數(shù)學(xué)排列組合公式.doc

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公式P是指排列，從N個(gè)元素取R個(gè)進(jìn)行排列。 公式C是指組合，從N個(gè)元素取R個(gè)，不進(jìn)行排列。 N-元素的總個(gè)數(shù) R參與選擇的元素個(gè)數(shù) ！-階乘 ，如????9?。?*8*7*6*5*4*3*2*1 從N倒數(shù)r個(gè)，表達(dá)式應(yīng)該為n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1); ??????????????? 因?yàn)閺膎到（n-r+1)個(gè)數(shù)為n－（n-r+1)＝r 舉例： Q1:????有從1到9共計(jì)9個(gè)號(hào)碼球，請(qǐng)問，可以組成多少個(gè)三位數(shù)？ A1:???? 123和213是兩個(gè)不同的排列數(shù)。即對(duì)排列順序有要求的，既屬于“排列P”計(jì)算范疇。 ?????? 上問題中，任何一個(gè)號(hào)碼只能用一次，顯然不會(huì)出現(xiàn)988,997之類的組合， 我們可以這么看，百位數(shù)有9種可能，十位數(shù)則應(yīng)該有9-1種可能，個(gè)位數(shù)則應(yīng)該只有9-1-1種可能，最終共有9*8*7個(gè)三位數(shù)。計(jì)算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(從9倒數(shù)3個(gè)的乘積） Q2:??? 有從1到9共計(jì)9個(gè)號(hào)碼球，請(qǐng)問，如果三個(gè)一組，代表“三國(guó)聯(lián)盟”，可以組合成多少個(gè)“三國(guó)聯(lián)盟”？ A2:???? 213組合和312組合，代表同一個(gè)組合，只要有三個(gè)號(hào)碼球在一起即可。即不要求順序的，屬于“組合C”計(jì)算范疇。 ??????? 上問題中，將所有的包括排列數(shù)的個(gè)數(shù)去除掉屬于重復(fù)的個(gè)數(shù)即為最終組合數(shù)C(3,9)=9*8*7/3*2*1 排列、組合的概念和公式典型例題分析 　　例1 　設(shè)有3名學(xué)生和4個(gè)課外小組．（1）每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組；（2）每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組，而且每個(gè)小組至多有一名學(xué)生參加．各有多少種不同方法？ ???? 解（1）由于每名學(xué)生都可以參加4個(gè)課外小組中的任何一個(gè)，而不限制每個(gè)課外小組的人數(shù)，因此共有 種不同方法． ???? ?。?）由于每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組，而且每個(gè)小組至多有一名學(xué)生參加，因此共有 種不同方法． 　　點(diǎn)評(píng)?? 由于要讓3名學(xué)生逐個(gè)選擇課外小組，故兩問都用乘法原理進(jìn)行計(jì)算． ????例2 排成一行，其中 不排第一， 不排第二， 不排第三， 不排第四的不同排法共有多少種？ 　　解?? 依題意，符合要求的排法可分為第一個(gè)排 、 、 中的某一個(gè)，共3類，每一類中不同排法可采用畫“樹圖”的方式逐一排出： 　　　　∴ 符合題意的不同排法共有9種． 　　點(diǎn)評(píng)?? 按照分“類”的思路，本題應(yīng)用了加法原理．為把握不同排法的規(guī)律，“樹圖”是一種具有直觀形象的有效做法，也是解決計(jì)數(shù)問題的一種數(shù)學(xué)模型． 　　例３　判斷下列問題是排列問題還是組合問題？并計(jì)算出結(jié)果． 　?。?）高三年級(jí)學(xué)生會(huì)有11人：①每?jī)扇嘶ネㄒ环庑?，共通了多少封信？②每?jī)扇嘶ノ樟艘淮问?，共握了多少次手? 　?。?）高二年級(jí)數(shù)學(xué)課外小組共10人：①?gòu)闹羞x一名正組長(zhǎng)和一名副組長(zhǎng)，共有多少種不同的選法？②從中選2名參加省數(shù)學(xué)競(jìng)賽，有多少種不同的選法？ 　?。?）有2，3，5，7，11，13，17，19八個(gè)質(zhì)數(shù)：①?gòu)闹腥稳蓚€(gè)數(shù)求它們的商可以有多少種不同的商？②從中任取兩個(gè)求它的積，可以得到多少個(gè)不同的積？ 　　（4）有8盆花：①?gòu)闹羞x出2盆分別給甲乙兩人每人一盆，有多少種不同的選法？②從中選出2盆放在教室有多少種不同的選法？ 　　