專題訓(xùn)練 螞蟻爬行的最短路徑(含答案).doc

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______________________________________________________________________________________________________________ 螞蟻爬行的最短路徑 1．一只螞蟻從原點0出發(fā)來回爬行，爬行的各段路程依次為：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10． 回答下列問題： （1）螞蟻最后是否回到出發(fā)點0； （2）在爬行過程中，如果每爬一個單位長度獎勵2粒芝麻，則螞蟻一共得到多少粒芝麻． 解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故沒有回到0； （2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒 第6題 2. 如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點B的最短距離是 . 解：如圖將正方體展開，根據(jù)“兩點之間，線段最短”知，線段AB即為最短路線． AB= ． 3．（2006?茂名）如圖，點A、B分別是棱長為2的正方體左、右兩側(cè)面的中心，一螞蟻從點A沿其表面爬到點B的最短路程是 cm 4 ． 解：由題意得，從點A沿其表面爬到點B的最短路程是兩個棱長的長，即2+2=4． 4．如圖，一只螞蟻從正方體的底面A點處沿著表面爬行到點上面的B點處，它爬行的最短路線是（ ） A．A?P?B B．A?Q?B C．A?R?B D．A?S?B 解：根據(jù)兩點之間線段最短可知選A． 故選A． 5．如圖，點A的正方體左側(cè)面的中心，點B是正方體的一個頂點，正方體的棱長為2，一螞蟻從點A沿其表面爬到點B的最短路程是（　　） 解：如圖，AB= ．故選C． 6． 正方體盒子的棱長為2，BC的中點為M，一只螞蟻從A點爬行到M點的最短距離為（　　） 解：展開正方體的點M所在的面， ∵BC的中點為M， 所以MC= BC=1， 在直角三角形中AM= = ． 7．如圖，點A和點B分別是棱長為20cm的正方體盒子上相鄰面的兩個中心，一只螞蟻在盒子表面由A處向B處爬行，所走最短路程是 cm。 解：將盒子展開，如圖所示： AB=CD=DF+FC= EF+ GF=×20+×20=20cm． 故選C． 第7題 8. 正方體盒子的棱長為2，BC的中點為M，一只螞蟻從A點爬行到M點的最短距離為 . 解：將正方體展開，連接M、D1， 根據(jù)兩點之間線段最短， MD=MC+CD=1+2=3， MD1= ． 9．如圖所示一棱長為3cm的正方體，把所有的面均分成3×3個小正方形．其邊長都為1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下底面點A沿表面爬行至側(cè)面的B點，最少要用 2.52.5秒鐘． 解：因為爬行路徑不唯一，故分情況分別計算，進行大、小比較，再從各個路線中確定最短的路線． （1）展開前面右面由勾股定理得AB= = cm； （2）展開底面右面由勾股定理得AB= =5cm； 所以最短路徑長為5cm，用時最少：5÷2=2.5秒． 10．（2009?恩施州）如圖，長方體的長為15，寬為10，高為20，點B離點C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短距離是 。 解：將長方體展開，連接A、B， 根據(jù)兩點之間線段最短，AB= =25． 11. 如圖，一只螞蟻從實心長方體的頂點A出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點C1處（三條棱長如圖所示），問怎樣走路線最短？最短路線長為 . 解：正面和上面沿A1B1展開如圖，連接AC1，△ABC1是直角三角形， ∴AC1= 12．如圖所示：有一個長、寬都是2米，高為3米的長方體紙盒，一只小螞蟻從A點爬到B點，那么這只螞蟻爬行的最短路徑為 米。 解：由題意得， 路徑一：AB= = ； 路徑二：AB= =5； 路徑三：AB= = ； ∵ ＞5， ∴5米為最短路徑． 13．如圖，直四棱柱側(cè)棱長為4cm，底面是長為5cm寬為3cm的長方形．