常數是解題的關鍵． 2．（3分）根據分式的基本性質填空：=，括號內應填（ ） A．x2﹣3x B．x3﹣3 C．x2﹣3 D．x4﹣3x 【分析】把分式的分母與分子同時除以x即可得出結論． 【解答】解：∵分式的分母與分子同時除以x得，=． ∴括號內應填x2﹣3． 故選C． 【點評】本題考查的是分式的基本性質，熟知分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變是解答此題的關鍵． 3．（3分）下列計算正確的是（ ） A．30=0 B．3﹣2=﹣6 C．3﹣2=﹣ D．3﹣2= 【分析】根據零指數冪：a0=1（a≠0），負整數指數冪：a﹣p=（a≠0，p為正整數）進行計算． 【解答】解：30=1，3﹣2=， 故選：D． 【點評】此題主要考查了零指數冪和負整數指數冪，負整數指數為正整數指數的倒數；任何非0數的0次冪等于1． 4．（3分）若代數式有意義，則x必須滿足條件（ ） A．x≥﹣1 B．x≠﹣1 C．x≥1 D．x≤﹣1 【分析】根據二次根式中的被開方數必須是非負數列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：由題意得，x+1≥0， 解得，x≥﹣1， 故選：A． 【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開方數必須是非負數是解題的關鍵． 5．（3分）已知一個等腰三角形的兩邊長分別是5cm與6cm，則這個等腰三角形的周長為（ ） A．16cm B．17cm C．16cm或17cm D．無法確定 【分析】分腰為6cm和腰為5cm兩種情況，再求其周長． 【解答】解：當腰為6cm時，則三角形的三邊長分別為6cm、6cm、5cm，滿足三角形的三邊關系，周長為17cm； 當腰為5時，則三角形的三邊長分別為5cm、5cm、6cm，滿足三角形的三邊關系，周長為16cm； 綜上可知，等腰三角形的周長為16cm或17cm． 故選C． 【點評】本題主要考查等腰三角形的性質，掌握等腰三角形的兩腰相等是解題的關鍵． 6．（3分）下列命題是真命題的是（ ） A．如果a是整數，那么a是有理數 B．內錯角相等 C．任何實數的絕對值都是正數 D．兩邊一角對應相等的兩個三角形全等 【分析】根據有理數的分類對A進行判斷；根據平行線的性質對B進行判斷；根據絕對值的意義對C進行判斷；根據全等三角形的判定方法對D進行判斷． 【解答】解：A、如果a是整數，那么a是有理數，所以A選項正確； B、兩直線平行，內錯角相等，所以B選項錯誤； C、任何實數的絕對值都是非負數，所以C選項錯誤； D、兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形，所以D選項錯誤． 故選A． 【點評】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理． 7．（3分）不等式組的解集在數軸上表示如圖所示，則該不等式組可能為（ ） A． B． C． D． 【分析】寫出圖中表示的兩個不等式的解集，這兩個式子就是不等式．這兩個式子組成的不等式組就滿足條件． 【解答】解：由圖示可看出，從﹣1出發(fā)向右畫出的線且﹣1處是空心圓，表示x＞﹣1； 從2出發(fā)向左畫出的線且2處是實心圓，表示x≤2，所以這個不等式組為． 故選A． 【點評】不等式組解集在數軸上的表示方法：把每個不等式的解集在數軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數軸上的點把數軸分成若干段，如果數軸的某一段上面表示解集的線的條數與不等式的個數一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示． 8．（3分）（﹣4）2的平方根是（ ） A．4 B．±4 C．2 D．±2 【分析】根據平方根的概念，推出16的平方根為±4． 【解答】解：（﹣4）2的平方根是±4， 故選B 【點評】本題主要考查平方根的定義，關鍵在于推出（±4）2=16． 9．（3分）已知a，b均為有理數，且a+b=（2﹣）2，則a、b的值為（ ） A．a=4，b=3 B．a=4，b=4 C．a=7，b=﹣4 D．a=7，b=4 【分析】利用完全平方公式去括號，進而得出a，b的值，進而得出答案． 【解答】解：∵（2﹣）2=a+b， ∴4+3﹣4=a+b， ∴a=7，b=﹣4， 故選C 【點評】此題主要考查了實數運算，正確利用完全平方公式得出a，b的值是解題關鍵． 10．（3分）方程的解是x等于（ ） A．2 B．﹣2 C．±2 D．無解 【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：x+2=4， 解得：x=2， 經檢驗x=2是增根，分式方程無解． 故選D 【點評】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根． 二、填空題（每小題3分，共8小題，滿分24分） 11．（3分）科學實驗發(fā)現有一種新型可入肺顆粒物的直徑約為2.5μm（1μm=0.000001m），用科學記數法表示這種顆粒物的直徑約為 2.5×10﹣6 m． 【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定． 