分析?。?）①由于每人互通一封信，甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信，所以與順序有關(guān)是排列；②由于每?jī)扇嘶ノ找淮问?，甲與乙握手，乙與甲握手是同一次握手，與順序無(wú)關(guān)，所以是組合問題．其他類似分析． 　　（1）①是排列問題，共用了 封信；②是組合問題，共需握手 （次）． 　?。?）①是排列問題，共有 （種）不同的選法；②是組合問題，共有 種不同的選法． 　?。?）①是排列問題，共有 種不同的商；②是組合問題，共有 種不同的積． 　　（4）①是排列問題，共有 種不同的選法；②是組合問題，共有 種不同的選法． 　　例４　證明 ． 　　證明　 左式 　　　　　　　　　　　　 右式． 　　　　　∴ 等式成立． 　　點(diǎn)評(píng)　這是一個(gè)排列數(shù)等式的證明問題，選用階乘之商的形式，并利用階乘的性質(zhì) ，可使變形過(guò)程得以簡(jiǎn)化． 　　例5　化簡(jiǎn) ． 　　解法一　原式 　　解法二　原式 　　點(diǎn)評(píng)?? 解法一選用了組合數(shù)公式的階乘形式，并利用階乘的性質(zhì)；解法二選用了組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)，都使變形過(guò)程得以簡(jiǎn)化． 　　例6　解方程：（1） ；（2） ． 　　解 （1）原方程 　　　　　　　　　　　　　　 解得 ． 　　　　（2）原方程可變?yōu)? 　　　　　∵ ， ， 　　　　　∴ 原方程可化為 ． 　　　　　即 ，解得 第六章??排列組合、二項(xiàng)式定理 一、考綱要求 1.掌握加法原理及乘法原理，并能用這兩個(gè)原理分析解決一些簡(jiǎn)單的問題. 2.理解排列、組合的意義，掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡(jiǎn)單的問題. 3.掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，并能用它們計(jì)算和論證一些簡(jiǎn)單問題. 二、知識(shí)結(jié)構(gòu) 三、知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)提示 (一)加法原理乘法原理 說(shuō)明??加法原理、乘法原理是學(xué)習(xí)排列組合的基礎(chǔ)，掌握此兩原理為處理排 列、組合中有關(guān)問題提供了理論根據(jù). 例1??5位高中畢業(yè)生，準(zhǔn)備報(bào)考3所高等院校，每人報(bào)且只報(bào)一所，不同的報(bào)名方法共有多少種? 解：??5個(gè)學(xué)生中每人都可以在3所高等院校中任選一所報(bào)名，因而每個(gè)學(xué)生都有3種不同的 報(bào)名方法，根據(jù)乘法原理，得到不同報(bào)名方法總共有 3×3×3×3×3=35(種) (二)排列、排列數(shù)公式 說(shuō)明??排列、排列數(shù)公式及解排列的應(yīng)用題，在中學(xué)代數(shù)中較為獨(dú)特，它研 究的對(duì)象以及研 究問題的方法都和前面掌握的知識(shí)不同，內(nèi)容抽象，解題方法比較靈活，歷屆高考主要考查排列的應(yīng)用題，都是選擇題或填空題考查. 例2??由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50 000的 偶數(shù)共有(????) A.60個(gè)????????B.48個(gè)????????C.36個(gè)????????D.24個(gè) 解??因?yàn)橐笫桥紨?shù)，個(gè)位數(shù)只能是2或4的排法有P12；小于50 000的五位數(shù)，萬(wàn)位只能是1、3或2、4中剩下的一個(gè)的排法有P13;在首末兩位數(shù)排定后，中間3個(gè)位數(shù)的排法有P33，得P13P33P12＝36(個(gè)) 由此可知此題應(yīng)選C. 例3??將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)字，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不同的填法有多少種? 解：??將數(shù)字1填入第2方格，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不相同的填法有3種，即214 3，3142，4123；同樣將數(shù)字1填入第3方格，也對(duì)應(yīng)著3種填法；將數(shù)字1填入第4方格，也對(duì)應(yīng)3種填法，因此共有填法為 3P13=9(種).