一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿棱柱的表面爬到頂點B．求： （1）螞蟻經(jīng)過的最短路程； （2）螞蟻沿著棱爬行（不能重復(fù)爬行同一條棱）的最長路程． 解：（1）AB的長就為最短路線． 然后根據(jù)　若螞蟻沿側(cè)面爬行，則經(jīng)過的路程為 （cm）； 若螞蟻沿側(cè)面和底面爬行，則經(jīng)過的路程為 （cm）， 或 （cm） 所以螞蟻經(jīng)過的最短路程是 cm． （2）　5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm， 最長路程是30cm． 14．如圖，在一個長為50cm，寬為40cm，高為30cm的長方體盒子的頂點A處有一只螞蟻，它要爬到頂點B處去覓食，最短的路程是多少？ 解：圖1中， cm． 圖2中， cm． 圖3中， cm． ∴采用圖3的爬法路程最短，為 cm 15．如圖，長方體的長、寬、高分別為6cm，8cm，4cm．一只螞蟻沿著長方體的表面從點A爬到點B．則螞蟻爬行的最短路徑的長是 。 解：第一種情況：把我們所看到的前面和上面組成一個平面， 則這個長方形的長和寬分別是12cm和6cm， 則所走的最短線段是 =6 cm； 第二種情況：把我們看到的左面與上面組成一個長方形， 則這個長方形的長和寬分別是10cm和8cm， 所以走的最短線段是 = cm； 第三種情況：把我們所看到的前面和右面組成一個長方形， 則這個長方形的長和寬分別是14cm和4cm， 所以走的最短線段是 =2 cm； 三種情況比較而言，第二種情況最短． 16．如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20cm、3cm、2cm．A和B是這個臺階上兩個相對的端點，點A處有一只螞蟻，想到點B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最短路程為 cm 解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為20cm，寬為（2+3）×3cm， 則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長． 可設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程為xcm， 由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252， 解得x=25． 故答案為25． 17．如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物.請你想一想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，最短線路是 cm。 解：將臺階展開，如下圖， 因為AC=3×3+1×3=12，BC=5， 所以AB2=AC2+BC2=169， 所以AB=13（cm）， 所以螞蟻爬行的最短線路為13cm． 答：螞蟻爬行的最短線路為13cm． 18．（2011?荊州）如圖，長方體的底面邊長分別為2cm和4cm，高為5cm．若一只螞蟻從P點開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達Q點，則螞奴爬行的最短路徑長為 13cm． 解： ∵PA=2×（4+2）=12，QA=5 ∴PQ=13． 故答案為：13． 19．如圖，一塊長方體磚寬AN=5cm，長ND=10cm，CD上的點B距地面的高BD=8cm，地面上A處的一只螞蟻到B處吃食，需要爬行的最短路徑是多少？ 解：如圖1，在磚的側(cè)面展開圖2上，連接AB， 則AB的長即為A處到B處的最短路程． 解：在Rt△ABD中， 因為AD=AN+ND=5+10=15，BD=8， 所以AB2=AD2+BD2=152+82=289=172． 所以AB=17cm． 故螞蟻爬行的最短路徑為17cm． 20．（2009?佛山）如圖，一個長方體形的木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒有縫隙），有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處． （1）請你畫出螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑； （2）當AB=4，BC=4，CC1=5時，求螞蟻爬過的最短路徑的長； （3）求點B1到最短路徑的距離． 