【解答】解：2.5μm=2.5×0.000001m=2.5×10﹣6m， 故答案為：2.5×10﹣6． 【點評】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定． 12．（3分）在實數范圍內分解因式：x2﹣3= （x+）（x﹣） ． 【分析】把3寫成的平方，然后再利用平方差公式進行分解因式． 【解答】解：x2﹣3=x2﹣（）2=（x+）（x﹣）． 【點評】本題考查平方差公式分解因式，把3寫成的平方是利用平方差公式的關鍵． 13．（3分）實數﹣4的絕對值等于 4﹣ ． 【分析】根據差的絕對值是大數減小數，可得答案． 【解答】解：﹣4的絕對值等于4﹣， 故答案為：4﹣． 【點評】本題考查了實數的性質，差的絕對值是大數減小數． 14．（3分）如圖，在△BCD中，∠C=30°，∠D=40°，點A為CB的延長線上一點，BE為∠ABD的角平分線，則∠ABE= 35 °． 【分析】由外角性質可得∠ABD的度數，再利用角平分線的定義可得結果． 【解答】解：∵∠C=30°，∠D=40°， ∴∠ABD=∠C+∠D=30°+40°=70°， ∵BE為∠ABD的角平分線， ∴=35°， 故答案為：35． 【點評】本題主要考查了外角的性質和角平分線的定義，利用外角的性質得∠ABD的度數是解答此題的關鍵． 15．（3分）如圖，已知AD=BC，則再添加一個條件 AC=BD （只填一種），可證出△ABC≌△BAD． 【分析】本題是開放題，要使△ABC≌△BAD，已知AD=BC，AB是公共邊，故添加AC=BD，即可根據SSS判定兩三角形全等． 【解答】解：添加AC=BD． ∵AD=BC，AB=AB，AC=BD ∴△ABC≌△BAD．（SSS） 故答案為AC=BD． 【點評】三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件． 16．（3分）計算：（）2015（）2016= 2﹣ ． 【分析】直接利用積的乘方運算法則將原式變形，進而求出答案． 【解答】解：（）2015（）2016 =[（）2015（）2015]（﹣2） =[（）×（）]2015（﹣2） =2﹣． 故答案為：2﹣． 【點評】此題主要考查了二次根式的混合運算，正確應用積的乘方運算法則是解題關鍵． 17．（3分）巳知等腰三角形一底角為30°，則這個等腰三角形頂角的大小是 120 度． 【分析】由已知給出等腰三角形一底角為30°，根據等腰三角形的性質及三角形的內角和不難求得等腰三角形的頂角． 【解答】解：∵等腰三角形的兩個底角相等 ∴頂角度數是：180°﹣30°﹣30°=120°． 故填120． 【點評】本題考查等腰三角形的性質及三角形的內角和定理．等腰三角形的兩個底角相等，三角形內角和為180度．找著底角的關系，利用三角形的內角和求解時非常重要的方法，注意掌握． 18．（3分）如圖，已知在△ABC中，BC=10cm，AB的垂直平分線EF交BC與點F，AC的垂直平分線MN交BC于點N，則△AFN的周長為 10 cm． 【分析】根據垂直平分線性質得AF=BF，AN=CN，所以△ANF周長=BC． 【解答】解：∵AB、AC的垂直平分線分別交BC于F，N， ∴AF=BF，AN=CN， ∴C△AFN=AF+FN+AN=BF+FN+CN=BC=10． 故答案為：10． 【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質，熟知線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解答此題的關鍵． 三、解答題（19題每小題8分，20題6分，滿分14分） 19．（8分）①化簡： ②計算：． 【分析】①先通分化為同分母，再進行同分母的加法運算，然后約分即可； ②先把各二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可． 【解答】解：①原式=+ = =； ②原式=2++﹣3 =2﹣． 【點評】本題考查了二次根式的計算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式．在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往往能事半功倍．也考查了分式的加減法． 20．（6分）求當x取何值時，代數式﹣的值不小于1？ 【分析】根據題意得出不等式，求出不等式的解集即可求得x的取值范圍． 【解答】解：根據題意得：﹣≥1， 3（3x﹣5）﹣7（x+4）≥21， 9x﹣15﹣7x﹣28≥21， 9x﹣7x≥21+28+15， 2x≥64， x≥32． 故當x≥32時，代數式﹣的值不小于1． 【點評】本題考查了解一元一次不等式的應用，解此題的關鍵是能根據題意得出一元一次不等式，應按照去括號，移項，合并同類項，系數化為1這個步驟來解． 四、分析與說理（每小題8分，共2小題，滿分16分） 21．（8分）已知：如圖所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BD⊥AC，垂足為點D，CE⊥AB，垂足為點E．求證：BD=CE． 【分析】利用垂直的定義得到∠BEC=∠BDC=90°，然后根據三角形全等的判定方法可得到△BCD≌△BCE，則根據全等的性質即可得到BD=CE． 【解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BEC=∠BDC=90°， 在△BCD和△CDE中， ， ∴△BDC≌△CDE（AAS）， ∴BD=CE． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質：有兩組角分別相等，且其中一組角所對的邊對應相等，那么這兩個三角形全等；全等三角形的對應邊相等，對應角相等． 22．（8分）已知：如圖所示，點D、E分別在等邊△ABC的邊BC、AC上，且AE=CD，AD與BE相交于點F． （1）求證：△ABE≌△CAD； （2）求∠BFD的度數． 【分析】（1）通過SAS可得△ABE≌△ACD． （2）根據全等三角形的性質推出∠ABE=∠CAD，再通過角之間的轉化即可求解∠BFD的度數． 【解答】解：（1）∵△ABC為等邊三角形， ∴AB=AC，AE=CD，∠BAE=∠C=60°， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△CAD（SAS）， ∴AD=BE． （2）∵△ABE≌△CAD， ∴∠ABE=∠CAD， ∴∠BFD=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°． 【點評】本題主要考查了等邊三角形的性質以及全等三角形的判定及性質問題，解決本題的關鍵是證明△ABE≌△CAD． 五、實踐與應用（每小題8分，共2小題，滿分16分） 23．（8分）婁底到長沙的距離約為120km，小劉開著小轎車，小張開著大貨車，都從婁底去長沙，小劉比小張晚出發(fā)15分鐘，最后兩車同時到達長沙，已知小轎車的速度是大貨車速度的1.2倍，求小轎車和大貨車的速度各是多少？（列方程解答） 【分析】首先設大貨車的速度為xkm/時，則小轎車的速度為1.2xkm/時，根據題意可得等量關系：大貨車行駛時間﹣小轎車行駛時間=小時，根據等量關系列出方程，再解即可． 【解答】解：設大貨車的速度為xkm/時，由題意得： ﹣=， 解得：x=80， 經檢驗：x=80是分式方程的解， 1.2x=1.2×80=96， 答：大貨車的速度為80km/時，小轎車的速度為96km/時． 【點評】此題主要考查了分式方程的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出分式方程，注意不要忘記檢驗． 24．（8分）某校組織開展了“婁底是我家，建設婁底靠大家”的環(huán)保知識競賽，共25道競賽題，選對一題得4分，不選或選錯每題扣2分，大賽組委會規(guī)定總得分不低于80分獲獎，那么至少應選對多少道題才能獲獎？（列不等式解答） 【分析】讀懂題列出不等式關系式即可求解，關系式為：得獎的分數≥80． 【解答】解：設做對x道．根據題意列出不等式： 4x﹣2×（25﹣x）≥80， 解得：x≥， ∵=21， ∴x最小取22． 答：至少應選對22道題才能獲獎． 【點評】此題主要考查了一元一次不等式的應用，解決本題的關鍵是讀懂題意，找到符合題意的不等關系式，及所求量的等量關系． 六、閱讀與探究（每小題10分，共2小題，滿分20分） 25．（10分）閱讀下列材料，并解決問題： ①已知方程x2+3x+2=0的兩根分別為x1=﹣1，x2=﹣2，計算：x1+x2= ﹣3 ，x1?x2= 2 ②已知方程x2﹣3x﹣4=0的兩根分別為x1=4，x2=﹣1，計算：x1+x2= 3 ，x1?x2= ﹣4 ③已知關于x的方程x2+px+q=0有兩根分別記作x1，x2，且x1=，x2=，請通過計算x1+x2及x1?x2，探究出它們與p、q的關系． 【分析】根據題目中所給的方程的兩根，分別求出x1+x2，x1?x2，然后可得出x1+x2=﹣p，x1x2=q． 【解答】解：①∵x1=﹣1，x2=﹣2， ∴x1+x2=﹣3，x1?x2=2； ②∵x1=4，x2=﹣1， ∴x1+x2=3，x1?x2=﹣4； ③∵x1=，x2=， ∴x1+x2=+=﹣p， x1x2=?=q， 即x1+x2=﹣p，x1x2=q． 故答案為：﹣3，2；3，﹣4． 【點評】本題考查了根與系數的關系，解答本題的關鍵是根據方程所給的兩根求出兩根之和和兩根之積，然后得出根與系數的關系． 26．（10分）在長方形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中點，一塊三角板的直角頂點與點E重合，將三角板繞點E按順時針方向旋轉，當三角板的兩直角邊分別與AB、BC分別相交于點M，N時，觀察或測量BM與CN的長度，你能得到什么結論？并證明你的結論． 【分析】作輔助線EF⊥BC于點F，然后證明Rt△AME≌Rt△FNE，從而求出AM=FN，所以BM與CN的長度相等． 【解答】解：BM與與CN的長度相等． 證明：在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中點， 如圖，作EF⊥BC于點F，則有AB=AE=EF=FC， ∵∠AEM+∠DEN=90°，∠FEN+∠DEN=90°， ∴∠AEM=∠FEN， 在Rt△AME和Rt△FNE中， ， ∴Rt△AME≌Rt△FNE， ∴AM=FN， ∴MB=CN． 【點評】本題主要考查了全等三角形的判定，本題的關鍵是證明Rt△AME≌Rt△FNE，利用全等的性質和等量代換求解．