解：（1）如圖， 木柜的表面展開圖是兩個矩形ABC'1D1和ACC1A1． 故螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑有如圖的A1C'1和AC1．（2分） （2）螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段A1B1到C1， 爬過的路徑的長是 ．（3分） 螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段BB1到C1，爬過的路徑的長是 ．（4分） l1＞l2，故最短路徑的長是 ．（5分） （3）作B1E⊥AC1于E， 則 ? ? 為所求．（8分） 21．有一圓柱體如圖，高4cm，底面半徑5cm，A處有一螞蟻，若螞蟻欲爬行到C處，求螞蟻爬行的最短距離 . 第2題 解：AC的長就是螞蟻爬行的最短距離．C，D分別是BE，AF的中點． AF=2π?5=10π．AD=5π． AC= ≈16cm． 故答案為：16cm． 22．有一圓形油罐底面圓的周長為24m，高為6m，一只老鼠從距底面1m的A處爬行到對角B處吃食物，它爬行的最短路線長為 . 第3題 解：AB=m 23．如圖，一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高AA1的端點A到達A1，若圓柱底面半徑為，高為5，則螞蟻爬行的最短距離為 13 ． 解：因為圓柱底面圓的周長為2π×=12，高為5， 所以將側(cè)面展開為一長為12，寬為5的矩形， 根據(jù)勾股定理，對角線長為 =13． 故螞蟻爬行的最短距離為13． 24．如圖，一圓柱體的底面周長為24cm，高AB為9cm，BC是上底面的直徑．一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C，則螞蟻爬行的最短路程是 解：如圖所示： 由于圓柱體的底面周長為24cm， 則AD=24×=12cm． 又因為CD=AB=9cm， 所以AC= =15cm． 故螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點C的最短路程是15cm． 故答案為：15． 25．（2006?荊州）有一圓柱體高為10cm，底面圓的半徑為4cm，AA1，BB1為相對的兩條母線．在AA1上有一個蜘蛛Q，QA=3cm；在BB1上有一只蒼蠅P，PB1=2cm，蜘蛛沿圓柱體側(cè)面爬到P點吃蒼蠅，最短的路徑是 cm．（結(jié)果用帶π和根號的式子表示） 解：QA=3，PB1=2， 即可把PQ放到一個直角邊是4π和5的直角三角形中， 根據(jù)勾股定理得： QP= 26．同學(xué)的茶杯是圓柱形，如圖是茶杯的立體圖，左邊下方有一只螞蟻，從A處爬行到對面的中點B處，如果螞蟻爬行路線最短，請畫出這條最短路線圖． 問題：某正方體盒子，如圖左邊下方A處有一只螞蟻，從A處爬行到側(cè)棱GF上的中點M點處，如果螞蟻爬行路線最短，請畫出這條最短路線圖． 解：如圖，將圓柱的側(cè)面展開成一個長方形，如圖示，則A、B分別位于如圖所示的位置，連接AB，即是這條最短路線圖． 如圖，將正方體中面ABCD和面CBFG展開成一個長方形，如圖示，則A、M分別位于如圖所示的位置，連接AM，即是這條最短路線圖． 第5題 27．如圖，圓錐的主視圖是等邊三角形，圓錐的底面半徑為2cm，假若點B有一螞蟻只能沿圓錐的表面爬行，它要想吃到母線AC的中點P處的食物，那么它爬行的最短路程是 . 解：∵圓錐的底面周長是4π，則4π= ， ∴n=180°即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是180°， ∴在圓錐側(cè)面展開圖中AP=2，AB=4，∠BAP=90°， ∴在圓錐側(cè)面展開圖中BP= ， ∴這只螞蟻爬行的最短距離是 cm． 故答案是： cm． 28．如圖，圓錐的底面半徑R=3dm，母線l=5dm，AB為底面直徑，C為底面圓周上一點，∠COB=150°，D為VB上一點，VD= ．現(xiàn)有一只螞蟻，沿圓錐表面從點C爬到D．則螞蟻爬行的最短路程是（　　） 解： = = ， ∴設(shè)弧BC所對的圓心角的度數(shù)為n， ∴ = 解得n=90， ∴∠CVD=90°， ∴CD= =4 ， 29．已知圓錐的母線長為5cm，圓錐的側(cè)面展開圖如圖所示，且∠AOA1=120°，一只螞蟻欲從圓錐的底面上的點A出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一周回到點A．則螞蟻爬行的最短路程長為 。 解：連接AA′，作OC⊥AA′于C， ∵圓錐的母線長為5cm，∠AOA1=120°， ∴AA′=2AC=5． 30． 如圖，底面半徑為1，母線長為4的圓錐，一只小螞蟻若從A點出發(fā)，繞側(cè)面一周又回到A點，它爬行的最短路線長是 . 第4題 解：由題意知，底面圓的直徑為2， 故底面周長等于2π． 設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n°， 根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得，， 解得n=90°， 所以展開圖中圓心角為90°， 根據(jù)勾股定理求得到點A的最短的路線長是：． 31．（2006?南充）如圖，底面半徑為1，母線長為4的圓錐，一只小螞蟻若從A點出發(fā)，繞側(cè)面一周又回到A點，它爬行的最短路線長是 。 解：由題意知底面圓的直徑=2， 故底面周長等于2π． 設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n°， 根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得2π=， 解得n=90°， 所以展開圖中的圓心角為90°， 根據(jù)勾股定理求得它爬行的最短路線長為． 32．（2009?樂山）如圖，一圓錐的底面半徑為2，母線PB的長為6，D為PB的中點．一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓錐的側(cè)面爬行到點D，則螞蟻爬行的最短路程為 。 解：由題意知，底面圓的直徑AB=4， 故底面周長等于4π． 設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n°， 根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得4π= ， 解得n=120°， 所以展開圖中∠APD=120°÷2=60°， 根據(jù)勾股定理求得AD= ， 所以螞蟻爬行的最短距離為． 33．如圖，圓錐底面半徑為r，母線長為3r，底面圓周上有一螞蟻位于A點，它從A點出發(fā)沿圓錐面爬行一周后又回到原出發(fā)點，請你給它指出一條爬行最短的路徑，并求出最短路徑． 解：把圓錐沿過點A的母線展成如圖所示扇形， 則螞蟻運動的最短路程為AA′（線段）． 由此知：OA=OA′=3r， 的長為2πr． ∴2πr= ，n=120°， 即∠AOA′=120°，∠OAC=30°． ∴OC=OA= ∴AC= ∴AA′=2AC=r， 即螞蟻運動的最短路程是r． 34．如圖①，一只螞蟻從圓錐底面的A點出發(fā)，沿側(cè)面繞行一周后到達母線SA的中點M．螞蟻沿怎樣的路徑行走最合算？為了解決這一問題，愛動腦筋的銀銀、慧慧與樂樂展開了研究． （1）善于表現(xiàn)的銀銀首先列出了一組數(shù)據(jù)：圓錐底面半徑r=10cm，母線SA長為40cm，就這組數(shù)據(jù)，請你求出螞蟻所走的最短路程； （2）一向穩(wěn)重的慧慧只給出一個數(shù)據(jù)：圓錐的錐角等于60°（如圖②），請問：螞蟻如何行走最合算？ （3）通過（1）、（2）的計算與歸納，銀銀、慧慧自認為他們已找到問題的解決方法，可老謀深算的樂樂認為他們考慮欠周， ①請你分析，樂樂為什么認為他們考慮欠周？ ②結(jié)合上面的研究，請你給出這一問題的一般性解法． 解：（1）2π?10=nπ?40÷180° n=90°， AM= =20 ． （2）∵錐角為60°， ∴底面半徑的長和母線的長相等， 但缺少母線的長．（3）①因為銀銀的數(shù)據(jù)不合理，因為慧慧缺少條件． ②（1）展成平面圖形． （2）知道母線的長，知道扇形的圓心角度數(shù)，以及M是SA的中點，根據(jù)三角函數(shù)或者構(gòu)造直角三角形來求解  THANKS !!! 致力為企業(yè)和個人提供合同協(xié)議，策劃案計劃書，學(xué)習(xí)課件等等 打造全網(wǎng)一站式需求 歡迎您的下載，資料僅供參考 -可編輯修改-